多项式除以单项式1

多项式除以单项式

一、学习目标

1．使学生掌握多项式除以单项式的法则，并能熟练地进行多项式除以单项式的计算；

2．渗透转化思想；

3．培养学生的抽象、概括能力，以及运算能力．

二、重点和难点

重点：多项式除以单项式的运算法则．

难点：正确熟练地运用法则进行计算．

三、例题分析

[例1] 计算

(1)(12x3-18x2+6x)÷(-6x)

(2)(-12x3y3z+6x2yz3-3xy3z2)÷(-3xyz)

分析：

多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

解：(1)(12x3-18x2+6x)÷(-6x)=-2x2+3x-1

(2)(-12x3y3z+6x2yz3-3xy3z2)÷(-3xyz)=4x2y2-2xz2+y2z

[例2]计算

(1)(24a3-16a2+8a)÷8a，

(2)(6a4b3-2a3b2)÷(-2a3b2)．

解：(1)(24a3-16a2+8a)÷8a

=24a3÷8a+(-16a2)÷8a+8a÷8a

=3a2+(-2a)+1

　=3a2-2a+1

(2)(6a4b3-2a3b2)÷(-2a3b2)

=6a4b3÷(-2a3b2)+(-2a3b2)÷(-2a3b2)

=-3ab+1

说明：
多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数相同，特别是8a÷8a=1和(-2a3b2)÷(-2a3b2)=1的这一项千万不能丢掉．

[例4]计算(1)(axn+2-bxn+1+cxn)÷(-xn-2)，

(2)[3(a-b)3-2(a-b)2-a+b]÷(a-b)．

解：(1)(axn+2-bxn+1+cxn)÷(-xn-2)

=(axn+2)÷(-xn-2)+(-bxn+1)÷(-xn-2)+cxn÷(-xn-2)

=-ax4+bx3+(-cx2)

=-ax4+bx3-cx2

(2)[3(a-b)3-2(a-b)2-a+b]÷(a-b)

　=[3(a-b)3-2(a-b)2-(a-b)]÷(a-b)

　=3(a-b)3÷(a-b)+[-2(a-b)2]÷(a-b)+[-(a-b)]÷(a-b)

　=3(a-b)2+[-2(a-b)]+(-1)

　=3(a-b)2-2(a-b)-1

　=3(a2-2ab+b2)-2a+2b-1

　=3a2-6ab+3b2-2a+2b-1

说明：
①题(2)中若将中括号内的整式先运算再除，就应用到多项式除以多项式，较麻烦．而将(a-b)看作是一项，通过添一小括号，可转化为多项式除以单项式，比较简便．②题(2)中计算一定要算到底，防止到3(a-b)2-2(a-b)-1就算完了．

[例5]多项式6x5-15x4+3x3-3x2+x+1除以3x2余式为x+1，求商式．

分析：
根据关系：被除式=除式×商式+余式，可恒等变化为(被除式-余式)÷除式=商式．

解：∵[(6x5-15x4+3x3-3x2+x+1)-(x+1)]÷3x2

=(6x5-15x4+3x3-3x2)÷3x2

=2x3-5x2+x-1

∴商式=2x3-5x2+x-1

[例6]利用乘法公式进行计算：

(1)(a2-b2)÷(a+b)

(2)[(a+b)2-4ab]÷(a-b)2

(3)(a4-b4)÷(a2+b2)÷(a+b)

分析：这里是逆用乘法公式，如

(1)中a2-b2=(a+b)(a-b)就可以除以后面的a+b；而

(2)中(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=(a-b)2也可以除以(a-b)2；

(3)中a4-b4=(a2+b2)(a2-b2)=(a2+b2)(a+b)(a-b)．

解：(1)(a2-b2)÷(a+b)

=(a+b)(a-b)÷(a+b)

　=a-b

(2)[(a+b)2-4ab]÷(a-b)2

=[a2+2ab+b2-4ab]÷(a-b)2

=(a2-2ab+b2)÷(a-b)2

=(a-b)2÷(a-b)2

=1

(3)(a4-b4)÷(a2+b2)÷(a+b)

=(a2+b2)(a2-b2)÷(a2+b2)÷(a+b)

=(a2-b2)÷(a+b)

=(a+b)(

a-b)÷(a+b)

=a-b