投篮问题(数学建模)

投篮问题

激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球

我们建立数学模型研究以下数学问题：

1) 先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v，确定出手角度α和篮框的入射角度β；

2) 考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；

3）为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（这里暂不讨论偏左或偏右）。讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；

投篮问题的数学模型

建模论文 题目：投篮问题 指导老师：窦霁虹 报告人：张莲民（20021090035） 段海婷（20021090002） 江云（20021090004） 2005年6月3日

一、问题的提出 激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球 我们建立数学模型研究以下数学问题： 1) 先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。对不同的出手高度h 和出手速度v ，确定出手角度α和篮框的入射角度β； 2) 考虑篮球和篮框的大小 ，讨论球心命中框心且球入框的条件。检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件； 3） 为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（这里暂不讨论偏左或偏右）。讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差； 二、模型的假设 1、 假设求出手后不考虑自身的旋转 2、 不考虑篮球碰篮板或篮框入框 3、不考虑空气阻力对篮球的影响时 三、符号设定 d 篮球直径 D 篮框直径 L 罚球点和篮框中心的水平距离 H 篮框中心的高度 h 篮球运动员的出手高度 v 篮球运动员投篮出手速度 按照标准尺寸，L=4.6m ，H=3.05m ，d=24.6cm ，D=45cm. 四、问题的分析与模型的建立 1、问题1）的分析与模型的建立： 不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P ，列出x(水平)方向和y （竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为 出手角度与 出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度，出手高度，计算出手角度和入射角度。 由于不考虑篮球和篮筐的大小,不考虑空气阻力的影响,从未出手时的球心 p 为坐标原点, x 轴为水平方向, y 轴为竖直方向,篮球在 t =0时以出手速度 v 和出手角度α 投出,可视为质点(球心)的斜抛运动,其运动方程 是我们熟知的。 (1) 其中 g 是重力加速度.由此可得球心运动轨迹为如下抛物线 2 sin )(2 gt t v t y - =αt v t x αcos )(=

数学建模——投篮命中率的数学模型

投篮命中率的数学模型 摘要 随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。 首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。 本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。 在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。 关键词：命中率、出手角度、出手速度、投篮出手点、篮框中心、MathType 数学软件

投篮问题的数学建模

摘要 如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于33.1。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。 关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度 问题提出 在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。 我们建立数学模型研究以下数学问题： 1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心 命中框心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；

投篮问题的数学建模精编WORD版

投篮问题的数学建模精 编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

摘要 如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于33.1。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。 关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度 问题提出 在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。 我们建立数学模型研究以下数学问题：

数学建模投篮命中率的数学模型

数学建模投篮命中率的 数学模型 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

投篮命中率的数学模型 摘要 随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。 首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。 本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。

数学建模投篮命中率的数学模型

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投篮命中率的数学模型 摘要 随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型，从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下，确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。 首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。 本文在第一问中所设定的不考虑球出手后白身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的

出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。 在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。 关键词：命中率、出手角度、出手速度、投篮出手点、篮框中心、MathType 数学软件

投篮问题建模

数学建模竞赛论文 摘要 在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮 球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。 首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。在这里我们通过对出球角 度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s,这样合理的假设 了运动员的出球速度是在8~9m/sz之间。并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。 其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L 和出投高度h,因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。 接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。 最后，运用我们所建立的模型分析得出2012年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力 关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差

评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型-参考模板

评价NBA 球员能力和薪资关系的数学模型 摘要 根据贝利提供的理论，一名NBA 球员所得到的薪酬和他们在场上得多少分有直接关系，不过这并不是唯一需要考虑的因素，因为这和是否能够帮助球队带来胜利、在场上的投篮出手数、失误数、篮板数以及犯规数也有着关联。 为了探讨球员能力和薪资的关系，本文主要运用多元分析中的主成分分析法和因子分析法，借助于SPSS 软件对数据进行分析，首先从衡量球员技术水平的得分、助攻、投篮命中率等10项指标出发，得出各指标与公因子的表达式 123i i ZX aF bF cF ε=+++。用因子分析法对2011-2012赛季的8个球队现役球员的 综合能力进行评估分析，得到球员能力的综合指标模型，算出每个球员的综合得分。最后，我们将球员所得薪资与个人能力进行二次非线性回归，用MATLAB 软件拟合出两者之间的函数关系2()1*2*3f x p x p x p =++。将算得的应得值与实际所得值进行比较分析，得出检测值之间的误差，然后给出相关的合理解释。 关键词：因子分析法、综合能力指标、回归分析

一、问题提出 科比、斯塔德迈尔、德克-诺维茨基等球员是NBA联盟里闪耀的球星，他们能够拿到动辄几千万的年薪也是无可厚非的事情。不过近日南犹他大学的经济学教授大卫-贝利在进行的一项统计中，得出科比、小斯、诺维茨基等人实际上属于高薪低能的表现。他们的所得和所起到的表现并不能成为正比。 大卫-贝利对球员是否高薪低能的事情早有研究，为此他有着一套缜密的计算公式，而早在2006年的时候，他还和同伴一起撰写过一本名为“胜利的工资”的著作，在这本书中，贝利阐释了计算一名球员是否高薪低能的公式，这个公式被称之为“胜利产值”。根据贝利提供的理论，一名NBA球员所得到的薪酬和他们在场上得多少分有直接关系，不过这并不是唯一需要考虑的因素，因为这和是否能够帮助球队带来胜利、在场上的投篮出手数、失误数、篮板数以及犯规数也有着关联。 综合种种数据，经过测算，才会得出最终的“胜利产值”，以决定这名球员是否是高薪低能。在近日贝利给美媒体CNBC的一封邮件中，他表示：“在球场上，一支球队若想获得胜利，他们对球权的控制能力是关键，他们需要将这些球权转化为得分。而在2011-12赛季中，NBA总共要为990场常规赛的胜利支付19亿美元，这意味着每场常规赛胜利合194.6万美元，根据每场胜利的花费和一名球员的获胜场数以及他的工资，就可以计算出他的性价比是否合格。”而令人感到意外的是，在贝利计算出的十大性价比低下的榜单上，竟然出现了科比、小斯、诺维茨基等人的名字，而且科比还位列这份榜单的第二位。 请收集NBA球员的表现数据，建立数学模型，合理评价球员的能力和薪资关系。 二、问题分析 NBA球员的薪资高低是受个人能力、上场时间、球场经验、巨星效应等很多因素影响的，其中球员个人能力是评判一个球员薪资的一个最重要的指标。球员能力是由得分、篮板、助攻、抢断、盖帽等因素所决定。本文针对这一情况，建立了评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型。首先，我们采用因子分析法，求得球员能力的综合得分，然后根据球员实际所得薪资与球员能力进行回归分析，得到拟合后的函数关系。最后我们对一个球员是否高薪低能进行了评判，模型的合理性得到了验证。 三、模型假设 1.假设收集的NBA球员数据均真实可靠； 2.假设球员所得的薪资跟所在的球队的战绩无关； 3.假设NBA30支球队支付给球员的薪资不会超过联盟规定的工资帽。

篮球比赛中罚球命中率

数学建模题目： B 参赛队员： 队员1 姓名： 班级： 学号： 学院： 联系方式： 队员2 姓名： 班级： 学号： 学院： 联系方式： 队员3 姓名： 班级： 学号： 学院： 联系方式：

投篮命中率的数学模型设计与可行性分析 摘要 从篮球创造出来至今，从一开始的娱乐游戏发展为国际性甚至是世界性的比赛，篮球一直是为人们所喜闻乐见的。篮球不仅可以锻炼人的身体，同时也可以考验团队的合作能力。其中投篮命中率是一个队伍取胜的必要条件。根据篮球比赛经验，影响投篮命中率的关键因素有以下两点：出手角度和出手速度。本文依据优化思想，结合随机模拟、TOPSIS 评价法等相关知识，定量定性分析了以上两点因素以及相关影响因素，建立了一个可以多角度评价的提高投篮命中率的理想化模型。 对于问题一：为了提高罚球投篮命中率，我们分三步走，首先不考虑篮球篮框大小，讨论球心命中框心条件；再考虑篮球篮框大小，讨论球心命中框心且 球入框条件；然后讨论保证球入框条件下，出手角度允许的最大偏差和出手速度 允许的最大偏差。在假设不考虑球出手后自身旋转、球碰篮板或篮框的情况及不考虑空气阻力的条件下，采用微积分和定积分的几何应用、函数单调性及函数极值、数型结合的方法将在罚球线上提高罚球命中率的抛物线抽象问题转化为了数学实际问题，建立对不同出手高度(速度)的最小出手速度（高度）及相应的出手角度的表格，分析出手速度和出手角度的最大偏差，根据变量之间的关系列出方程，并进行求解。 对于问题二：在问题一的基础上，考虑篮球擦板后进球情况，我们就应用了物理与数学结合的反射定理，考虑球与篮板碰撞后，经过不同的反射角进入篮筐，列出并计算出相应数据，经过SPSS 法分析筛选后，得出表格，又因为要在限制区边线上距篮筐中心30度、45度、90度（罚球线）位置上投球，根据角度不同，X 的取值也不同列出函数： 再代入问题（1）中所列方程，经过SPSS 法重复测量筛选分析检验后，并建立对不同出手角度、出手速度和出手高度的表格，分析出手速度和出手角度的最大偏差，并得出结论。 关键词:投篮命中率 抛物线 最适宜投球角度和高度 模型 () sin sin E x λ λθ= +

投篮问题建模

投篮问题建模 This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.

数学建模竞赛论文 摘要 在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。 首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。在这里我们通过对出球角度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s,这样合理的假设了运动员的出球速度是在8~9m/sz之间。并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。 其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L 和出投高度h，因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。 接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。 最后，运用我们所建立的模型分析得出2012年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力 关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差 一．问题的重述： 规则改变前的篮球场地示意图 规则改变后的篮球场地示意图 高。 二．问题分析 （1）在研究罚篮时，由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需，分别给定一个出手速度v和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。

投篮问题的数学模型

关于积分的数学模型实例 用现代数学方法研究体育运动是20世纪70年代开始的，1973年，美国的应用数学家凯勒发表了赛跑的有关理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得很好的成绩。几乎同时，美国的计算专家埃斯特运用数学、力学，并借助计算机研究了当时铁饼投掷技术，从而提出自己的理论，据此改正投掷技术的训练措施，从而使当时一位世界冠军在短期内将成绩提高了4米，在一次奥运会上的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。这些例子说明，数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用，所用到的数学知识也越来越深入，借助的科学工具也越来越先进。我们选择一个较简单的例子来作说明。 篮球运动员在中距离投篮训练时被告知：为提高投篮命中率，应以450投射角投球。请从数学理论的方法阐述其原因。其中典型数据：投篮距离6米，篮圈半径0.2米，篮圈高度3.05米，篮球出手高度2.9米。 模型假设： （1） 忽略空气阻力； （2） 只考虑不接触篮板投篮的情况； （3） 防守队员的防守不影响投篮命中率； （4） 运动员投球的水平距离s<10（米） h （5） 投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内。 如图，设P 1P 2为篮圈横截面，篮圈高为H 0，半径为R ，H 0=3.05（米），R=0.2（米） 投篮出手点到篮圈中心水平距离为s 0，出手高度为h 0，s 0=6（米） h 0=2.9（米） 投篮出手角度为θ，速度为v ，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为A(θ) 建立相应的数学模型及求解： 显然，投球入篮与否与距离s 0、出手角度θ、出手速度v 、篮圈高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素，我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。 于是，该问题转化为求一个角度θ0(h 0, s 0)，能使运行区域面积A(θ)最大，即 000(,) ()m ax ()h s A A θθθ= 第一步：由运动学知弧 1 O P 、 2OP 的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为： 2 2 2 tan 2cos g y x x v θθ =- 由于 1 O P 过点1000(,)P s R H h --，则有： 0002 2 2 0tan ()() 2cos () s R H h g v s R θθ ---= - 则 1 O P 的方程为

投篮问题的数学建模

投篮问题的数学建模

摘要 如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于33.1o。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。 关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度 问题提出 在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。 我们建立数学模型研究以下数学问题： 1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心 命中框心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；