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利用微分中值定理证明不等式

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

0 前言 (1)

1 知识准备 (1)

2 利用罗尔中值定理证明 (2)

3 利用拉格朗日中值定理证明 (3)

4 利用柯西中值定理证明不等式 (5)

5 利用泰勒中值定理证明 (7)

6 综合利用微分中值定理证明不等式........................................................ (10)

参考文献 (11)

利用微分中值定理证明不等式

摘要:微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法,本文讨论了各个中值定理在证明不等式中的不同用法以及综合利用微分中值定理证明不等式.

关键词:微分中值定理;不等式

Using differential mean value theorem

proving inequality

Abstract:Useing the mean value theorem to prove that inequality is a kind of important method , this paper discusses various of mean value theorems to proof inequality in the different usage, and proving inequality by useing comprehensive utilization differential mean value theorem.

Key Words:differential mean value theorem;inequalities

0前言

不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别.

1知识准备

微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:

定理1罗尔中值定理:如果函数()

f x在闭区间[],a b上连续,在开区间(),a b内可导,且满足()()

fξ'=.

=,那么在(),a b内至少存在一点ξ,使得()0

f a f b

定理2拉格朗日中值定理:如果函数()

f x在闭区间[],a b上连续,在开区间

(),a b 内可导, 那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.

当函数()f x 在(),a b 内的变化范围已知时,有()m f x M '≤≤,于是可以利用拉格

朗日定理来证明()()()()m b a f b f a M b a -≤-≤-一类的不等式.

定理3 柯西中值定理:如果函数(),()f x g x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内

可导,且()g x '在(),a b 内每一点均不为零,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得

()()()()()()

f b f a f

g b g a g ξξ'-='-. 定理4 泰勒中值定理:如果函数()f x 在含有点0x 的区间D 上有直到(1)n +阶的

导数,则函数()f x 在D 内可表示成一个多项式()n P x 与一个余项式()n R x 的和:

20000000()()()()()()()...()()2!!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+. 其中11()()()(1)!

n n n f R x x n ξξ++=-+,0(,)x x ξ∈. 注:当0n =时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理

的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式.

在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等

式的两边的代数式选取不同的函数()f x ,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这

个等式根据x 取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值

定理在证明不等式的应用.

2利用罗尔中值定理证明不等式

罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点,使得

过该点(,())P f ξξ的切线平行于x 轴.

在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗

尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微

分中值定理,这类内容会放在第六部分详细介绍, 这里就不再赘述. 3利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点

(,())P f ξξ,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线(,())a f a ,(,())b f b 两点的弦.

我们在证明中引入的辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a

-=--

--,正是曲线()y f x =与弦线之差. 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当()()f a f b =时,本定理即为罗尔中

值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形()y f x =.

拉格朗日中值定理的其它表示形式:

(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-,a b ξ<<;

(2) ()()(())()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<;

(3) ()()(),0 1.f a h f a f a h θθ'+-=+<<

值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于a b <,还是a b >都成立.而ξ则是介

于a 与b 之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点ξ表示成了

()a b a θ+-,使得不论a ,b 为何值,θ总可为小于1的某一整数.

例1 (1)如果0x >,试证ln(1)1x x x x

<+<+; (2)求证: arctg arctg αβαβ-≤-.

证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()f x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可

导,应用拉格朗日中值定理,则有ln(1)ln(1)1x x ξ

+-=+,(0,)x ξ∈. 由于在闭区间[]0,x 上,有11x x x x ξ

<<++,所以ln(1)1x x x x <+<+(0)x >. (2)当αβ=时,显然等号成立.

当αβ≠时,不妨设αβ>.设()(),,f x arctgx x βα=∈,

由拉格朗日中值定理得,2

11arctg arctg αβαβξ-=-+ ,(,)ξβα∈.

则有 2

1()1arctg arctg αβαβξ-=-+ 所以 2

1()1arctg arctg αβαβαβξ-=-≤-+. 以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理

时,方法要灵活些.

例2 当0x ≥时,函数()f x 在其定义域上可导,且()f x '为不增函数,又()0f x =,

0,1,2,...,,i x i n ≥=求证 11()()n n

i i i i f x f x ==≤∑∑.

证明用数学归纳法

当1n =时,显然不等式成立.

当2n =时,若12,x x 均为0,或者一个为0时,当一个为0时,

显然有 1212()()()f x x f x f x +=+.

设12,x x 均大于0,不妨设12x x ≤,在[]10,x 应用拉格朗日中值定理可得:

()1111111()()(0)(),0,0

f x f x f f x x ξξξ-'==∈-. 在[]212,x x x +上再次利用拉格朗日中值定理可得:

()122122222121122

()()()()(),,f x x f x f x x f x f x x x x x x x ξξ+-+-'==∈++- 显然12ξξ<,由题设知, 12()()f f ξξ''≥.

所以 122111

()()()f x x f x f x x x +-≤, 即 12122()()()f x x f x x f x +≤++.

假设当n k =时不等式成立,即 11()()k k

i i i i f x f x ==≤∑∑.

取1111()()k k

i i k i i f x f x x ++===+∑∑,显然10k x +=的情况不证而明,,所以只考虑10k x +>的情况.

取1k

i i u x ==∑,由前面已证的结论有

11()()()k k f u x f u f x +++≤+,

再用归纳假设可得 11

11()()k k i i i i f x f x ++==≤∑∑,

即当1n k =+时结论成立.所以11()()n n

i i i i f x f x ==≤∑∑.

4利用柯西中值定理证明不等式

柯西中值定理是研究两个函数(),()f x g x 的变量关系的中值定理,当一个函数(不

妨设此函数为()g x )取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中

值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:

对例1用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:

证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()g x x =.(),()f x g x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在

()0,(0)x x >内可导,且()g x '在[]0,(0)x x >内每一点都不为零,那么由柯西中值定理

可得:

ln(1)ln(1)1(1)11x x ξ

+-=+-+,(0,)x ξ∈ 则有 ln(1)ln(1)1x x ξ

+-=

+,(0,)x ξ∈. 下面与例1中解法同,这里就不再赘述了. 例3 (1)设0x >,对01α<<的情况,求证: 1x x ααα-≤-.

(2)设0x >，求证: sin 1x x e <-.

证明 (1)设()f t x α=,()g t x α=.

当1x =时结论显然成立.

当1x ≠时,取[],1x 或[]1,x ,(),()f x g x 在闭区间[],1x 或[]1,x 上连续,在开区间(),1x 或

()1,x 可导,且()g x '在内(),1x 或()1,x 每一点均不为零,由柯西中值定理可得:

()(1)()()(1)()

f x f f

g x g g ξξ'-='-,(,1)x ξ∈或(1,)x ξ∈ 即 1

11x x ααααξξααα

---==-. 所以1x x ααα-≤-得证.

(2)设()sin f t t =,()t g t e =,[]0,t x ∈,(),()f x g x 在闭区间[]0,x 上连续,在开区间

()0,x 内可导,且()g x '在()0,x 内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:

()(0)()()(0)()

f x f f

g x g g ξξ'-='-,()0,x ξ∈. 即

sin cos 1t x e e ξξ=-,()0,x ξ∈. 因为10x e ->,10e ξ>>,所以sin cos 11t x e e

ξξ=<-. 即 sin 1x x e <-.

注意:例3中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定

理证明.

例 4 如果函数()f x 满足两个条件:(1)在闭区间[],a b 上有二阶导数()f x '';

(2) ()()0f a f b ''==.试证明:在开区间(),a b 内至少存在一点c ,

使得 24()()()()

f c f b f a b a ''≥--. 证明令2

4()()()k f b f a b a =--.在此我们利用用反证法来证明本题, 我们不妨假设()f x k ''<,a x b <<.对于构造的辅助函数

[]000()()()()()F x f x f x f x x x '=-+-及20()()G x x x =-

(其中0x 是[],a b 中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:

200001()()()()()()2

f x f x f x x x x x f ξ'''=+-+- 其中ξ介于0x 与x 之间(即0x x ξ<<或0x x ξ<<),x 为[],a b 上任意点,特别地,在上

式中取0x a =,2

a b x +=,并利用已知条件()0f a '=,则有: 2

1()()()()28

a b b a f f a f c +-''=+,其中1c 满足12a b a c +<<, 于是 2

()()()28

a b b a f f a k +--<. 同理再取0x b =,2

a b x +=,并利用已知条件()0f b '=,则得: 2

2()()()()28

a b b a f f b f c +-''=+,其中2c 满足22a b c b +<<. 于是: 2

()()()28

a b b a f b f k +--<. 因此,

()()()()()()()()()224

a b a b b a f b f a f b f f f a k f b f a ++--≤-+-<=-. 这是不可能的.所以在区间(),a b 内至少存在一点c ,

使得 24()()()()

f c f b f a b a ''≥--. 5利用泰勒中值定理证明不等式

泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余

项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数()f x 的假设条件较少,只需函

数()f x 在0x 处n 阶可导,不需要1n +阶可导,也不需要在0x 的邻域内存在n 阶连续导

数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒

公式好.

利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种

方法的用法非常广泛.

证明方法:

(1)根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式.

(2)根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直

到可以结合已知条件证出不等式为止.下面举例来说明:

例5 当02x π<<时,求证:2221

200(1)sin (1)(21)!(21)!k k k k

n n k k x x x k x k -==--<<++∑∑. 分析:由于朗格朗日中值定理很容易证明sin 01x x

<<, 而利用泰勒中值定理时,当1n =时,不等式为:224

sin 113!3!5!

x x x x x -<<-+. 显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着n 的增大,不等式的精确度

会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不

同的不等式.

证明令()sin f x x =,那么函数()f x 在00x =点展开前2n 项的泰勒公式,

余项取拉格朗形式,那么有:

2430(1)sin ()(21)!k k n

n k x x R x k ++=-=++∑43434343433sin()sin cos 2()(43)!(43)!(43)!n x n n n n x R x x x x n n n ξ

πξξ+=+++++

-===+++. 因为02x π

ξ<<<,所以cos 0ξ>,从而21()0n R x +<,

所以有 21

20(1)sin (21)!

k k n k x x k +=-<+∑.

即 220(1)sin (21)!k k

k x x k =-<+∑. 同理,因为412sin()2()0(41)!n n R x x n π

ξ++=>+,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我

们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:

例4的另一种证法:

由题设条件,应用泰勒展开式有:

211(

)()()()()2222a b b a b a f f a f a f ξ+--'''=++,

221(

)()()()()2222

a b a b a b f f b f b f ξ+--'''=++, 其中1ξ介于a 与2a b +之间,2ξ介于2a b +与b 之间. 上述两式相减,且有()()0f a f b ''==,得:

2211()()()[()()]22

a b f b f a f f ξξ-''''-=?-, ()2

21()()()()()8a b f b f a f f ξξ-''''-≤+. 令21max{(),()}()f f f ξξξ''''''=,(,)a b ξ∈,则有:

()()()()4

a b f a f b f ξ-''-≤,(,)a b ξ∈. 即 24()()()()

f f b f a b a ξ''≥--. 例6 设函数()f x 在[],a b 上二阶可导,且()0f x ≥,()0f x ''<.

求证:对任意的[],x a b ∈,有2()()b a f x f t b a

≤-?. 证明: 对任意的[],x a b ∈,将()f x 在t 点展开[](,)t a b ∈.

2()()()()()()2!

f f x f t f t x t x t ξ''=+-+-(其中ξ介于x 与t 之间). 注意到()0f x ''<,所以有()()()f x f t f x t '≤+-.

对上述不等式的两边对t 积分,得:

()()()()b

b b a a a

f x dt f t dt f t x t dt '≤+-??? ()()()()()()b b

b a a a b a f x f t dt f x x t f t dt -≤+-+??

2()()()()()b

a f t dt f

b x b f a x a =+---? 因为()0()()()()0f x f b x b f a x a ≥?---≤.所以2()()b a f x f t b a

≤

-?. 6综合利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数

()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则有:

(1)如果在在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '>,则函数()f x 在[],a b 上单调增加;

(2) 如果在在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '<,则函数()f x 在[],a b 上单调减少.

另外,函数()f x 在(),a b 内除有个别点外,仍有()0f x '>(或()0f x '<),则函数()f x 在

[],a b 上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.

再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出

函数的极值,从而证明出不等式.

其方法为:确定函数()f x 的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出()

f x 连续但()f x '不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近()f x '的符号变

化情况,确定函数()f x 的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证

明不等式.

例7 求证 (1)当0x >时,证明2

ln(1)2

x x x +>-成立. (2)当(0,)2x π∈时,证明tan sin x x x x

>成立. 证明 (1)令2

()ln(1)2

x f x x x =+>-,因为函数()f x 在[0,)+∞上连续,在(0,)+∞内可导,且 2

1()111x f x x x x

'=-+=++. 当0x >时,2

()01x f x x

'=>+,所以当0x >时,函数()f x 是单调递增的.故当0x >时,有:

()(0)0f x f >=,即()0f x >,

从而 2

ln(1)2

x x x +>-成立. (2)因为(0,)2

x π∈,所以sin 0x >,tan 0x >.令函数2()sin tan f x x x x =-,则有: 21()sin sec sin 2tan (cos )cos f x x x x x x x x

'=+-=+

因为(0,)2x π∈时, 1cos 2cos x x +>,tan x x >,所以()0f x '>.即()f x 在(0,)2

x π∈时严格递增的,又因为()0f x =,所以()0((0,))2f x x π>∈,即tan sin x x x x

>成立. 例8 设函数()f x 在闭区间[],a b 上二次可微,且满足()0f x ''>,

试证:当a x b <<时,有不等式: ()()()()f x f a f b f a x a b a

--<--成立. 证明令()()()f x f a x x a ?-=-,那么()()()()f x f x a x x a

ξ?ξ''-'=<<-. 由于()0f x ''>,可知()f x '在闭区间[],a b 上是严格递增的,即()()f x f ξ''>,

从而有 ()0x ?'>,

故函数()x ?在闭区间[],a b 上也是严格递增的,于是当[],x a b ∈时,有:

()()x b ??<,

即 ()()()()f x f a f b f a x a b a

--<--成立. 参考文献

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[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.北京:高等教育出版社.2006．

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[8]赵文祥.微分中值定理与不等式[J].天津电大学报,2007,增刊.

[9]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究,2008,第28卷第10期.

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法淮安市吴承恩中学严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法前言证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*）事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223 四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国达州 2010年4月

目录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．题型一用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。