九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.1 成比例线段 第1课时 比例线段教学设计(2)(新版)北师

4.1成比例线段

●教学目标

1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比..

2.知道成比例线段的定义.

3.熟记比例的性质并会应用.

●教学重点

会求两条线段的比.

成比例线段的定义.

比例的性质

●教学难点

会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.

比例的基本性质

●教学方法

自主探索法

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.

［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等等.

［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.

Ⅱ.新课讲解

1.两条线段的比的概念

［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ ［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作b

a ；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.

［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.

［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2,对吗？

［生］对.

［师］大家同意他的观点吗？

［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对.

［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？

［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两

条线段的比（ratio ）就是它们长度的比，即AB ∶CD =m ∶n ，或写成

CD AB =n

m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k ，或

AB =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比.

注意：在量线段时要选用同一个长度单位.

2.比例线段的概念

四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段.

4.比例的性质 （1）如果

d

c b a =（b ,

d 都不为0），那么ad =bc . 如果ad =bc （a,b,c,d 都不等于0），那么d

c b a =. （2）如果

d c b a ==…=n

m （b +d +…+n ≠0） 那么b

a n d

b m

c a =++++++

例题

（1）如图，已知

d c b a ==3,求b

b a +和d d

c +; （2）如果

d c b a ==k （k 为常数），那么d

d c b b a +=+成立吗？为什么？ 解：（1）由d

c b a ==3,得 a =3b ,c =3

d . 因此，

b

b b b b a +=+3=4 d

d d d d c +=+3=4 （2）d

d c b b a +=+成立. 因为有d

c b a ==k ,得 a =bk ,c =dk . 所以b

b bk b b a +=+=k +1, d

d dk d d c +=+=k +1.

因此：

d

d c b b a +=+. 5.想一想 （1）如果

d c b a =,那么d

d c b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f

e d c b a ==,那么b a

f d b e c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果

d c b a =,那么d

d c b b a ±=±成立吗？为什么. 解：（1）如果d c b a =,那么d

d c b b a -=-. ∵d

c b a = ∴d

c b a =-1－1 ∴d

d c b b a -=-. （2）如果f

e d c b a ==,那么b

a f d

b e

c a =++++ 设f

e d c b a ===k ∴a =bk ,c =dk ,e =fk ∴b a k

f d b f d b k f d b fk dk bk f d b e c a ==++++=++++=++++)( （3）如果

d c b a =,那么d d c b b a ±=± ∵d

c b a = ∴d

c b a =+1+1 ∴d

d c b b a +=+ 由（1）得d

d c b b a -=- ∴d

d c b b a ±=±. Ⅲ.课堂练习

掌握比例的性质，并能灵活运用. Ⅴ.课后作业

完成习题4.1及习题4.2

Ⅵ.活动与探究

1.已知：d c b a ==f

e =2（b +d +

f ≠0） 求：（1）f d b e c a ++++;（2）f

d b

e c a +-+-; （3）

f d b e c a 3232+-+-;（4）f b e a 55--. 解：∵d c b a ==f

3=2 ∴a =2b ,c =2d ,e =2f

∴（1）f

d b f d b f d b f d b f d b

e c a ++++=++++=++++)(2222=2 （2）f

d b f d b f d b f d b f d b

e c a +-+-=+-+-=+-+-)(2222=2 （3）f

d b f d b f d b f d b f d b

e c a 32)32(2326423232+-+-=+-+-=+-+-=2 （4）

f b f b f b e a 510255--=--=f

b f b 5)5(2--=2 2.已知a ∶b ∶

c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14.

（1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值.

解：（1）设a =4k ,b =3k ,c =2k

∵a +3b －3c =14

∴4k +9k －6k =14

∴7k =14

∴k =2

∴a =8,b =6,c =4

（2）4a －3b +c =32－18+4=18

●板书设计

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初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

初三数学第2讲 比例线段与黄金分割

一、知识要点： 1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 如果a、b、c、d是比例线段，即 段b、c是比例内项。 3、比例线段有以下性质： （1）基本性质 如果ac，那么线段a、d是比例外项，线=（或a:b=c:d）bdac=，那么ad=bc bd aca+bc+da-bc-d，； =，那么==bdbdbd aca+cac=，那么===k。 bdb+dbd a1a2a3===k，那么 b1b2b3（2）合比性质如果（3）等比性质如果等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：如果 a1+a2+a3a1a2a3====k b1+b2+b3b1b2b3 小试牛刀： 一、填空题 1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作 ____________。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。 3、合（分）比性质：如果aca±b=_____________。 =，那么bdb 4、等比性质：如果aceace== =，且_____________，那么__________=(== =) bdfbdf 5、若4x=5y，则x：y=____________ 6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______ 7、下列各组线段成比例的是（） A、1cm、3cm、2cm、4cm B、1m、20cm、5cm、25cm C cm

初三数学比例线段练习题

比例线段同步练习 一、填空题 8．已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________． 9．设实数x ，y ，z 使│x -2y│+ （3x-z ）2=0成立，求x ：y ：z 的值________． 10、已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ， =+x y x 11、 543z y x ==，则=++x z y x ， =+-++z y x z y x 53232 12、已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。 13、比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际 距离是 公里。 14、如果3:1:1::=c b a ，那么=+--+c b a c b a 3532 二、选择题 15、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ） A x a c b = B b c x a = C x c b a = D c a b x = 16、三线段a 、b 、 c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么 这三条线段的和与b 的比等于（ ） A 6:1 B 1:6 C 3:1 D 1:3

17、已知 d c b a =，则下列等式中不成立的是（ ） A. c d a b = B. d d c b b a -=- C. d c c b a a +=+ D. b a c b d a =++ 18、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ） A. a=2cm b=5cm c=5cm d= B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm C. a=30mm b=2cm c=5 9 cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d= 19、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ） A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4 20、已知 53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④3 8 =+x y x 这四个式子中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（ ） A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 三、解答题 22、已知 7532=b a ，求b a b a 3423+ 的值。 23、已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b-2c=10，求a,b,c 的值。

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C

双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =

人教版九年级数学比例线段

解答第2题图 P N M F E D C B A 三、解答题： 1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交 DF 于K ，求KF DK 的值。 2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ， 交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。求证：PN PF PM PE ?=?。 答案： 一、填空题： 1、 3 2 ，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题： 1、 3 1； 2、证明PM PN PF PE =即可； 课后作业 一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。 2． 已知x y 52=，则y x :=______________。 3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则 =+-++z y x z y x 2 。 5． =++===++222,7 53,10z y x z y x z y x 则且 若 。 6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680 ，AM ：MB ＝1： 2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。 7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则 EC= 。 8． 若 ==+y x y y x 则,38 。

9、若 ()0753≠==a c b a ，则 a c b a ++=_________ 二、选择题： 1．如果 32=b a ，则 b b a +等于（ ） （A ）l 31 （B ）2 1 （C ）53 （D ）35 2．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ） (A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c 3．已知 32==d c b a ，且d b ≠，则 d b c a --=（ ） （A ）32 （B ）5 2 （C ）53 （D ）51 4．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果2 3 =DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ） （A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）6 5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=2 1 6．已知 07 54≠==z y x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ） 43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）16 7 =++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。 (A)1∶3∶5 (B)1∶2∶2 (C)1∶2∶3 (D)1∶3∶2 8．若3 2 =y x ，则 ()=+--+y x y x y x y x : （A ） 25∶1 (B) 1∶25 (C)27:8 (D)3:2 三、解答题： 1． 已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE 和 B H G E D C A F

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B

(完整版)相似三角形知识点大总结

相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．

初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)

初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2（附答案详解） 1．已知线段2a cm =，8b cm =，它们的比例中项c 是（ ） A ．4cm B ．4cm ± C ．16cm D ．16cm ± 2．下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．1、2、2、3 B ．1、2、3、4 C ．1、2、2、4 D ．3、5、9、13 3．如果a ：b ＝3：2，且b 是a 、c 的比例中项，那么b ：c 等于（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．2：3 D ．3：2 4．下列四条线段能成比例线段的是（ ） A ．1，1，2，3 B ．1，2，3，4 C ．2，2，3，3 D ．2，3，4，5 5．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ） A 51- B ．5 C 35- D 56．已知线段a=2，b=8，线段c 是线段a 、b 的比例中项，则c=（ ） A ．2 B ．±4 C ．4 D ．8 7．若23 a b =，则32a b a b -+的值是（ ） A ．75 B ．23 C ．125 D ．0 8．以下四组线段，成比例的是（ ） A ．2,3,4,6cm cm cm cm B ．2,4,6,8cm cm cm cm C ．3,4,5,6cm cm cm cm D ．4,6,6,8cm cm cm cm 9．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d =； ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB ．BC 的比例中项； ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则5． 其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．如图,线段1AB =,点1P 是线段AB 的黄金分割点(11AP BP <),点2P 是线段1AP 的黄金分割点(212AP PP <),点3P 是线段2AP 的黄金分割点(323AP P P <),..,依此类推,则线段

相似三角形及黄金分割

相似三角形知识点 一、☆内容提要 1、比例的有关性质： ()b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c b b a ,2??=?= 应用变形: 已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d kd c b kb a ±= ±。 证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a += + （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ d kd c b kb a ±= ±∴ 2、黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 AC BC AB AC = （整段大线段 大线段 小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 2 1 5-＝AB AC ≈0.618. A B C 推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以 x x x -= 11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。 2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。 例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。 3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）

九年级数学上册4.1成比例线段教案(新版)北师大版

畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门 成比例线段 ●教学目标 1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比.. 2.知道成比例线段的定义. 3.熟记比例的性质并会应用. ●教学重点 会求两条线段的比. 成比例线段的定义. 比例的性质 ●教学难点 会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 比例的基本性质 ●教学方法 自主探索法 ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明. ［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等 等. ［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们 就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不 同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从 线段的比开始学习. Ⅱ.新课讲解 1.两条线段的比的概念 ［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ ［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作b a ；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小. ［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比. ［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶ 6=1∶2,对吗？ ［生］对. ［师］大家同意他的观点吗？ ［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. ［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？ ［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段 的比（ratio ）就是它们长度的比，即AB ∶CD =m ∶n ，或写成 CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k ，或A B =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比.

相似三角形——比例线段

教学过程 一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。

2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？

二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3；—4：6=—4 6=— 2 3； 2 —3= —4 6，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b= c d，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝ 是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。

a c a k b c k d b d b d ++=?=考点2 比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则 b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。

北师大版九年级数学上册教案《成比例线段》

《成比例线段》 学生的知识技能基础： 这节课是“成比例线段” 的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境， 认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。 学生活动经验基础： 上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 【知识与能力目标】 了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 【过程与方法目标】

经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。【情感态度价值观目标】 通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 【教学重点】 理解线段比的概念及其求解。 【教学难点】 求线段的比，注意线段长度单位要统一。 课件。 一、情境导入 1、看一看，想一想。这棵大树有多高？ 小敏思考后,她只用一根卷尺, 测出了大树影子BC,自己的身高A1 B1及影子B1 C1三个数据,然后通过计算,立刻得出了树高AB.你能行吗?这里需要什么知识？ 【设计意图】：通过实际生活中的例子，让学生在上新课之前就对新的知识产生了浓厚的兴趣。这样更利于新课的进行。 2、想一想，算一算： 这幅图片中的实际自然景观有多大? （已知中国自然景观卫星影像图1：18 700 000）

相似三角形之比例线段

课后作业 一、选择题 1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知32=b a ，则b b a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)5 3 5.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3 6.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米

8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm 9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB =AE AC ，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB =DE BC (B)AB AD =AE AC (C)DB EC =AB AC (D)AD DB =AE AC 10.若b a c a c b c b a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ） (A)-1 (B)2 1 (C)1 (D)- 12 二、填空题 1.若4x=5y,则x ∶y ＝ . 2.若 3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶x x z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么b b a +＝ . 5.若b a ＝d c ＝f e ＝3，且b+d+ f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若b a b +＝53，那么b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝2 3，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm. 则AB+BC+AC ＝ .

初中数学1_成比例线段_学案2

4．1 成比例线段 4．1．2 比例的基本性质 【学习目标】 1、（理解）能熟记比例的基本性质． 2、（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明. 【学习重点】比例的基本性质及其应用. 【学习过程】 一、知识链接： 1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：。 （2）已知2：3＝4：x，则x=。 2、上节课学习了两条线段的比，成比例线段 （1）比例线段及其相关概念 “成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做。 （2）“成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 线段的比是指条线段的比的关系，成比例线段是指条线段之间的关系。 （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a:b和b:a相等吗？请举例说明。 成比例线段也有顺序性，如能说成是b、a、c、d成比例吗？请举例说明。 二、预习交流： （1）比例的基本性质是：。 请写出推理过程： ∵，在两边同乘以bd得， = ∴= （2）合比性质:如果，那么 请写出推理过程： ∵，在两边同时加上1得， +=+ . 两边分别通分得：

思考：请仿照上面的方法，证明“如果，那么”． （3）等比性质： 猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质：如果（），那么＝．思考：等比性质中，为什么要这个条件？ 三、巩固练习： 1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为 2.5米，那么，该建筑的高是多少米？ 2．若则 3．若，则 四、本课小结： 1．比例的基本性质：a:b=c:d； 2. 合比性质：如果，那么； 3. 等比性质：如果（），

相似三角形-比例线段

一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？

二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3 ；—4：6=— 4 6 =— 2 3 ； 2 —3 = —4 6 ，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b = c d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如 d c b a ＝是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。

a c a k b c k d b d b d ++=?=比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。

第一讲：相似三角形——比例线段

第一讲 相似三角形——相似与比例线段 第一课时 一．放缩与相似 1. 相似形的概念 一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相 同的两个图形叫做相似形。 2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征 ∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠C BC C B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征 推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。 【典型例题】 1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长 春到大连的实际距离为 千米。 【同类变式】 2. 在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得?ABC 的三边： AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际?A'B'C'的周长是多少米？ 3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在 该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2 ,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个 （1）有一个角是100o 的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o 的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。 【同类变式】 6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。求 矩形ABCD 的面积。 7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高 是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。 8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不 相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？ 二．比例线段 (1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b 或b a 。 (2) 比例线段：在四条线段a b c d 中，其中两条线段a, b 的比等于两条线段c,d 的比, 即 d c b a =，那个这四条线段叫做比例线段。其中，a b c d 叫做成比例的项。 (3) 比例外项，比例内项，第四比例项 (4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b =b:c ,那么线段b 叫做线段的比例 中项。 ★比例的性质 (1) 比例的基本性质 d c b a =a d =bc (运用等式的基本性质) 特别地，a:b =b:c ，那么b 2 =ac ,反之亦然 (2) 合比,分比性质

冀教版-数学-九年级上册- 比例线段 教学设计

25.1 比例线段 教学设计思想 本节课通过举例实际生活中两条线段的比的问题引入比例线段的概念，可以充分调动学生联系实际和积极思维的能力．在讲解比例线段的概念与性质时，老师并非全盘讲授，而是组织学生思考，探究，学生经历发现结论的过程，真正理解比例线段性质。 教学目标 知识与技能： 1．能说出线段的比和成比例线段、比例中项的概念； 2．熟记比例的基本性质，并能利用该性质解决一些简单的问题； 3．会在一条线段上作出黄金分割点。 过程与方法： 通过观察、测量、画图、推理等方法探索结论，经历发现结论的过程，发展逻辑思维方法。 情感态度价值观： 通过了解黄金分割的应用，扩大视野，体会其中的文化价值。 教学重难点 重点：比例的概念与性质 难点：比例的性质及应用 教学方法 探索发现法 教学媒体 大小不等的两张中国地图 课时安排 1课时 教学过程设计 一、复习引入 出示两张大小不等的中国地图，问： 1.这两个图形有什么联系? 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。 2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习比例线段。 二、比例线段的概念

先从这两张相似的地图上研究。 请一位同学在地图上找出北京、上海、福州的位置，如果我们用A 、B 、C 分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB=＿＿cm ，上海到福州的直线距离，即线段BC=＿＿cm ，在小地图上用A ′、B ′、C ′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A ′B ′=＿＿cm ，B ′C ′=＿＿cm 。在地图上量出的AB 与A ′B ′，BC 与B ′C ′长度是否相等?为什么会不一样呢?线段AB 与A ′B ′，BC 与B ′C ′有什么关系呢?请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB ：A ′B ′，BC ：B ′C ′会有什么样的结果呢?我们会得到AB 与A ′B ′这两条线段的比与BC ，B ′C ′这两条线段的比是相等的，即=。 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即=，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 若线段a 、b 、c 、d 成比例，即a:b=c:d 。 注意：（1）两条线段的比就是它们的长度的比． （2）比与所选线段的长度单位无关，求比时，两条线段的长度单位要一致． （3）两条线段的比值总是正数．（并不都是正数） （4）除了a =b 之外，a b b a ::≠．b a 与a b 互为倒数． 上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段就是成比例线段，实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨再量一量北京到福州的距离，即AC 与A ′C ′，然后再算AC ；A ′C ′，看看是否成比例。如果≠，那会出现什么情况? 三、比例的性质： 比例的基本性质 问题1：如果d c b a =（或a :b =c :d ），那么ad =bc ,即比例的两外项的积等于两内项的积， 那么如何证明呢？（引导学生一起证明） 如果=那么b 叫做a 、c 的比例中项，也可以写成b 2 =ac 。 问题2：试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？（由学生完成） 结论：ad =bc ? a :b =c :d ． 问题3：如果a :b =c :d 中的两个比例内项相等，即当a :b =b :c 时，又可以得到什么结论呢？（学生口答） 结论：由比例的基本性质可得：a :b =b :c ?ac b =2．我们把b 叫做a ，c 的比例中项。 三、黄金分割点 例1 如图，已知线段AB=m ，点C 在AB 上，并且 AC BC AB AC =，求线段AC 的长。