南通市2020届高三数学一调有答案
南通市2020届高三第一次调研测试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U={1, 2, 3, 4}，M={1, 2}，N={2, 3}，则U e(M∪N ) = ▲ ． 2．复数
2
1i
(1i)
-+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 3．设向量a ，b 满足：3||1,2
=?=a a b
，+=a b ||=b ▲ ．
4．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m= ．
5．函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ ．
6．在数列{a n }中，若对于n ∈N*，总有1
n
k k a =∑＝2n
－1，则21
n
k k a =∑= ▲ ．
7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y
为整数的概率是 ▲ ．
8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ．
9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ．
（第8题数/分
（第9题图）
10．关于直线,m n 和平面,αβ，有以下四个命题：
①若//,//,//m n αβαβ，则//m n ；②若//,,m n m n αβ?⊥，则αβ⊥；
③若,//m m n αβ=I ，则//n α且//n β；④若,m n m αβ⊥=I ，则n α⊥或n β⊥. 其中假命题的序号是 ▲ ．
11．已知函数22
20()20x x x f x x x x ?+≥?=?-
，，，，若2
(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的
四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是
())
0,
0，则PC ·PD 的最大值为 ▲ ．
13．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i=1，2，3，4），P 是该四
边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若
3124
1234
a a a a k ====, 则4
1
2()i
i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i
（i=1，
2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若
3124
1234
S S S S k ====,则 ▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，
*0||1n m n ∈<-≤N ，，若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则k= ▲ ．
【填空题答案】
1．{4}； 2．12
-; 3．2； 4．23
-； 5．π；
6．()1413
n -； 7．12
； 8．90； 9．10； 10．①③④ ； 11．(21)-，； 12．4； 13．4
1
3()i i V iH k
==∑； 14．0．
A
B C
D
E
F (第16
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac ，
向量()cos()1A C =-，m 和(1cos )B =，n 满足3
2
?=m n .（1）求sin sin A C 的值；
（2）求证：三角形ABC 为等边三角形．
【解】（1）由32
?=m n 得，3cos()cos 2
A C
B -+=， ……………………2分
又B=π-(A+C)，得cos(A -C)-cos(A+C)=3
2
， ……………………4分 即
cosAcosC+sinAsinC
-(cosAcosC
-
sinAsinC)=
32
，所以
sinAsinC=3
4
． ……………6分
【证明】（2）由b 2=ac 及正弦定理得2sin sin sin B A C =，故23sin 4
B =. ……………8分
于是231cos 14
4B =-=，所以 1cos 2
B =或1
2-. 因为cosB =
3
2
-cos(A -C)>0， 所以 1cos 2
B =，故π
3B =． ………………… 11分
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222b a c ac =+-，又b 2=ac ，所以22ac a c ac =+-， 得a=c. 因为π
3
B =
，所以三角形A B C 为等边三角形. ………………… 14分
16．（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD ，
DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．
（1） 求证：AF∥平面BCE ；（2） 求证：平面BCE⊥平面CDE ． 【证明】（1）因为AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，所以AB∥DE .
取CE 的中点G ，连结BG 、GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF∥ED∥BA， GF ＝1
2
ED ＝BA ，
从而A B G F 是平行四边形，于是A F ∥B G . ……………………4分
因为AF ?平面BCE ，BG ?平面BCE ，所以AF∥平面BCE ． ……………………7分
（2）因为AB⊥平面ACD ，AF ?平面ACD ，
所以AB⊥AF，即ABGF 是矩形，所以AF⊥GF . ……………………9分
又A C =A D ，所以A F ⊥C D . ………………… 11分
而CD∩GF＝F ，所以AF⊥平面GCD ，即AF⊥平面CDE. 因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.
因为BG ?平面BCE ，所以平面BCE⊥平面CDE ． ………………… 14分
17．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为n
n n a b a t
=
+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明
理由.
【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为
d. 由已知得
5132
3439a a a +=??
=?，
， ……………………2分 即118173a d a d +=??
+=?，，
解得112.a d =??=?，
……………………4分.故221n n a n S n =-=，. ………
6分
（2）由（1）知21
21n n b n t
-=
-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即
312123121m t t m t -?
=+
++-+，……8分.整理得4
31
m t =+-， …………… 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.
故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分
18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，
已知AB=AC=6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个
变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y. （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式；
（2
【解】（1）在Rt AOB ?中，6AB =，所以OB =OA=所以π4
ABC ∠=由题意知π04
α≤≤. 所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为 2sin 22)cos y PB PA α
αα
-=+=+=. ……………………6分
故所求函数关系式为()
2sin π0cos 4
y ααα
-=≤≤.
……………………7分
（2）由（1）得22sin 1cos y αα-'=，令0y '=即1
sin 2
α=，又π04α≤≤，从而π6α=
. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ
64
α<≤时, 0y '>. 所以当π
6
α= 时，2sin 4cos y α
α
-=+取得最小值， ………………… 13分
此时π
6
OP ==km ），即点P 在OA 上距O 处.
C
（第18题图）
【答】变电站建于距O 6km 处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分
19．（本小题满分16分）已知椭圆()22
220y x C a b a b
：+＝1＞＞6，过右顶点A
的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.
（1）求椭圆C 和直线l 的方程；
（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若
曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．
【解】（1）由离心率6
e =，226a b -=
即223a b =. ① ………………2分
又点(13)B --，在椭圆22
22:1y x C a b =+上，即
22
22(3)(1)1a b
--=+. ② ………………4分 解 ①②得22124a b ==，， 故
所
求
椭
圆
方
程
为
221124
y x +=. …………………6分 由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 （2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，
即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径22r =，表示圆心在直线
2
y =-上，半径为
22
的动
圆. ………………… 10分
由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形.
设G e 与直线l 相切于点T ，
=，
得4m =±，………………… 12分
当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=， 解方程组6020x y x y ++=??--=?
，
得(24)T --，. …………………
14分
因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，
所以切点T D ?，由图可知当G e 过点B 时，m 取得最小值，即
22(1)(32)8m --+-+=，
解得min 1m =. ………………… 16分
（说明：若不说理由，直接由圆过点B 时，求得m 的最小值，扣4分） 20．（本小题满分16分）
已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且
()11g =-．令
()
19()ln (,0)28
f x
g x m x m x =+++∈>R ． （1）求 g(x)的表达式；
（2）若0x ?>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；
（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，
证明:对12[1]x x m ?∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -< 【解】 （1）设()2g x ax bx c =++，于是
()()()()2
2
11212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.
a c ?=???=-?，
又()11g =-，则12
b =-．所以()21112
2
g x x x =--. ……………………
4分
（2）()
2191()ln ln (0).
2
8
2
f x
g x m x x m x m x =+++=+∈>R ，
当m>0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；
当m=0时，2
()02
x f x =>对0x ?>，()0f x >恒成立； ……………………
6分
当m<0
时，由()0m f x x x x
'=+=?
[
]min ()2
m
f x f m ==-+这时， [
]min
0()0e<0.
20
m
m f x m m ?-+>?>??-
所以若0x ?>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，.
故0x ?>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞U ，．……………… 10分
（3）因为对[1]x m ?∈，，(1)()()0x x m H x x
--'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.
于是21211|()()|(1)()ln .
2
2H x H x H H m m m m -≤-=--
2121113
|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -
记13()ln (1e)2
2h m m m m m
=--<≤，
则()
2
21133111()022332h'm m m m =-+=-+>，
所以函数13()ln 2
2h m m m m
=--在(1e]，是单调增函数， …………………
B
14分
所以()()e 3e 1e 3()(e)102
2e
2e
h m h -+≤=--=<，故命题成立. …………………
16分
附加题部分
21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1 几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF，过点C 作CD⊥AF 交AF 的延长线于点D. 求证：DC 是⊙O 的切线. 【证明】连结OC ，所以∠OAC=∠OCA . 又因为CA 平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC， 于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD. 又因为CD⊥A F ，所以CD⊥OC，
故DC 是⊙O 的切线． ………………… 10分 B ．选修4—2 矩阵与变换
变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2
的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T
作用
下所得的曲线方程．
【解】变换T 所对应变换矩阵为011
0-??=?
???M ，设x y ??
????
是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ??
????
，则00x x y y ??
??
=????????M ，即00,
,y x x y =-??=?，代入220000221x x y y -+=，
即22221x xy y ++=，
所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=． ………………… 10分
C ．选修4—4 参数方程与极坐标（本题满分10分）
已知圆
1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2π
cos()24
ρθ--=． （1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
【解】（1）224ρρ=?=，所以224x y +=；因为()
2πcos 24
ρθ--=，
所以()
2ππcos cos sin sin 24
4
ρθθ-+=，所以222220x y x y +---=． (5)
分
（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=．
化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()
πsin 4
ρθ+= (10)
分
D ．选修4—5 不等式证明选讲（本题满分10分）
已知0m a b >∈R ，，，求证：()
2
2211a mb
a m
b m
m
++≤
++. 【解】因为0m >，所以10m +>，所以要证()
2
22
11a mb
a m
b m
m
++≤++， 即证222()(1)()a mb m a mb +≤++， 即证22(2)0m a ab b -+≥， 即证2
()0a b -≥，而2
()0a b -≥显然成立，故()
2
2211a mb
a m
b m
m
++≤
++．…………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F （0，1）
和直线l 的距离之和为4． （1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点(0,1)Q
-作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积． 【解】（1）设P （x ，y ），根据题意，＋3－y ＝4，化简，得y ＝1
4
x 2
（y≤3）．
…………………4分
（2）设过Q 的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0． 由△＝16k 2－16＝0．解得k ＝±1．
于是所求切线方程为y ＝±x－1（亦可用导数求得切线方程）. 切点的坐标为（2，1），（－2，1）．
由对称性知所求的区域的面积为S ＝2
20132(1)d .44
x x x ?
?--=??
???
………………… 10分
23．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，
AB ＝BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上． （1）AF 为何值时，CF⊥平面B 1DF ？
（2）设AF=1，求平面B 1CF 与平面ABC
【解】 （1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1⊥面ABC ，∠ABC＝π2
．
以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC ＝2，∠ABC＝90o，所以AB ＝BC ＝2，
从而B(0，0，0)，A )00，，C ()00，B 1(0，0，3)，A 1)03，，C 1()03，
D 3???
，E 302?? ??
?
，． 所以)13CA =u u u r
，
设AF ＝x ，则F(2，0，x)，
A
C 1
B 1
A F
)
)11030CF x B F x B D ?==-=???
u u u r u u u u r u u u u r ，，，
.
1(00CF B D x ?=+?=u u u r u u u u r ，所以1.CF B D ⊥u u u r u u u u r
要使CF⊥平面B 1DF ，只需CF⊥B 1F.
由1CF B F ?u u u r u u u u r
＝2＋x （x －3）＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF⊥平面B 1DF ．……………… 5分 （2）由（1）知平面ABC 的法向量为n 1=（0，0，1）.
设平面B 1CF 的法向量为(,,)x y z =n ，则由100CF B F ??=???=??u u u r
u u u u r ，，n n
得020z z +=-=，
， 令z=1
得)
1=
n ，
所以平面
B 1CF 与平面AB
C 所成的锐二面角的余弦
值
1cos ??=
=，n n ………………… 10分