05--第五节--广义积分.doc

第五节广义积分

我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.

分布图示

★无穷限的广义积分

★无穷限的广义积分几何解释

★例1 ★例2 ★例3 ★例4

★例5 ★例6

★无界函数的广义积分

★例7 ★例8 ★例9 ★例10

★例11 ★例12 ★例13

★内容小结★课堂练习

★习题5-5

★返回

内容要点

一、无穷限的广义积分

二、无界函数的广义积分

例题选讲

无穷限的广义积分

例1 (E01) 计算广义积分.

解对任意的有

于是

因此或

例2 (E02) 判断广义积分的敛散性.

解对任意

因为不存在,故由定义知无穷积分发散.

例3(E03) 计算广义积分.

解

例4 计算广义积分

解原式

例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛).

解

注: 其中不定式

例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性.

证

因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.

无界函数的广义积分

例7(E06) 计算广义积分

解原式

例8(E07) 计算广义积分.

解

故题设广义积分发散.

例9(E08) 讨论广义积分的敛散性.

证

因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散.

例10 计算广义积分瑕点.

解

,

例11 计算广义积分

解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是

再令取时时于是

注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.

例12 (E09) 计算广义积分.

解被积函数有两个可疑的瑕点:和

因为所以, 是被积函数的唯一瑕点.从而

例13计算

解分母的阶数较高,可利用到代换,令则

再令则

课堂练习

1. 计算广义积分;

2. 判断广义积分的瑕点.

科教兴国

五大基本初等函数性质及其图像

五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2

图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数

函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。

《高等数学B1》课程教学大纲

《高等数学B1》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 《高等数学B1》（微积分）国家教委在高校财经类专业中设置的核心课程之一。通过本课程的学习，可使学生比较系统地获得函数、微积分等方面的概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程奠定必要的数学基础；使学生获得从事经济管理技术教育或研究所必需的微积分知识；学会运用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力、空间想象能力和运算能力；树立辩证唯物主义观点和创新意识。 1．学好基础知识。理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。 2．掌握基本技能。能够根据法则、公式正确地进行运算。能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。 3．培养思维能力与想象能力。能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。

4．提高解决实际问题的能力。对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。 三、教学学时分配 《高等数学B1》课程理论教学学时分配表 ＊理论学时包括讨论、习题课等学时。 四、教学内容和教学要求 第一章函数（8学时） （一）教学要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法。了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。会建立简单应用问题中的函数关系。 2．了解反函数及隐函数的概念，理解复合函数和分段函数的概念。掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 3．掌握常用的经济函数关系式。

广义积分

理论与实验课教案首页 第12 次课授课时间2016年12月4日第6～7节课教案完成时间2016年11月28日

理论与实验课教案续页 基 本 内 容 教学方法手段 和时间分配 复习: 一、 定积分的概念——特殊乘积和式的极限 二、 定积分的性质 三、 定积分的计算 积分上限函数及其导数'()(())'()x a x f t dt f x Φ==? 牛顿—莱布尼兹公式 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 第五节 广义积分和Γ函数 一、无穷区间上的广义积分 引例：求曲线)0(11 2>+=x x y 与x 轴、y 轴所围成的开口曲边梯形的面积。 根据定积分的思想，所求面积的底边为无限长的曲边梯形，它可表示为 在[0,)+∞上任取一点b ，则在区间[0,]b 上的曲边梯形面积为 2 01 ()1b S b dx x =+? 5分钟 15分钟 提问：如何求无限长曲边梯形面积

基 本 内 容 教学方法手段 和时间分配 为药物的表现容积，F 为吸收分数，D 为口服剂量。 求c t -曲线下的面积AUC(Area under Curve)。 课堂练习： 计算广义积分 0pt t e dt (p ).+∞ ->? 二、被积函数有无穷型间断点的广义积分 )(x f 在],[b a 上有无穷间断点（若)(x f 在c 点无定义，且 ∞=→)(lim x f c x ） 引例：求曲线)0(112 >-= x x y 与x 轴、y 轴及直线1x =所围成的开口曲边梯形的面积。 根据定积分的思想，所求面积的侧边为无限长的曲边梯形，它可表示为 在[0,1)上任取0,ε>则在区间[0,1]ε-上的曲边梯形面积为 ? ---=ε ε10 2 111dx x S 类比得到 定义 ()b a f x dx ? 时， 要求: 1）,a b 为常数； 2）()f x 在[,]a b 上 连续必可积。 12 1dx S x =-?

无界函数的广义积分

§10.2 无界函数的广义积分 一 无界函数广义积分的概念 定义1 设()f x 在x b =的临近无界（我们称b 点为()f x 的奇点），但对于任意充分小的正数η，()f x 在[],a b η-上可积，即 lim ()b a f x dx η η+-→? 存在时，称这极限值I 为无界函数()f x 在[,]a b 上的广义积分。记作 ()0 lim ()b b a a f x dx f x dx η η+-→=? ? 。 如果上述的极限不存在，就称()b a f x dx ?发散。 类似可定义 ()b a f x dx ?（a 为奇点）. 如果()f x 在[,]a b 内部有一个奇点c ，a c b <<，当()c a f x d x ? 和()b c f x dx ?都收敛时， 就称 ()b a f x dx ?收敛，并且有 ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ??。 如果上式右边的任何一个积分发散，就称()f x dx +∞ -∞ ? 发散。 例1：讨论积分 () 1 b p a dx x a -?()0p >的收敛性。 例2：讨论积分 1 ? 的收敛性。 二 无界函数积分的性质 性质1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。 柯西收敛原理 ()b a f x d x ?（ x a =是奇点）收敛的充分必要条件是：0ε?>，0δ?>，当0,'ηηδ<<时，总有 ()' a a f x d x ηη ε++

无界是指没有界限

无界是指没有界限，但是并没有一个趋势 无穷大是有确定趋势的 你也可以从定义上把它们区分开 例如： 自然数列1，2，......，n，......在n增大的过程中稳定地趋于正无穷，它的通项是无穷大。 数列1，0，2，0，......，n，0，......在n增大的过程中肯定是无界的，但不是无穷大，因为无穷大要求从某一项开始后面的所有项都要大于某个大正数M，这个数列办不到这点。 无穷大一定无界，无界不见得是无穷大。 补充说明：上面的例子不是特例，一般来说无界而又不是无穷大的变量都是由于它们时大时小，不能稳定地趋于无穷。 无穷大，是x的某个变化过程中，|f(x)|无限增大。 对于f(x)=xsinx，x趋向于无穷大时，|f(x)|不是趋向于无穷大，因为它总有为零的点。 所以xsinx是无界变量，但不是无穷大变量。 （当X m(m下标)= m*pi 时，f(x)等于0） 无穷大：我的函数值在这里摆着，你来一瞧，哇，好大啊！那到底有多大呢？不管你随便说一个多大的正数M，我的函数值都比你的M大，就是说要多大有多大，很大，非常大，这个就是无穷大！ 无穷大是和自变量一个点x0或者一个极限过程(如趋向于x0或正无穷或负无穷) 有界和无界：无界就是有界的对立面，所以我先说有界，有界和无界都是区间！特性，一定和一个区间对应。 有界：在一个区间内，函数值就那么多，值域也就是一个集合，你来了，随便说了一个正数M,一看所有的函数值的绝对值都小于你说的那个M，也就是说所有的函数值都在-M到M之间，被你这个M圈住了,这个就是有界； 无界：在一个区间内，函数值就那么多，值域也就是一个集合，你来了，随便说了一个正数M想把所有的函数值都圈住,发现有的函数值的绝对值小于你说的那个M，但总有的函数值大于你说的M，最糟糕的是，发现不管你说一个多大的M总能找到圈不住的函数值，完了，看来是无边无界了。。。

第二章第五节-第六节(上)

第二章(第五,六节) 第五节 连续型随机变量 及其概率密度函数 随机变量X ,简记为X v r .., 分布函数}{)(x X P x F ≤=. 定义 4 设随机变量X 的分布函 数为)(x F ,如果存在一个定义在()+∞∞-,上非负可积函数)(x f ，使得对任何实数x ，恒有 ?∞-=x dt t f x F )()(, 则称X 为连续型随机变量, 称函数)(x f 为随机变量X 的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度. 概率密度函数的性质： 由定义可以知道，概率密度函数)(x f 具有下列基本性质： （1）0)(≥x f ，对一切()+∞∞-∈,x ； （2）1)()(=+∞=?+∞ ∞ -F dx x f 。

反之，可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数)(x f ，可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数. 连续型随机变量X 取区间值概率的计算. 定理 设X 为连续型随机变量, 分布函数为)(x F ,概率密度为)(x f , 则有 (1)?∞-=x dt t f x F )()(是连续函数; (2),0)()(}{=-==-x F x F x X P ()+∞∞-∈?,x ; (3)],(b a I =或],[b a ,或),[b a , 或),(b a ,或-∞=a ,或+∞=b ?=-=∈b a dx x f a F b F I X P )()()(}{; (4)若)(x f 在0x 点连续，则)(x F 在0x 点可导,且)()(0 0x f x F ='; 如果)(x f 是分段连续函数,只有有限个不连续点,则)()(x F x f '= (除去有限个不连续点,在这些点上

无界函数广义积分的数值计算[开题报告]

毕业论文开题报告 信息与计算科学 无界函数广义积分的数值计算 一、选题的背景、意义 微积分从20世纪初开始进入中学，他作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识[1].通常谈到积分，最先想到的往往是定积分.研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性[2].但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，通常也称他们为广义积分.通过以往对定积分学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活广义积分的应用更加具有实际意义.因此关于它的计算自然而然地成了很重要的研究课题，这也是本论文的研究中心. 广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，有不少人对其研究，已得出了许多判定方法.有学者认为，由于积分与级数在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和 [3] .也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用 无穷小和无穷大比较的方法进行比较，得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理 [4] ，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.总之，广义积分目前已有多种判别 收敛性的方法，但每个判别法都有其应用的局限性[5] ，随着广义积分理论的逐渐发展，相 信这些局限性会日趋减弱。 广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，对于广义积分的计算的研究具有很重要的现实意义.在解析方法中，收敛的广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代替奇异点（无穷点）并对其取极限的方法处理的 [6] .通常的积分计算直接利用公式 ()()()b a f x dx F b F a =-? 进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，有些被积函 数()f x 的原函数不能用初等函数表示成有限的形式；有些被积函数表达式很复杂；有些没有具体的解析表达式.而且，广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间

南开大学出版社高数练习册第五章答案.doc

第五章定积分 第一节定积分的概念及性质 一、选择题 1、A 2、D 二、填空题 1、负 2、［*/ 3、b-a 三、1、1 2、0 - 4 四、1、z 2> < 3> < 4、> 五、解：定积分处理问题的四个步骤为： 1、分割：将时间区间［儿乙］任意分成n个小区间M，商= l,2,...,n),每个小区间 所表示的时间为;各区间物体运动的路程记为△SiQ = 1,2,??。 2、近似：在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程。 在每个小区间"E ］上任取一时刻夺，以速度V⑥近似代替时间段 "，讪上各个时刻的速度,则有 △仰=1,2,???/)? 3、求和：将所有这些近似值求和，得到总路程S的近似值，即 S = ￡△$"￡? /=! /=1 4、取极限：对时间间隔四乙］分割越细，误差越小。为此记A = max{An), \

S = lim￡v ㈤山二 * 1=1 /=! 那么在一秒内经过的路程为 S=、20=l ? 六、解：设f(x) = /二则/⑴=/站(2尤-1) 当JCG(O,-)时,f (x)<0. 2 J i 当xe (— ,2)时,f (x) > 0. i _i ???、心的极小值为/'(5)=厂； 2 ?.? f(0) = l,f(2) = e~ :.| < J / dx < | /dx 即2e^< f e x X dx<2e2 ??-2° < [ / dx <-2e4 七、证明："⑴二土在[1,4]±为减函数 .?.sA⑴ 第二节微积分基本公式 一、填空题 1、C 2、&「2 3、2xsin V4 4、0 5、「V sin A入r i2 r ? 小+x 小+x 二、求定积分

编写大纲高等学校专科数学规划教材Word版

《普通高等学校专科数学规划教材》编写大纲 （征求意见稿） 一、编写目的 数学课程是高职高专学生必修的重要基础课程之一，它具有综合性、逻辑性和应用性强等特点，是高职高专学生进一步学习主干课程和延伸课程的基础，也是学生提高思维能力及进一步深造的基础，因此编写出一套好的数学教材对学生的成才培养有着十分重要的积极意义。 随着教育改革的不断深入以及高校规模的急剧扩大和招生数量的迅速增加，学校的层次有了变化，学生的水平的差距也在拉大，加之不同层次的学校对学生的培养目标也不不尽相同，所以原来的一本或几本教材就能满足需要的时代早已不复存在。对于数学教材来说更是如此，教材建设滞后，存在着教材针对性差、不相适应等现象，远远不能满足需要。 正是在这种形势下，我社准备组织有关院校的专家学者，特别是工作在数学教学第一线经验丰富的骨干教师，共同编写一套适合于高职高专院校学生使用的数学教材。这套教材适用于理工、经管各专业，具体是： 1.高等数学（理工类） 2.高等数学（经管类） 3.高等数学（少学时） 4.经济数学 5.线性代数 6.概率论与数理统计 7.大学数学（多学时，包括微积分、线性代数、概率统计） 8.大学数学（少学时，包括线性代数、概率统计） 二、指导思想 本套教材以教育部《数学课程教学基本要求》为编写原则，按照一般计划学时数来编写，同时还应充分考虑高职高专院校学生的实际水平以及培养“应用型人才”这一办学方向，既要注意基本理论体系的建立，又要顾及学生运用所学知识的解题能力，不追求难以推导定理与公式的证明和难题的求解，把重点放在基本知识的叙述上，希望达到的目的是提高学生综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 三、教学要求 我们希望学生能够通过本套数学教材的学习，获得高等数学、线性代数、概率论与数理统计方面比较系统的知识。同时，这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。

广义积分

第九章 广义积分习题课 一、主要内容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞+=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=101q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I

(整理)9广义积分习题课

第九章广义积分习题课 一、主要容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。

3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞ +=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=1 01q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I 对1I ，先讨论简单情形。 q p =时，1

p 时，由于

第四讲：不定积分定积分与广义积分

第四讲：不定积分定积分与广义积分 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1.若()f x 的导函数是sinx ，则()f x 的一个原函数为 （ B ） A ．1+sinx B ．1-sinx C ．1+cosx D ．1-cosx ()sin ()sin cos (cos )sin f x x f x xdx x C x C dx x Cx C '===-+' -+=-++?? 对照答案，只有B 是符合的，此时0,1C C '== 2.设()()() 302lim x h f x h f x e f x h -→--=是的一个原函数，则 （ A ） A ．-183x e - B ．183x e - C ．-33x e - D ．93x e - ()()()()333003()()3()922lim 2lim 22()18x x x h h x f x e e f x e f x h f x f x h f x h h f x e ---→→-'==-'=----=--'=-=- 3.设()f x 在[0，4]连续，且有 ( )()22 1 2x f t dt x f -==? （ D ） A ．-4 B ．4 C ．— 14 D ．14 ( )(2 21 22(2)1 x f t dt x xf x -'' ??= ??? -=? 令2x =，得4(2)1f =，所以1(2)4 f = 注：这题给的条件是在[0，4]连续，所以不能取2x =-，因为它不在所给的范围内 4. ()()'2ln ,x f x f x e dx x -==?则 （ A ） A ． 21c x + B ．ln x c -+ C ． 2 1 c x -+ D ．ln x c +

Advanced Mathematics

高等数学教学大纲 课程代码：2040109 课程名称：《高等数学》 课程类别：公共基础课 总学时总学时/学分：108 /6 适用对象：理工科、经济管理等专业本科生 第一部分： （一）课程性质 《微积分》课程是国家教委在高等学校财经类专业中设置的核心课程之一，它也是其他经济数学课程如《线性代数》、《概率统计》等的基础。高等数学在经济科学、管理科学中有着广泛的应用。更是现代经济科学研究与应用的重要工具。因此，学好《微积分》不仅对学习后继课程是必不可少的，而且对掌握现代经济管理理论并应用与实际也是很有必要的。（二）教学目的 《微积分》是财经类专业的一门基础课程，是学习现代经济科学的重要工具。通过教学，使学生掌握《微积分》基本理论，基本知识和基本方法，具有比较熟练的计算能力并为学好其他后继数学课程以及各门经济类课程打下扎实的数学基础，从而能正确地运用数学工具解决经济类专业学习中的问题。 （三）教学内容 本课程以微积分学为核心内容，主要包括函数、极限、导数与微分、积分、级数、微分方程等。一元函数和多元函数是微积分研究的对象，而极限理论则是最重要的基础。导数、微分、不定积分、常义及广义积分、级数这些基本概念均是借助于极限建立起来的。微分方程则作为微积分的延伸和应用。大纲中不带“ * ”号的内容为基本内容，有些专业如对数学知识有更高的要求，可根据实际需要选学大纲中带“ * ”号的内容。 （四）教学时数 根据学分数，《微积分》的正式教学时数（包括习题课）为144 学时（讲授一个学期）。（五）教学方式 以课堂教学为主，部分章节可根据学生的情况和实际需求采用各类实践教学活动。二、正文 第一章函数 教学要点： 1 、理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。

(完整版)六大基本初等函数图像与性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(

定积分和广义积分的区别与联系

反常积分与定积分有何区别和联系 要想得出定积分和广义积分的区别与联系，我们需要先明确两者的定义。从定义的角度出发，对其进行讨论 定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]任意插入n-1个分点， a=x 0a,如果极限 ?+∞→b a b f dx x lim ）（ 存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作 ?? +∞→+∞ =b b a dx x f dx x f a )(lim )( 瑕积分：设函数f(x)定义在(a,b]上，而在x=a 的任一右邻域内f(x)无界(此时称x=b 为f(x)的瑕点)，若f(x)在任意[a-ε,b](0<ε

05--第五节--广义积分.doc

第五节广义积分 我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分. 分布图示 ★无穷限的广义积分 ★无穷限的广义积分几何解释 ★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★无界函数的广义积分 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10 ★例11 ★例12 ★例13 ★内容小结★课堂练习 ★习题5-5 ★返回 内容要点 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 例题选讲 无穷限的广义积分 例1 (E01) 计算广义积分. 解对任意的有 于是 因此或 例2 (E02) 判断广义积分的敛散性. 解对任意 因为不存在,故由定义知无穷积分发散. 例3(E03) 计算广义积分. 解 例4 计算广义积分 解原式

例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛). 解 注: 其中不定式 例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性. 证 因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散. 无界函数的广义积分 例7(E06) 计算广义积分 解原式 例8(E07) 计算广义积分. 解 故题设广义积分发散. 例9(E08) 讨论广义积分的敛散性. 证 因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散. 例10 计算广义积分瑕点. 解 , 例11 计算广义积分 解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是 再令取时时于是 注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.

关于无穷限反常积分与无界函数反常积分的研究

1 01 01.ln 1ln A B A 00A B 00B A xdx B dx x x x x x ======??关于无穷限反常积分和无界反常积分的研究 判断无界反常积分(暇积分)和定积分 请分别判断，是定积分还是反常积分因为中处被积函数无界，所以是它的暇点，所以是反常积分。 因为中处被积函数有界为0，所以不是它的暇点，所以是定积分。 2.无穷限反常积分与无界反常积分的审敛法比较 a.无穷限反常积分(书上的结论全部是在当f(x)>00()()()()()()()a a p f x g x a x g x f x M M f x f x x x +∞+∞≤≤≤≤+∞≤≤? ?的情况下给出的， 至于f(x)<0时会怎么样呢？) 反常积分的审敛首先要清楚的一点是，被积函数收敛性与反常积分收敛性的关系。收敛函数的反常积分也收敛，发散函数的反常积分也发散。 比较审敛原理：时，若收敛，则比较审敛法和极限审敛法，这两个其实是一回事，都是将被积函数和p 级数进行比较。 时收敛 ()().1()()p q b q a x f x xf x b x a dx x a +≤-∞-?时发散存在时收敛 存在时发散 无界函数反常积分(暇积分)能不能也将被积分函数和p 级数比较呢？ 是不是也有q 1时发散，p>1时收敛呢的结论呢？ 答案是否定的！！！ 因为无穷限反常积分和幂级数里面都是x->,所以审敛法与级数审敛法很接近， 很好理解，而无界函数在暇点处则不是趋近于无穷而是0。所以审敛法有些不一样。现在考虑这个暇积分()11() 0()()11q p b q b q a a x a p x x a dx x a x a q +--∞-->??-??--??≥? 被积函数为，暂且把它叫作q 级数，它和级数有些相似，但p 级数中x->而q 积数中。正是因为这个区别导致=的敛散性与p 级数有着相反的结论: 当q<1时积分收敛，当q 时积分发散

无穷限广义积分的计算

指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,

§6广义积分与函数

§6. 6 广义积分与-Γ函数 课 题：§6.6 广义积分 教学内容：两种广义积分的计算 教学目的：通过学习，使学生掌握两种广义积分的计算 教学重点：无穷去见上广义积分的计算 教学难点：无界函数广义积分的计算 教学过程： 一、无穷限的广义积分 定义1 设函数f (x )在区间[a , +∞)上连续, 取b >a . 如果极限 dx x f b a b )(lim ? +∞→ 存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的广义积分, 记作dx x f a )(?+∞ , 即 dx x f dx x f b a b a )(lim )(??+∞→+∞ =. 这时也称广义积分dx x f a )(?+∞ 收敛. 如果上述极限不存在, 函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的广义积分dx x f a )(?+∞ 就没有意义, 此时称广义积分dx x f a )(?+∞ 发散. 类似地, 设函数f (x )在区间(-∞, b ] 上连续, 如果极限 dx x f b a a )(lim ? -∞→ (a

第06章02节无界函数的广义积分

第2节 无界函数的反常积分 我们知道，在[,]a b 上可积的函数都在[,]a b 上有界。下面我们考虑如果()f x 在某点[,]c a b ∈的附近无界，该怎么积分()b a f x dx ?？ 如果()f x 在c 的任意邻域内都无界，则c 称为()f x 的瑕点（反常点）。分别如下3种情况。 （1）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点b ；又设[,)t a b ?∈， ()f x 在[,]a t 上都可积。考虑极限 0()lim ()()[]b b a a f x dx f x dx A A f x a b ε ε+-→??? =???? 不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为 ()lim ()b b a a f x dx A f x dx ε ε+-→==? ? 此时称()b a f x dx ?收敛。（先把积分区间缩小一点点。） 如果在[,)a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则 ()lim ()()()b b a a b f x dx F F a F x ττ- →=-=? （记住：b 是怎样代进去的？） （2）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点a ；又设(,]t a b ?∈， ()f x 在[,]t b 上都可积。考虑极限 0()lim ()()[]b b a a f x dx f x dx A A f x a b ε ε++→??? =???? 不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为 ()lim ()b b a a f x dx A f x dx ε ε++→==? ? 此时称()b a f x dx ?收敛。（先把积分区间缩小一点点。） 如果在(,]a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则