鸡兔同笼问题(二).教师版
教学目标
1.熟悉鸡兔同笼的砍足法”和假设法”.
2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象.
、鸡兔同笼
这个问题，是我国古代著名趣题之一?大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题?书
中是这样叙述的：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若
干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚?求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了独脚鸡”，每只兔就变成了双脚兔”.这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数
多1 .因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47 —35 =12 （只）.显然，鸡的只数就是35 -12 =23 （只）了.
这一思路新颖而奇特，其砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已?除此之外，鸡兔同笼”问题的经典思
路假设法”.
假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
如果假设全是兔，那么则有：数=（每只兔子脚数x鸡兔总数-实际脚数）r每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡
兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）+（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=
鸡兔总数-兔数
当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍
在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法
例题精讲
两个量的鸡兔同笼”问题 --- 变例
【例1】某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对了多少道题？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】做错（5 20 -79 ） --（5 2） =3 （道），因此，做对的20-3=17 （道）.
【答案】17道
【巩固】数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了
60分，他做对了几道题？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道.
【答案】15道
【巩固】东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣 2 分.刘钢得了86分，问他做对了几道题？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】这道题也类似于鸡兔同笼”问题?假设刘钢20道题全对，可得分5 20 =100 （分），但他实际上只得86分，少了100_86=14 （分），因此他没做或做错了一些题?由于做对一道题得5分，没做或
做错一道题倒扣2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少5, 2=7 （分）? 14分中含有多少
个7 ,就是刘钢没做或做错多少道题. 所以，刘钢没做或做错题为14“ 7 = 2 （道）,做对题为20 _2 =18
（道）?
【答案】18道
【巩固】某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得6分，每做错一题倒扣2分。小红最终得44分，做对的题比做错的题多_______________ 道。
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第8题，假设思想方法
【解析】60 -44 -：-8=2，做错2道题，做对8道题，对的比错的多6道。
【答案】多6道
图5
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第12题
【解析】设答对了x道题，那么10x -5 （10-x）=70,所以x=8，也就是小宇答对了8道题。
【答案】8题
【巩固】一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得92分，小华在此次比赛中答错了________ 道题。
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第12题
【解析】假设他全答对了，应该的18X8=144分，实际上少了144-92=52分，每答错一道题少8+5=13分，答错了52-13=4道题。
【答案】4题
【例2】某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：工作一天可得报酬48元，休息一天则要从所得报酬中扣掉12元。该工人合同到期后并没有拿到报酬，则他最多工作了_______________ 天。
【考点】和倍问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第5题
【解析】方法一：假设他没有休息他会得30 48=1440 （元），休息一天会少48 12=60 （元），所以他休息了1440，60=24 （天），他工作了30 -24=6 天
方法二：工作一天休息4天刚好抵消，那么最后没拿到钱，他只工作了30讯4+1）=6天。
【巩固】次数学竞赛有 _________ 题。
10道试题，若小宇得70分，根据图5中两人的对话可知小宇答对
【答案】6天
【例3】春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了___________ 道题?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】假设思想方法
【解析】三人共得87 74 9 =170（分），比满分10 10 3=300（分）少300 _170 =130 （分）
因此三个人共做错：130斗（10+3） =10（道）题，共答对了30_10=20（道）题
【答案】20
【例4】张明、李华两人进行射击比赛，规定每射中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各射了10发，共得208分，其中张明比李华多64分，则张明射中___________ 发。
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】张明得分（208 + 64）- 2= 136分，根据鸡兔同笼，
张明脱靶（20X10-136）* （20+ 12）= 2,射中8 发。
【答案】8发
【巩固】小明和小刚进行数学解题能力对抗赛，两人商定，对一题得20分，不答或答错一题扣12分。两人各解答了10道题，一共得208分，又知道小明比小刚多得64分。那么小刚做对了 ____ 道题。
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初试，10题
【解析】小刚得了208 —64亠2 =72 （分），如果小刚10道题都做对了，应得200分，实际得72分，所以错了200 _72 20 ?12]=4 （道），做对了10_4二6 （道）。
【答案】6道
【巩固】有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分
比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】法一：如果小明第一次测验24题全对，得5 24=120（分）.那么第二次只做对30 -24 =6（题）得分是8"—2X（15—6） =30（分）?两次相差120—30 =90（分）?比题目中条件相差10分，多了80分?说明假设的第一次答对题数多了，要减少?第一次答对减少一题，少得5 ? 1 =6 （分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8 ? 2 =10分?两者两差数就可减少
6 + 10 1分）.（90 -10）斗（6 +10） =5（题）?因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就
是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）?第一次得分5 19 -1 （24 -9） 90 ?第二次得分8 11-
2 （15-11） =80 ?
法二：答对30题，也就是两次共答错24 *15-30=9（题）?第一次答错一题，要从满分中扣去
5 V =6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8 ^10（分）?答错题互换一下，两次得分要相差
6*10=16 （分）?如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6 9 ?但两次满分都是120分?比题目中条件第一次得分多10分”要少了6X9+10.
因此，第二次答错题数是（6 9 10p:（6 "0）=4（题）?第一次答错9-4=5（题）?
第一次得分5 （24 -5） -1 5=90（分）?第二次得分8 （15-4）-2 4=80 （分）?
【答案】第一次得分90分?第二次得分80分?
【例5】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元, 问这个旅游团一共有多少人？
专业文档
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】每个三口之家可以少花30 40?40_32 3 =14 （元），每个二口之家可以少花40 ? 40 _ 64 =16 （元），如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14x8=112 （元），所以这8个家庭中有（120—11）2（16）名（个）家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4x2（8 —4）汉3=20 （人）.
【答案】20人
【例6】一张数学试卷，只有25道选择题.做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分.若小明得了78分，那么他做对________________ 题，做错 ________ 题，没做_________ 题.
【考点】鸡兔同笼问题【难度】4星型】填空
【关键词】假设思想方法，祖冲之杯
【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索.
小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分.
78」4 19，所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于4 19=76（分）；
再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有 4 21-1 4=80（分），超过了78分，所以
小明至多做对20道题目；
综上，可以断定小明做对了20道题.
至此本题转化为简单鸡兔同笼问题.
假设剩下5题全部没做，那么小明应得 4 20 =80 （分）.
但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做.
所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题.
【答案】对了20道题，做错了2道题，没做3道题
【例7】一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆?已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨.禾U用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4汇36 =144 （吨）?根据条件，要装完这144吨钢材还需要45 -36 =9（辆）小卡车.这样每辆小卡车能装144^9=16（吨）?由此可求出这批钢材有720吨.
【答案】720吨
【例8】下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！”售货员：“同学，你好.想买点什么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.”售货员：“好，每支钢
笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好.再见.”根据这段对话，则钢笔每支是元，笔记本每本是 _________ 元.
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第14题
【解析】一共花了100 -5 =95元。如果是买25本笔记本可以少花10 2 =20元，即75元。所以每本笔记本3元，每支钢笔5元
【答案】5元
【例9】买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】解一:如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
（680-8 肖0）十8+4）=30（张）,
这就知道，余下的邮票中,8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有40+30=70（张）.
解二：譬如，假设有20张4分，根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分?以"分"作为计算单位，此时邮票总值是4X20+8X 60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持”差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增
加的张数是（680-4 X20-8 X60）琨4+8）=10（张）.
因此4分有20+10=30（张）,8分有60+10=70（张）.
【答案】4分有30张,8分有70张.
【例10】喜羊羊的存钱罐中只有5角和1元的硬币共100枚，其中5角的硬币比1元的硬币多20元，
喜羊羊的存钱罐中总共有_________ 。
【考点】盈亏问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第3题
【解析】60 元。20-：-0.5=40 枚，100 _40 “3=20 枚，20 100 _20 0.5 =60 元。
【答案】60元
【例11】小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2 分币多4角；另外，还有36个1分币.小同共存了多少钱？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3 分，所以
5 分币有84 （5 _2）二28 （个），2 分币有28 - 22 =50 （个），5 28 2 50 1 3
6 二
140 +100 +36=276 （分）.
【答案】276分
【例12】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】方法一：假设50个油桶都是大桶，则共装油（4 50）=200千克，而这小桶所装油则为0.这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了（200 —80）=180千克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少（4 2^6千克，所以小桶有：180-：-6=30（个），大桶有：
50 -30 =20（个）.
方法二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，大
桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各20" （4 - 2）=10个，现在共有50个桶，在剩下的（50 -10 2） = 30个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的（4 " 2） = 2倍，
那么在这30个桶中，应该有［30-：-（1 2）］ =10个大桶，（30 -10）=20个小桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个.
解：20-：-（4 -2） =10（个）
（50 -10 2） "（12）=10（个）（大桶）
10 * 10 =20（个）（大桶共有）
50 -20 =30 （个）（小桶共有）
【答案】大桶20个，小桶30个
【例13】大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃?猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克.一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃.在
这个猴群中，共有小猴子多少只？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔.但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失?一天中，猴王监视了2小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少
采12千克，那样猴群只能采摘4400 -35 2 12 =3560（千克）；这是一天也就是8小时的工作量，据此可
以求出这群猴每小时采35608 =445 （千克）；假设都是大猴子，应该每小时采摘15 35=525（千
克）,比实际多采了525 _445 =80 （千克）.而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15 _11 =4（千克）.
因
此可以求出小猴子有：80斗4 = 20 （只）.
【答案】20只
【例14】今年是佃98年，父母年龄（整数）和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】4年后，两人年龄和都要加8?此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作”鸡”头数，弟的年龄看作"兔”头数.25是”总头数".86是”总脚数".根据公式，兄的年龄是（25肖-86）（4-3）=14（岁）.1998年,兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是（25-14） 4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是（40-10）盘-1）=15（岁）,这是2003年.
【答案】2003年
【例15】一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30弋=5（份），乙每小时打30勻0=3（份）.现在把甲打字的时间看成”兔”头数，乙打字的时间看成”鸡”头数，总头数是7."兔”的脚数是5，"鸡”的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成”鸡兔同笼"问题了.根据前面的公式”兔”数=（30-3 7）-（5-3） =4.5,"鸡"数=7-4.5 =2.5,也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时. 【答案】4.5小时
【例16】箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球?如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球?那么箱子里原有红球多少只？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3倍多2 .由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3个?按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即3 3?2=11 （只）?但是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以可以知道一共
取了42“6=7（次）.所以可以知道原来有红球7 15 *53=158（只）.
【答案】158只
【例17】车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是 2 : 5。问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？
【考点】鸡兔同笼问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第10题
【解析】车库中，平均每2辆车有5个轮子，也就是说，平均每4辆车有10个轮子。简单的试凑可以知道，1辆小卧车和3辆摩托车恰好有10个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为 3 : 1
【答案】3:1