个缺项微分方程特解最简形式的探讨

二阶变系数线性微分方程的特解

二阶变系数线性微分方程的特解 张金战 ( 陇南师范高等专科学校, 甘肃成县 742500) 摘要: 在已知二阶变系数齐次微分方程的一个非零特解的条件下, 可以得到 该齐次微分方程和与它对应的非齐次微分方程的通解, 本文给出了在二阶变系数齐次微分方程的系数满足一定条件下的特解形式. 关键词: 线性微分方程; 特解; 通解 中图分类号: O 175.1 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9020( 2007) 02- 014- 02 1 、引言对于方程( 2) 的特解的确定, 有以下结论: 2二阶变系数线性微分方程是指定理 1 若存在实数 a,使 a+ap(x)+q(x)=0, 则方程( 2) 有特 ax 解 y=e. 1y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) ( 1) 2axax2ax 证明 : 设 a+ap(x)+q(x)=0, 将 y=e,y'=ae, y"=ae代入方 111y"+p(x)y'+q(x)y=0 ( 2) 2axaxaxax 2程( 2) 的左端得 : ae+aep (x)+eq (x)=e[a+ap (x)+q (x)]=0, 即其中 p( x) ,q(x),f(x)都是关于 x 的连续函数, 方程( 1) 称为 ax y=e是方程( 2) 的特解. 1二阶变系数非齐次线性微分方程, 方程( 2) 称为方程( 1) 对应 x推论1 若 q(x)+p(x)+1=0,则方程( 2) 有特解 y=e. 1的齐次微分方程. 在已知方程( 2) 的一个非零特解的条件下, - x推论 2 若 q(x)- p(x)+1=0,则方程( 2) 有 特解 y=e. 1文[1]给出了求方程( 2) 的通解的刘维尔公式, 文[2]、文[3]给出 推论 3 若 q(x)=0,则方程( 2) 有特解 y=1. 1了方程( 1) 的一个通解公式.这样将求解方程( 1) 和( 2) 的问题 2 定理 2 若 k?1 且 k(k- 1)+kxp(x)+xq(x)=0,则方程( 2) 有特就转化成了找出方程( 2) 的一个非零特解的问题 , 但求方程 k解 y=x. 1( 2) 的特解没有一般方法, 通常用观察法, 多数情况下难以操 2kk- 1证明 : 设 k (k- 1)+kxp (x)+xq (x)=0, 将 y=x,y'=kx,y"=k

偏微分方程理论的归纳与总结

偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）； （2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空

微分方程习题及解答

第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .

2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5．'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ?? =+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．

微分方程(习题及解答)

第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=

微分方程习题及解答

第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是 ． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解：

偏微分方程理论的归纳与总结

偏微分方程是储存自然信息地载体,自然现象地深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强地优越性.微分方程是一个庞大地体系,它地基本问题就是解地存在性和唯一性.该学科地主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程地适定性问题地普适地方法和理论.这是与常微分方程有显著差异地地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类地依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学地角度,方程地类型一般总是对应于一些普遍地理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性地方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象地角度,我们又可以根据不同地运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联地,这就造成方程地概念有许多重叠现象. 根据数学地特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： 线性与拟微分方程,研究这类方程地主要工具是分析方法； 椭圆型方程,它地方法是先验估计泛函分析手段； 抛物型方程,主要是方法,算子半群,及正则性估计； 双曲型方程,对应于方法； 一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界地运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： 稳态方程（非时间演化方程）； 耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充地自然运动.相变与混沌是它们地主要内容；文档收集自网络，仅用于个人学习 保守系统,如具有势能地波方程.该系统控制地运动是与外界隔离地,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们地主要特征；文档收集自网络，仅用于个人学习 守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似地性质,可视为物质流地守恒.激波行为是由守恒律系统来控制.文档收集自网络，仅用于个人学习 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型地建立,解问题地解法以及三类典型方程地基本理论.文档收集自网络，仅用于个人学习 关于三类典型方程定解问题地解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和函数方法.文档收集自网络，仅用于个人学习 关于三类典型方程地基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解地唯一性和稳定性地相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它地古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数地基本性质、函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者地研究则需要知道空间地相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它地变换、特殊地求解方法、基本解、方程式和方程组地最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项地方程式地最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题地求解方法、初值问题地能量不等式与解地适定性、以及混合问题地能量模估计与解地适定性.文档收集自网络，仅用于个人学习 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解地适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则地求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件地具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有地特殊性质,将证明所求解是唯一地,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空间中考虑,我们将在连续函数空间和平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据地连续依赖性问题文档收集自网络，仅用于个人学习 学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析是研究其它一切地基础.首先有必要解释一下

(整理)偏微分方程相关材料翻译

目录 前言vii 1 应用与方法概述 1 1.1 什么是偏微分方程1 1.2 求解并解释偏微分方程7 2傅里叶级数17 2.1 周期函数18 2.2 傅里叶级数26 2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数38 2.4 半幅展开:余弦级数和正弦级数50 2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式53 2.6 傅里叶级数的复数形式60 2.7 受迫振动69 收敛性的补充内容 2.8 傅里叶级数表示定理的证明77 2.9 一致收敛性和傅里叶级数85 2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性94 3 直角坐标中的偏微分方程103 3.1 物理和工程中的偏微分方程104 3.2 建模2 弦振动和波动方程109 3.3 一维波动方程的求解:分离变量法114 3.4 达朗贝尔方法126 3.5 一维热传导方程135 3.6 棒中的热传导:各种边界条件146 3.7 二维波动方程和热传导方程155 3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程163 3.9 泊松方程:特征函数展开法170 3.10 诺伊曼条件和罗宾条件180 3.11 最大值原理187 4 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程193

4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子194 4.2 圆膜的振动:对称情况198 4.3 圆膜的振动:一般情况207 4.4 圆域中的拉普拉斯方程216 4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程228 4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程231 关于贝塞尔函数的补充内容 4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数237 4.8 贝塞尔级数展开248 4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式261 5球面坐标中的偏微分方程269 5.1 问题和方法概述270 5.2 对称狄利克雷问题274 5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题281 5.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用291 关于贝塞尔函数的补充内容 5.5 勒让德微分方程300 5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开308 5.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开319 6施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用325 6.1 正交函数326 6.2 施图姆-刘维尔理论333 6.3 悬链346 6.4 四阶施图姆-刘维尔理论353 6.5 梁的弹性振动和屈曲360 6.6 双调和算子371 6.7 圆板的振动377 7傅里叶变换及其应用389 7.1 傅里叶积分表示390 7.2 傅里叶变换398 7.3 傅里叶变换法411

系数非线性常微分方程的特解表达式

万方数据

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三类常系数非线性常微分方程的特解表达式 作者：陈友朋， 钱明忠， 黄娟娟 作者单位：江苏省盐城师范学院数学科学学院,江苏盐城,224051 刊名： 高等数学研究 英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)：2009，12(4) 被引用次数：0次 参考文献(3条) 1.张建梅.孙志田.崔宁关于y″+py'+qy=Aeαx的特解[期刊论文]-高等数学研究 2005(03) 2.曾菊华.胡小英关于常系数线性微分方程的特解表达式[期刊论文]-高等数学研究 2006(04) 3.Π Э 艾利斯哥尔兹.南开大学数学系编译中队.崔士英微分方程 1959 相似文献(10条) 1.期刊论文刘琳琳非齐次常系数常微分方程特解形式的一个推导-喀什师范学院学报2002,23(3) 考虑n阶非齐次常系数线性常微分方程y(n)+Pn-1y(n-1)+…+p1y1+poy=f(x),当它的右端项f(x)=eλχPm(x)时,给出它的特解形式的推导. 2.期刊论文张学凌.王志伟求一类常微分方程特解的程序化方法-天中学刊2008,23(5) 通过对常微分方程常规解法的进一步探讨,推导出一类三阶常系数非齐次线性微分方程求特解的统一表达式,并通过C++语言编程,利用计算机直接输出结果,提高了求解的速度和准确性. 3.期刊论文沈彻明.SHEN Che-ming求非齐次高阶常系数线性常微分方程的特解的一般公式-数学的实践与认识2000,30(4) 本文提出了高阶常系数线性常微分方程的第二类特征代数方程,并利用它获得了求非齐次方程的特解的一般公式. 4.期刊论文赵苏串一类常系数非齐次常微分方程的特解的求法-上海大学学报(自然科学版)1999,5(6) 讨论了形如u+αu=f(x),u(4)+αu.+βu=f(x),其中f(x)=(sinωx)2k或(cosωx)2k(k∈Z+),ω≠0ε,α,β均为常数的特解的求法. 5.期刊论文龚东山.刘岳巍.贾筱景.GONG Dong-shan.LIU Yue-wei.JIA Xiao-jing计算一类常微分方程特解的新方法-河北北方学院学报(自然科学版)2008,24(6) 目的 计算高阶常微分方程特解的方法有待定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换法、积分法等,它们的计算工作量一般较大,为弥补上述方法的不足,有必要探究另一种简便实用的新方法--特征函数法.方法 先定义该类高阶常微分方程的对应齐次方程的特征函数,再利用特征函数的导数,可得到非齐次项为特殊函数情形时方程的一个特解.结果 只需求出特征方程的根,就可得到该类高阶常微分方程的一个特解.结论 利用特征函数法可以得到一类常微分方程的一个特解,该方法使用简单,所得特解形式直观. 6.期刊论文龚东山.刘岳巍.牛富俊.GONG Dong-shan.LIU Yue-wei.NIU Fu-jun特征函数在高阶常微分方程特解计算中的应用-吉林师范大学学报(自然科学版)2008,29(4) 通过借助特征函数的导数,得到了非齐次项为特殊函数情形的一类高阶常微分方程的一个特解的一种新的计算方法.运用该方法,还得到了非齐次项为常见情形时方程的一个特解. 7.期刊论文陈新一一类二阶常微分方程的特解 -高等数学研究2010,13(1) 研究一类二阶实常系数非齐次微分方程y″+py′+q=(a0+a1x)eαxsinβx的解法,应用叠加原理和Euler公式,将其化为二阶线性非齐次方程,并利用对应的特征方程给出了这一类方程特解的一般公式,简化这一类微分方程的求解过程. 8.期刊论文张学凌二阶非齐次线性常微分方程特解的算法模型-许昌学院学报2003,22(2) 用迭代算法求二阶非齐次线性常微分方程y"+py'+qy=pn(x)eax=(AnXn+…+Aixi+…+Ao)eax的特解是一种新的尝试,借助C++BUILDER编译器成功地实现了该算法,较圆满地解决了此类微分方程求特解时实际计算上的问题. 9.期刊论文王欣欣.郑秉文用微分算子求常微分方程特解的注记-吉林师范大学学报(自然科学版)2003,24(3) 本文给出常系数线性微分方程最简特解的定义,论证了常系数线性微分方程最简特解的形式,同时给出了用微分算子求常系数线性微分方程最简特解的方法. 10.期刊论文陈新一.唐文玲.CHEN Xin-yi.TANG Wen-ling一类三阶常微分方程的特解公式-甘肃联合大学学报（自然科学版）2007,21(1) 利用比较系数法,推导出三阶常系数微分方程y"'+py"+qy'+ry=(a0+a1x+a2x2)eλx的特解的一般公式.利用这个公式可直接得到此类微分方程的特解. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/df7597193.html,/Periodical_gdsxyj200904014.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：0494467a-5728-47be-9cc4-9dcf0154b484 下载时间：2010年8月11日

第九章 非线性偏微分方程

第九章 非线性偏微分方程 前面几章索研究的偏微分方程都是线性的，但在实际工程级数及自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的，在有些情况下，人们为了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。 §9.1 极小曲面问题 在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应的一个泛函的最小值（当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题的弱解）。其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下一个变分问题的解必满足一个微分方程。在这一节内，我们以极小曲面问题为例说明这个事实。 设Ω是平面上有界区域，它的边界?Ω是充分光滑的，其方程为： (),(), x x s y y s ==00s s ≤≤ 其中00(0)(),(0)()x x s y y s ==即?Ω是一条闭曲线。现在在?Ω上给定一条空间曲线l （即作一条空间曲线l ，使它到Ω所在平面的投影为?Ω）： 0(),:(),0,(),x x s l y y s s s u s ?=??=≤≤??=? （9.1） 这里0(0)()s ??=。所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在Ω上的曲

面S ，使得 （1）S 以l 为周界； （2）S 的表面积在所有以l 为周界的曲面中是最小的。 假定空间曲面的方程为 (,)v v x y = 则由微积分学可知，这个曲面的表面积为 ()J v =?? （9.2） 于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u ，使得 （1）由(,)u u x y =所表示的曲面以l 为周界，即 1(),u C u ??Ω∈Ω=，或者说，u M ?∈， 其中M ?由（8.7）给出； （2）()min ()v M J u J v ? ∈= （9.3） 这是一个变分问题。 如何求出变分问题（9.3）的解？我们先来看看假若u M ?∈是（9.3） 的解，那么u 必需满足什么样的条件。为此，在0M 任取一个元素v ， 即任取0v M ∈，即1(),0v C v ?Ω∈Ω=。对任意(,),u v M ?εε∈-∞+∞+∈，记 ()()j J u v εε=+ （9.4） 其中()J u 由（9.2）确定，从（9.2）可知()j ε是定义在R 上的一个可微函数，由于u 是（9.3）的解，所以对任意R ε∈处取得最小值，故 (0)0j '= （9.5） 不难看出

偏微分方程理论的归纳与总结

偏微分方程理论的归纳与 总结 Prepared on 22 November 2020

偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显着差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）；

（2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性.

高数微分方程求解

学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等 学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 学习难点：微分方程的通解概念的理解 学习内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2 /4.0s m -. 问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函 数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件：

0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020 s t == 。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。 微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1） 是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ,0),,',,()(=n y y y x F （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，) (n y 是必须出现的，而

偏微分方程理论学习总结

偏微分方程理论学习总结 任 荣 珍 院系：理学院 班级：19 班 学号：2014081034

偏微分方程理论学习总结 偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。 下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介： 谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。 而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。 J.达朗贝尔(D ’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利 (Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P.拉普拉斯(Laplace) (1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。 十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G .Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程： 2222220V V V V x y z ????=++=??? 偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一

线性偏微分方程理论

一、教学目标和要求： 在本科生所学数学物理方程基础上，系统介绍一般线性偏微分方程多种定解问题经典解的存在唯一性及弱解的存在唯一性与正则性，特征理论，要求学生掌握线性偏微半一些基本理论，方法及先验估计的技巧 二、教学大纲（含章节目录）： 第一章预备知识 第二章极值原理及应用 第三章L2理论 第四章散度形式方程的解和Holder连续性 第五章解的L p估计 第六章Schauder估计 第七章抛物型方程的极值原理和应用 第八章抛物型方程第一边值问题

第九章高维双曲型方程 I. Teaching Goals and Requirements: on basis of Mathematical Physics equation, introduces systematically some kinds of solution problerms in linear partial differential equation,,the existation and uniqueness of classical solution and the existation and regularity properties of weak solution, eigen theory to stenents. Make the students to master some fundamental theory,methods,skills of prior estimate. II. Teaching Syllabus (chapters, including sections) chapter 1:prepared knowledge