泉州市南安市2017届九年级上第一次月考数学试卷含答案解析

2016-2017学年福建省泉州市南安市九年级（上）第一次月考数

学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1

2．下列根式中，与是同类二次根式的是（）

A． B． C．D．

3．方程x2﹣3=0的根是（）

A．x=3 B．x1=3，x2=﹣3 C．D．

4．方程x2+4x﹣6=0经过配方后，其结果正确的是（）

A．（x+2）2=2 B．（x+2）2=10 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=10

5．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（）

A．B．C．

D．

6．下列各式计算正确的是（）

A．8﹣3=5 B．5+3=8C．4×3=12D．4÷2=2

7．设方程x2﹣4x﹣1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（）

A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．0

8．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．

9．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）

A．没有实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

10．若a＜1，化简﹣1=（）

A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a

11．某药厂2013年生产1t甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2015年生产1t甲种药品的成本是3600元．设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，则x的值是（）

A． B．C． D．

12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．计算：= ．

14．方程x（x﹣2）=0的根是．

15．计算：= ．

16．计算= ．

17．当x取值时，代数式x2﹣4x+7有最小值是．

18．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m +2015= ．

三、解答题（共90分）

19．计算：|﹣3|﹣+（）0．

20．计算：×﹣+．

21．化简：（+2）﹣．

22．解方程：x2+4x﹣2=0．

23．已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．

24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．

（1）求实数m的最大整数值；

（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．

25．某商店将进价为每件80元的某种商品按每件100元出售，每天可售出100件．经过市场调查，发现这种商品每件每降低1元，其销售量就可增加10件．

（1）设每件商品降低售价x元，则降价后每件利润元，每天可售出

件（用含x的代数式表示）；

（2）如果商店为了每天获得利润2160元，那么每件商品应降价多少元？

26．计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．

= ．

= ．

= ．

…

（1）试用正整数n表示这个规律，并加以证明；

（2）求的值．

27．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为

“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．

2016-2017学年福建省泉州市南安市九年级（上）第一次

月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵二次根式有意义，

∴x﹣1≥0，

∴x≥1．

故选B．

2．下列根式中，与是同类二次根式的是（）

A． B． C．D．

【考点】同类二次根式．

【分析】运用化简根式的方法化简每个选项．

【解答】解：A、=2，故A选项不是；

B、=2，故B选项是；

C、=，故C选项不是；

D、=3，故D选项不是．

故选：B．

3．方程x2﹣3=0的根是（）

A．x=3 B．x1=3，x2=﹣3 C．D．

【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】这个式子先移项，变成x2=3，从而把问题转化为3的平方根．

【解答】解：移项得x2=3，

∴x=±．

故选D．

4．方程x2+4x﹣6=0经过配方后，其结果正确的是（）

A．（x+2）2=2 B．（x+2）2=10 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=10

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．

【解答】解：x2+4x﹣6=0，

x2+4x=6，

x2+4x+4=6+4，

（x+2）2=10，

故选B．

5．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（）

A．B．C．

D．

【考点】解一元二次方程-公式法．

【分析】熟记求根公式x=，进行选择即可．

【解答】解：当a≠0，b2﹣4ac＞0时，

一元二次方程的求根公式为x=，

故选D．

6．下列各式计算正确的是（）

A．8﹣3=5 B．5+3=8C．4×3=12D．4÷2=2

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

【解答】解：A、原式=5，所以A选项错误；

B、5与3不能合并，所以B选项错误；

C、原式=12×=12，所以C选项正确；

D、原式=2，所以D选项错误．

故选C．

7．设方程x2﹣4x﹣1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（）

A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．0

【考点】根与系数的关系．

【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠

0）根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1?x2=．

【解答】解：a=1，c=﹣1，

所以x1?x2===﹣1．

故选B

8．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x=0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0得出a2﹣1=0，求出a=±

1，再根据一元二次方程的定义判断即可．

【解答】解：把x=0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0得：a2﹣1=0，

解得：a=±1，

∵方程为一元二次方程，

∴a+1≠0，

∴a≠﹣1，

∴a=1，

故选A．

9．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）

A．没有实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

【考点】根的判别式．

【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：∵△=a2+4＞0，

∴，方程有两个不相等的两个实数根．

故选D．

10．若a＜1，化简﹣1=（）

A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】根据公式=|a|可知：﹣1=|a﹣1|﹣1，由于a＜1，所以a﹣1＜

0，再去绝对值，化简．

【解答】解：﹣1=|a﹣1|﹣1，

∵a＜1，

∴a﹣1＜0，

∴原式=|a﹣1|﹣1=（1﹣a）﹣1=﹣a，

故选：D．

11．某药厂2013年生产1t甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2015年生产1t甲种药品的成本是3600元．设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，则x的值是（）

A． B．C． D．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，根据2013年生产1吨某药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，2015年生产1吨药品的成本是3600元可列方程解答即可．

【解答】解：设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，由题意得

6000（1﹣x）2=3600

解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），

答：生产1t甲种药品成本的年平均下降率为．

故选：A．

12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．

【解答】解：∵一元二次方程有实数根，

∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，

∴ac≤4，且a≠0；

A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；

B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；

C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；

D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；

故选：D．

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．计算：= 2．

【考点】算术平方根．

【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即=|a|．

【解答】解：==2．

故答案为2．

14．方程x（x﹣2）=0的根是0，2 ．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”来解该题．

【解答】解：x（x﹣2）=0

即：x=o或x﹣2=0

解得x=0或x=2

故答案为：0，2．

15．计算：= ．

【考点】二次根式的加减法．

【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．

【解答】解：=2﹣=．

故答案为：．

16．计算= 2 ．

【考点】二次根式的乘除法．

【分析】先把分子化简为2，与分母约分即可求解．

【解答】解：==2

17．当x取 2 值时，代数式x2﹣4x+7有最小值是 3 ．

【考点】配方法的应用．

【分析】先把代数式x2﹣4x+7整理成（x﹣2）2+3的形式，再根据负数的性质求出x的值即可．

【解答】解：∵x2﹣4x+7=（x﹣2）2+3，

∴当x=2时，它有最小值，是3．

故答案为：2，3．

18．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m +2015= 2026 ．

【考点】根与系数的关系．

【分析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+ n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．

【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，

所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，

则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，

又n2=n+3，

则2n2﹣mn+2m+2015

=2（n+3）﹣mn+2m+2015

=2n+6﹣mn+2m+2015

=2（m+n）﹣mn+2021

=2×1﹣（﹣3）+2021

=2+3+2021

=2026．

故答案为：2026．

三、解答题（共90分）

19．计算：|﹣3|﹣+（）0．

【考点】实数的运算；零指数幂．

【分析】根据绝对值、算术平方根和零指数幂的意义计算．

【解答】解：原式=3﹣﹣4+1

=﹣．

20．计算：×﹣+．

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．

【解答】解：原式=××﹣2+

=3﹣2+

=4﹣2．

21．化简：（+2）﹣．

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】分别求出（+2）=a+2，

===a，再合并同类二次根式即可．

【解答】解：原式=a+2﹣a

=2．

22．解方程：x2+4x﹣2=0．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】先移项，得x2+4x=2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．【解答】解：移项，得x2+4x=2，

两边同加上22，得x2+4x+22=2+22，

即（x+2）2=6，

利用开平方法，得或，

∴原方程的根是，．

23．已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．

【分析】将x1=﹣1代入原方程，可求出m的值，进而可通过解方程求出另一根．

【解答】解：由题意得：（﹣1）2+（﹣1）×m﹣5=0，解得m=﹣4；

当m=﹣4时，方程为x2﹣4x﹣5=0

解得：x1=﹣1，x2=5

所以方程的另一根x2=5．

24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．

（1）求实数m的最大整数值；

（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．

【考点】根与系数的关系；根的判别式．

【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞

0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；

（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x2﹣2x+1=0，根据根与系数的关系，可得x1+x2=2，x1x2=1，再将x12+x22﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，则可求得答案．

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=8﹣4m＞0，

解得m＜2，

故整数m的最大值为1；

（2）∵m=1，

∴此一元二次方程为：x2﹣2x+1=0，

∴x1+x2=2，x1x2=1，

∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．

25．某商店将进价为每件80元的某种商品按每件100元出售，每天可售出100件．经过市场调查，发现这种商品每件每降低1元，其销售量就可增加10件．

（1）设每件商品降低售价x元，则降价后每件利润20﹣x 元，每天可售出100+10x 件（用含x的代数式表示）；

（2）如果商店为了每天获得利润2160元，那么每件商品应降价多少元？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）利润=售价﹣进价，降低1元增加10件，可知降低x元增加10x件，列出算式即可．

（2）根据上题列出方程，一件商品的利润乘以销售量得到总利润．

【解答】解：（1）原来售价100，进价80，利润为20元，又降价x元后，利润为（20﹣x）．

每降价一元，销量增加10件，说明降价x元，销量增加10x件，现在的销量为；

（2）设每件商品降价x元．

（20﹣x）×=2160，

解得：x1=2，x2=8，

答：每件商品应降价2元或8元．

26．计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．

= 2 ．

= 2 ．

= 2 ．

…

（1）试用正整数n表示这个规律，并加以证明；

（2）求的值．

【考点】分母有理化．

【分析】（1）已知等式计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；

（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．

【解答】解：（+）（﹣）=2；

（+）（﹣）=2；

（+）（﹣）=2，

故答案为：2；2；2；

（1）以此类推，（ +）（﹣）=2；

（2）原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣1）=5．

27．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为

“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．

【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．

【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；

（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；

（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．

【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时

勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；

（2）证明：根据题意，得

△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab

∵a2+b2=c2

∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0

即△≥0

∴勾系一元二次方程必有实数根；

（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b= c

∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6

∴3c=6

∴c=2

∴a2+b2=c2=4，a+b=2

∵（a+b）2=a2+b2+2ab ∴ab=2

=ab=1．

∴S

△ABC