中考数学专题训练定值和最值问题解析版

定值问题解

1、如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不

包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时PQ=52. （1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；

（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？

【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ 中，由勾股定理得：PC=(

)

2

222PQ CQ 25

2-=-=4，

∴OC=OP+P C=4+4=8。

又∵矩形AOCD ，A （0，4），∴D（8，4）。 t 的取值范围为：0＜t ＜4。 （2）结论：△AEF 的面积S 不变化。

∵AOCD 是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。 ∴

CE CQ AD DQ =，即CE t 84t =-，解得CE=8t

4t

-。 由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t ，则CF=CD+DF=8－t 。 S=S 梯形AOCF ＋S △FCE －S △AOE =

12（OA+CF ）?OC+12CF?CE－1

2

OA?OE =12 [4＋（8－t ）]×8+12（8－t ）?8t 4t -－12×4×（8＋8t 4t

-）。 化简得：S=32为定值。

所以△AEF 的面积S 不变化，S=32。

（3）若四边形APQF 是梯形，因为AP 与CF 不平行，所以只有PQ∥AF。

由PQ∥AF 可得：△CPQ∽△DAF。

∴CP：AD=CQ ：DF ，即8－2t ：8= t ：4－t ，化简得t 2

－12t ＋16=0，

解得：t 1=6+25，t 2=625-。

由（1）可知，0＜t ＜4，∴t 1=6+25不符合题意，舍去。

∴当t=625-秒时，四边形APQF 是梯形。

2、如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．

（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。 ∴∠ACF=60°，AC=AB 。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC ，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA ）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，则S △ABE =S △ACF 。 ∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。 作AH⊥BC 于H 点，则BH=2，

22AECF ABC 11

S S BC AH BC AB BH 4322

?==??=?-=四形边。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三

角形AEF 的

面积会最小，

又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．

∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF

()()

22

1

432323332

=-??

-=。

∴△CEF 的面积的最大值是3。

（二）由运动产生的线段和差问题（最值问题）

1、如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1

y x

=

图像上的两点，动 点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】

A. 1(,0)2

B. (1,0)

C. 3(,0)2

D. 5(,0)2

【答案】D 。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。 【分析】∵把A 11(,y )2，B 2(2,y )分别代入反比例函数1y x

=

得：y 1=2，y 2=1

2 ，

∴A（

12 ，2），B （2，1

2

）。 ∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP|＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA －PB=AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大。

设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：

12=k+b 21=2k+b 2

???????，解得：k=15b=2-?????。∴直线AB 的解析式是5y x 2=-+。

当y=0时，x= 52，即P （5

2

，0）。故选D 。

2、如图，抛物线l 交x 轴于点A （﹣3，0）、B （1，0），交y 轴于点C （0，﹣3）．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1． （1）求l 1的解析式；

（2）在l 1的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，并说出理由；

【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点A ．B 的对应点分别为A 1、B 1，

依题意，由翻折变换的性质可知A 1（3，0），B 1（﹣1，0），C 点坐标不变，∴抛物线l 1经过A 1（3，0），B 1（﹣1，0），C （0，﹣3）三点，

设抛物线l 1的解析式为y=ax 2

+bx+c ，则

9a+3b+c=0a b+c=0c=3

??

-??-?

，解得a=1

b=2c=3??-??-?。

∴抛物线l 1的解析式为：y=x 2

﹣2x ﹣3。 （2）抛物线l 1的对称轴为：x=b 2

==12a 2

--

-， 如图2，连接B 1C 并延长，与对称轴x=1交于

点P ，则点P 即为所

求。

此时，|PA 1﹣PC|=|PB 1﹣PC|=B 1C 。 设P′为对称轴x=1上不同于点P 的任意一点，

则有：|P′A﹣P′C|=|P′B 1﹣P′C|＜B 1C （三

角形两边之差小于

第三边），

∴|P′A﹣P′C|＜|PA 1﹣PC|，即|PA 1﹣PC|最大。

设直线B 1C 的解析式为y=kx+b ，则

k+b=0

b=3-??

-?

，解得k=b=﹣3。∴直线B 1C 的解析式为：y=﹣3x ﹣3。 令x=1，得y=﹣6。∴P（1，﹣6）。

3、如图，已知抛物线y=﹣x 2

+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x 2

+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，

1b+c=04+2b+c=3

--??

-?，解得b=2

c=3???。∴抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++。 设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，由直线AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得

k+n=02k+n=3-??

?

，解得k=1

n=1???。 ∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。 （2）作N 点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N （0，3）。

∴N′（6，3）

由()2

2y x 2x 3=x 1+4=-++--得

D （1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t ，则

6s+t=3s+t=4???，解得1s=5

21t=

5

?-??????。 ∴故直线DN′的函数关系式为1

21y x 55

=-+

。 根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小， ∴12118m 3=555

=-?+

。 ∴使MN+MD 的值最小时m 的值为

185

。

（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2），

①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，此时，点E 与点C

重合，即E （2，3）。

②当BD 为平行四边形边时，

∵点E 在直线AC 上，∴设E （x ，x+1），则F （x ，2x 2x 3-++）。 又∵BD=2

∴若四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时，BD=EF 。 ∴()2x 2x 3x 1=2-++-+，即2x x 2=2-++。

若2x x 2=2-++，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。

若2

x x 2=2-++-，解得，117

x=±，∴E 1+173+17?? ? ??? ，或E 117317??-- ? ???

，。 综上，满足条件的点E 为（2，3）、（0，1）、1+173+17?? ? ??? ，、117317??-- ? ???

，。 （4）如图，过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG⊥x 轴于点G ，

设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2

+2x+3）。

∴22PQ x 2x 3x 1x x 2=

-++--=-++（）（）。 ∴APC APQ CPQ 1

S S +S PQ AG 2

???==

? 2213127

x x 23x 2228

=-++?=--+

（）（）。 ∵302

<-，

∴当1x=2时，△APC 的面积取得最大值，最大值为

278

。 4、如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点． （1）求抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点，

∴ 16a 4b c 04a 2b c 3 c 3

++=??

++=??=?，解得3a 83b 4c 3

?

=-??

?=??=???

。

∴抛物线的解析式为：233

y x x 384

=-+

+，其对称轴为：b

x 12a

=-

=。 （2）由B （2，3），C （0，3），且对称轴为x=1，可知点B 、C 是关于对

称轴x=1的对称点。

如图1所示，连接AC ，交对称轴x=1于点M ，连接MB ，则MA ＋MB=MA ＋MC=AC ，根据两点之间线段最短可

知此时MA ＋MB 的值最小。

设直线AC 的解析式为y=kx ＋b ，

∵A（4，0），C （0，3），∴ 4k b 0 b 3+=??=? ，解得3k 4b 3

?

=-

???=?。

∴直线AC 的解析式为：y=3

4

-x ＋3。

令x=1，得y=94 。∴M 点坐标为（1，9

4

）。

（3）结论：存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC∥AP 1，此时梯形为ABCP 1。

由B （2，3），C （0，3），可知BC∥x 轴，则x 轴与抛物

线的另

一个交点P 1即为所求。

在23

3

y x x 384

=-+

+中令y=0，解得x 1=-2，x 2=4。 ∴P 1（－2，0）。

∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A≠BC。 ∴四边形ABCP 1为梯形。

②若AB∥CP 2，此时梯形为ABCP 2。 设CP 2与x 轴交于点N ，

∵BC∥x 轴，AB∥CP 2，∴四边形ABCN 为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，0）。

设直线CN 的解析式为y=k 1x+b 1，则有： 1112k b 0b 3 +=??=?，解得3k 2b 3

?

=-

???=?。

∴直线CN 的解析式为：y=3

2-x+3。

∵点P 2既在直线CN ：y=32-x+3上，又在抛物线：233

y x x 384

=-++上，

∴32-x+3=233 x x 384

-++，化简得：x 2

－6x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=6。

∴点P 2横坐标为6，代入直线CN 解析式求得纵坐标为－6。∴P 2（6，－6）。 ∵ABCN ，∴AB=CN，而CP 2≠CN，∴CP 2≠AB。∴四边形ABCP 2为梯形。

综上所述，在抛物线上存在点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P 的坐标为

（－2，0）或（6，－6）。

中考数学专题复习最值问题

两点之间线段最短关系密切．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法． 类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到C ，D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为E ，F ，沿CE ，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P ，沿PC 、PD 铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？ 【思路点拨】 方案一管道长为CE ＋DF ，方案二管道长为PC ＋PD ，利用垂线段最短即可比较出大小． 本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点． 1．如下左图，点A 的坐标为(－1，0)，点B(a ，a)，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(22，－22) C ．(－22，－22) D ．(－12，－12 ) 2．在直角坐标系中，点P 落在直线x －2y ＋6＝0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.352 B ．3 5 C.655 D.10 3．如上中图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k ＋4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为________． 4．如上右图，平原上有A ，B ，C ，D 四个村庄，为解决缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2)计划把河水引入蓄水池H 中，怎样开渠最短并说明根据． 类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题 (1)如图1，直线同侧有两点A ，B ，在直线MN 上求一点C ，使它到A 、B 之和最小；(保留作图痕迹不写作法) (2)知识拓展：如图2，点P 在∠AOB 内部，试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ，使△PEF 周长最短；(保留作图痕迹不写作法) (3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小；(保留作图痕迹不写作法)

中考数学几何中的最值问题综合测试卷(含答案)

中考数学几何中的最值问题综合测试卷 一、单选题(共7道，每道10分) 1.如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿5cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为()cm A. B.15 C. D.12 答案：B 试题难度：三颗星知识点：勾股定理、圆柱展开图、轴对称的性质 2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最 小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质、矩形的性质 3.如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和

AB上的动点,则BM+MN的最小值为( ) A. B. C.6 D.3 答案：A 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质 4.如图,当四边形PABN的周长最小时,a=（）. A. B. C. D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质 5.如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上

运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是( ) A. B.(1,0) C. D. 答案：D 试题难度：三颗星知识点：轴对称——线段之差(绝对值)最大 6.如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为边AB上一动点,且PE⊥AC于点 E,PF⊥BC于点F,则线段EF长度的最小值是() A. B. C. D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：垂线段最短 7.如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中,

中考数学中的最值问题解法

中考数学中的最值问题解法

角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。 ∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。 在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM， ∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。 又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。 ∵BC=42，∠ABC=45°，∴CE的最小值为 0=4。 例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm ，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲ cm。

【答案】15π。 【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行 四边形的性质。 【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线 最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、13 高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为4cm π，13 高为3cm π，根据勾股定理，得斜线长为5cm π，根据平行四边形的性质，棉线最短为15cm π。 例4. （2012四川眉山3分）在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1＜AD ＜4。 【考点】全等三角形的判定和性质，三角 形三边关系。 【分析】延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE ．根 据SAS 证明△ABD≌△ECD，得CE=AB ，再根 据三角形的三边关系即可求解： 延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE 。 ∵BD=CD ，∠ADB=∠EDC ，AD=DE ， ∴△ABD≌△ECD（SAS ）。 ∴CE=AB。 在△ACE 中，CE －AC ＜AE ＜CE ＋AC ，即2＜2AD

福建省惠安县广海中学2020年九年级中考数学专题-定点定值问题(无答案)

广海中学中考数学复习提纲—定点定值问题 班级 姓名 号数_______ 一、定点问题——由字母参数产生的定点 例1．阅读以下内容，然后解决问题 无论m 为任何实数，函数 的图像总会经过的点是（ ）. A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0） 方法1：变换主元法 ①x x x y x y -=+-=???==??? 1020 1 32 ， 解得 这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或 抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程或方程组求出定点坐标。 方法2：特殊值法 任意给m 赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。 y x x y x =+=+?????2 2 22 ，解得 所以，无论m 为何值时，该二次函数的图像恒过定点（1，3）。故应选A 。 练习． 一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过定点________________ 抛物线y=(k-1)x 2 +(2-2k)x+1，那么此抛物线必定经过______和____ 二、定值问题 1.线段长度为定值 例2．若直线y=8k 与二次函数L ：y=kx 2 ﹣4kx+3k （k ≠0）交于E 、F 两点。 （1）直接抛物线的对称轴直线__________； （2对于不同的k 的值，线段EF 的长度是否发生变化？如果不会， 请求出EF 的长度；如果会，请说明理由． 练习2．如图，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C 是AB ⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E.连接DE ，点G ，H 在线段 DE 上，且DG=GH=HE.在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请写出出该线段的长度. B O A C E H G D

中考复习数学几何最值问题

几何最值问题 一、垂线段最短 1、已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距 离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（） 2、如图，在RT三角形ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D是BC上的动点，将线段AD绕点A 顺时针旋转60°至AD，连接BD，若AB=2cm，则BD’的最小值为__________ 3、如图，在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1B1C1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，线段EP1长度的最小值与最大值分别是． 4\如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是▲．

5、如图，点C 是线段AB 上的一点，且AB= ,分别以AC,BC 为底作等腰ΔAEC 和等腰ΔBCF, 且∠AEC=∠BFC=120°，点P 为EF 的中点，求线段PC 长度的最小值。 6、已知菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，?=∠120BAD ，4=AB ,E 为OB 上的一个动点，将AE 绕点A 逆时针旋转60°，得AF ，则点F 到O 的最短距离为 ． 7、如图，已知∠MON=30°，B 为OM 上一点，BA ⊥ON ，四边形ABCD 为正方形，P 为射线BM 上一动点，连结CP ，将CP 绕点C 顺时针方向旋转90°得CE ，连结BE ，若AB=4，则BE 的最小值为__________ 8、 如图，在△ABC 中，∠A=75°，∠C=45°，BC=4，点M 是AC 边上的动点，点M 关于直线AB 、BC 的对称点分别为P 、Q ，则线段PQ 长的取值范围是______．

2019年中考数学最值问题专题卷(含答案)

2019年中考数学最值问题专题卷（含答案） 一、单选题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B' 的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y= 上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（） A. B. C. D. 3.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（） A. B. 2 C. 2 D. 二、填空题 4.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________ ． 5.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________． 6.如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为________．

7.如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是________ 三、综合题 8.如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点． （1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点． （Ⅰ）当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度； （Ⅱ）如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ．

中考数学压轴题(定值问题)

1. ( 2009 ?株洲)如图，已知△ ABC 为直角三角形，/ ACB=90 ° AC=BC ,点A 、C 在x 轴上，点 B 坐标为 (3，m )(m >0),线段AB 与y 轴相交于点D ，以P (1, 0)为顶点的抛物线过点 B 、D . (1) 求点A 的坐标(用m 表示)； (2) 求抛物线的解析式； (3) 设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交BC 于点E ,连结BQ 并延长 交AC 于点 F ，试证明：FC(AC + EC)为定值. 解析：(1 )由B(3,m)可知OC =3, BC=m ，又△ ABC 为等腰直角三角形， AC = BC = m , OA = m -3，所以点 (2)T ODA "OAD =45 .OD =OA =m - 3，则点D 的坐标是( 又抛物线顶点为 P(1,0)，且过点B 、D , 2 y =a(x-1)，得： a(3 -1) =m 解得 a i a(0 -1)2 =m -3 m =4 .抛物线的解析式为 y =x 2 -2x ? 1 (3)过点Q 作QM _ AC 于点M ，过点Q 作QN _ BC 于点N ，设点Q 的坐标是(x, x 2 - 2x T), 则 QM =CN =(x -1)2, MC =QN =3-x . 2 ?/ QM //CE /. . PQM s . ：PEC .型=空 即(x-1) _ x -1，得 EC=2(x — 1) EC PC EC 2 ?/ QN // FC /? BQN s . BFC . QN 即 3 ~x _4 -(x_1)2 ，得 FC 二丄 FC 一 BC FC 4 x + 1 4 又??? AC =4 . FC (AC EC) [4 2(x -1)]二 x+1 二、定长、定角、定点、定值类型 1. ( 2011?东营)如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为(-3, 0) , (0, 1),点D 1 是线段BC 上的动点(与端点 B 、C 不重合)，过点D 作直线y=—^-x + b 交折线OAB 于点E . (1) 记厶ODE 的面积为S ,求S 与b 的函数关系式； (2) 当点E 在线段OA 上时，且tan /DEO=<-.若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形 O 1A 1B 1C 1，试探究四边形 O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面 积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说 明理由. 考点：一次函数综合题。 > 分析：(1 )要表示出△ ODE 的面积， 卄” 要分两种情况讨论，①如果点E 在OA B --------------------------- C 边上，只需求出这个三角形的底边 OE 长(E 点横坐标)和高(D 点纵坐标)， _ \ 代入三角形面积公式即可； ②如果点 ? - 【中考数学压轴题】 ?、乘积、比值类型 定值问题 即FC(AC + EC)为定值8. …12分 (2x 2) 2(x 1)=8 7分

2020年中考数学必考34个考点专题33：最值问题

专题33 最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式 二次函数y ax bx c =++2 （a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。y ac b a max =-442。 2.一次函数的增减性 一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。 3. 判别式法 根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得?≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质 在实数范围内，显然有a b k k 2 2 ++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 2 2 ++的最小值为k 。 6. 零点区间讨论法 用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解 在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。 8. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。 专题知识回顾 专题典型题考法及解析

初中数学《几何最值问题》典型例题

初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题(最新整理)

“将军饮马”老歌新唱 ——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题 王 柏 校 古希腊有位将军要从 A 地出发到河边去饮马，然后再到 B 地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ A 地 B 地 图 1 这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设 L 为河（如图 1），作 AO ⊥L 交 L 于 O 点，延长 AO 至A ' ，使 A ' O =AO ；连结 A ' B ，交 L 于 C ，则 C 点就是所要求的饮马地点。再连结 AC ，则 路程（AC+CB ）为最短的路程。 为什么饮马地点选在 C 点能使路程最短？因为 A ＇是 A 点关于 L 的对称点，AC 与 A ' C 是相等的。而 A ' B 是一条线段，所以 A ' B 是连结 A ＇、B 这两点间的所有线中，最短的一条， 所以 AC+CB = A ' C+CB = A ' B 也是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。 这一流传近 2000 年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从 2009 年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。 一、演变成与正方形有关的试题 例 1（2009 年抚顺）如图 2 所示，正方形 ABCD 的面积为 12， △ABE 是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD + PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A. 2 B. 2 C.3 D ． A B C L A 3 6 6

2017-中考数学-压轴专题-最值问题系列(一)

专题最值问题—— 1（几何模型） 一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况： 1. 归于“两点之间的连线中，线段最短”。 凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 2.归于“三角形两边之差小于第三边”。 凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 3.利用轴对称知识（结合平移）。 4. 应用“点到直线的距离，垂线段最短。”性质。 5. 定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。 二、基础知识模型 （一）“将军饮马”问题 1.如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？ 2.如图,一位将军骑马从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短? 图1 图2 3. 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵马，先到草地一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

（二）“造桥选址”问题（选自人教版七年级下册） 1. 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直） 练习: 1. 如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点， 连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 1题图2题图 2.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点， 若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__________. 3.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,请在x轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。

中考数学之定值探究(通用版)

中考数学之定值探究（通用版） 近年来，我们经常遇到求线段的和、差、积、商是一个定值的问题，也会遇到在图形的变换过程中，面积是一个定值的问题.这类问题的提出，往往是询问的语气，不能说一定是定值或一定不是定值，需要探讨后才能作出结论.这类题型难度大，运用的知识点多，计算量大，对综合运用知识的能力有较高要求. 本文档将此类型的题目分为几个类型，供各位老师进行探究： 一、α为定值 例1 已知抛物线21y x mx m =-+++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)。如图1，若点M 为抛物线位于x 轴上方图象上一动点，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，直线MN 上有一点H ，满足HBA ∠与MAB ∠互余，试判断HN 的长是否变化，若变化?请说明理由，若不变，请求出HN 长. 分析△AMN 的三边随点M 的变化而变化，但因为HBA ∠与MAB ∠互余，所以△AMN ∽△HBN ，从而可以建立比例关系，求出HN 的长. 解 令210y x mx m =-+++=，得 11x =-，21x m =+， ∴(1,0)A -，(1,0)B m +. 设(,0)N t ，则 2(,1)M t t mt m -+++， ∴1NA t =+， 1BN m t =+-，

21MN t mt m =-+++. ∵90HBA MAB ∠+∠=?， 90ANM MNB ∠=∠=?， ∴△AMN ∽△HBN ， ∴MN AN NB HN = 即2111t mt m t m t HN -++++=+-， 解得1HN =. 评析本题以二次函数为背景，结合相似三角形，找出等量关系(注意避免使用,AM BH ).其中含有参数的代数式的因式分解是本题难点，合理使用有关线段是解决本题的关键. 二、a b 为定值 例2 如图2，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于,A B 两点，交y 轴于,C D 两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于点G ，若A 点的坐标为(2,0)-，8CD =. (1)求⊙M 的半径. (2)求AE 的长. (3)如图3，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 上运动时， OF PF 的比值是否发生变化?若不变，求出比值;若变化，请说明变化规律.

初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

最新中考数学专题训练：定值和最值问题解析版

定值问题解 1、如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不 包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时PQ=52. （1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围； （2）连接AQ 并延长交x 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？ 【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2， 在Rt△PCQ 中，由勾股定理得：PC=() 2 2 2 2PQ CQ 252-=-=4， ∴OC=OP+P C=4+4=8。 又∵矩形AOCD ，A （0，4），∴D（8，4）。 t 的取值范围为：0＜t ＜4。 （2）结论：△AEF 的面积S 不变化。 ∵AOCD 是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。 ∴ CE CQ AD DQ =，即CE t 84t =-，解得CE=8t 4t -。 由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t ，则CF=CD+DF=8－t 。 S=S 梯形AOCF ＋S △FCE －S △AOE = 12（OA+CF ）?OC+12CF?CE－1 2 OA?OE =12 [4＋（8－t ）]×8+12（8－t ）?8t 4t -－12×4×（8＋8t 4t -）。 化简得：S=32为定值。 所以△AEF 的面积S 不变化，S=32。 （3）若四边形APQF 是梯形，因为AP 与CF 不平行，所以只有PQ∥AF。 由PQ∥AF 可得：△CPQ∽△DAF。

精彩初中几何最值问题全总结

一、基本图形 余不赘述，下面仅举一例证明： [定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO， AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形。 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。

简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定。 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB 边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。

中考数学中的最值问题解法(学生版)

中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图 形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有： （1）应用两点间线段最短的公理 求最值；（ 2）应用垂线段最短的性质求最值； （ 3）应用轴对称的性质求最 值； 5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 例 4. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是 练习题： 1. 如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm ，高为 5cm . 若一只蚂蚁从 P 点开始经 过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 2. 如图，圆柱的底面周长为 6cm ， AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm ，点 P 是母线 BC 上一 2 点，且 PC= BC ．一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是 【 】 3 含应用三角形的三边关系） 4）应用二次函数求最值； 典型例题： 例 1. 如图，∠ MON=9°0 ，矩形 ABCD 的顶点 A 、 B 分别在边 OM ， 运动时， A 随之在边 OM 上运动， 矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 程中，点 D 到点 O 的最大距离为 B ． 5 C ． 145 5 5 D ． 例 2. 在锐角三角形 ABC 中， BC=4 2 ，∠ ABC=45°， BD 平分∠ ABC ， M 、 N 分别是 BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 例 3. 如图， 圆柱底面半径为 2cm ，高为 9 cm ，点 上的点，且 A 、B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B ，求棉线 最短为 cm 。 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm ON 上，当 B 在边 ON 上 AB=2，BC=1，运动 过 A 、 B 分别是圆柱两底面圆 周

中考数学压轴题定值问题

【中考数学压轴题】---定值问题 一、乘积、比值类型 1．（2009·株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长 交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值． 解析：（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. 3分 （2）∵45ODA OAD ∠=∠=? ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）. 又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为： 2 (1)y a x =-，得： 2 2 (31)(01)3 a m a m ?-=??-=-?? 解得14a m =??=? ∴抛物线的解析式为2 21y x x =-+ ………7分 （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2 (,21)x x x -+，则2 (1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-. ∵//QM CE ∴PQM ?∽PEC ? ∴QM PM EC PC = 即2 (1)12x x EC --=，得2(1)EC x =- ∵//QN FC ∴BQN ?∽BFC ? ∴QN BN FC BC = 即2 34(1)4x x FC ---=，得4 1 FC x = + 又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111 FC AC EC x x x x x x += +-=+=?+=+++ 即FC (AC ＋EC )为定值8. …12分 二、定长、定角、定点、定值类型 1．（2011?东营）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y =1 2 x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，且tan ∠DEO =1 2 ．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形 O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点 y x Q P F E D C B A O

中考数学专题复习及练习：最值(二)

2020中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题） 突破与提升策略 【故事介绍】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”） 而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？ 【模型建立】 如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1

即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】 构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ． 将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小． 【模型总结】 在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型． 而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段． M M

1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一 个动点，则CD + 的最小值是_______． 【分析】本题关键在于处理 ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2 sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH =． 问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此 时 CD DH CH BE +===． 【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下： 则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在． A B C D E H E D C B A A B C D E H E D C B

中考数学专题复习几何最值问题

【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）． B.6 C. D.4 A． 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心， AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE =. 22故选A． 【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E为圆心，EB′为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如B D DE B E '' ≤-，当且仅当点E、B′、D三点共线时，等号成立. 【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DH＝OD－OH，问

题得解. 【解析】由△ABE≌△DCF，得∠ABE＝∠DCF，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF＝∠DAG，∠ABE＝∠DAG，所以∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O，OD交⊙O于点H，此时DH最小，∵OH＝1 AB=，OD＝，∴DH的最 1 2 小值为OD－OH 1. 【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DO－OH.当然此题也可利用DH OD OH ≤-的基本模型解决. 【针对训练】 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）. B．1．3 A 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）. B. C. D.4 A．3 3. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）.

2020年中考数学专题最值例练题目(有答案)

关于圆的最值问题练习以及解答 1．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． （1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ； （2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 . 解答： (1)是AB ⊙O 的直径, 90 ACB 60309090 ABC A P A , 都是弧BC 所对的圆周角 60 A P 在Rt 中，PCD CD=CP 3 42 CP 3432 CP (2) 中，PCD 30,90CPD PCD 点D 在已CB 为弦的圆⊙O ′（红弧线上）运动 当A,O ′,D 三点共线时AD 最长 连接CO ′,BO ′ CO ′B 是等边三角形 在直角ABC 中， 90 ACB AB=4, ∠ABC=30° 3230 ? COS AB BC BO ′=DO ′=BC=32 D O C B A

∠ABC=30°,∠CBO ′=60° ∠ABO ′=90°′ 72)32(42222 BO AB AO A,O ′,D 三点共线时AD 最长 AD 最长为3272 2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 . 解答：作AB 的中点E ，连接CE,EM,AD 在直角ABC 中， 90 ACB AC=4,BC=3 522 BC AC AB E 是AB 的中点 5.221 AB CE M 是DB 的中点 EM 是ADM 的中位线 12 1 AD EM EM CE CM CEM EM -CE 中， 在点D 运动过程中，点A,D,B 三点共线时，CM 取得最小或最大值 EM CE CM EM -CE 15.215.2 CM J 即5.35.1 CM A M D