2016-2017学年福建省宁德市高一下学期期末质量检测数学试题

宁德市2016—2017学年度第二学期高一期末考试

数学试题（A 卷）

(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．

2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂． （1）直线30x +=的倾斜角为

（A ）60°

（B ）90° （C ）120° （D ）不存在 （2）函数2sin()4y x π

=-的一条对称轴是

（A ）4x π= （B ）2x π= （C ）34

x π

= （D ）2x =π

（3）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线210x y +-=互相垂直，则直线l 的方程为

（A ）20x y -= （B ） 240x y --= （C ）230x y +-= （D ）250x y --= （4）0000sin110cos40cos70sin 40-?=

（A ）12

（B ）32 （C ）12- （D ）32-

（5）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，

AM 与BN 所成角的大小为

（A ）00 （B ）045

（C ）060 （D ）090 （6）要得到函数231

sin 2cos 22

y x x =

+-的图像，只需将sin y x =图像上所有的点 （A ）横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向左平移6π

个单位

（B ）横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移12

π

个单位

（C ）向左平移12

π

个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变

（D ）向左平移

6

π

个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变 （7）如图，在ABC ?中，090BAC ∠=，2AB AC ==，E 是边BC

的中点，D 是边AC 上一动点，则AE BD ?的取值范围是 （A ）[0,2] （B ）[2,0]-

（C ）[0,22] （D ）[22,0]- （8）已知,αβ为两个不同平面，,m n 为两条不同直线，以下说法正确的是

（A ）若//,,m n αβαβ??，则//m n （B ）若//,m n n α?，则//m α （C ）若,,,//m n m n αβα

βα⊥=⊥，则n β⊥

（D ）若,//m n m α⊥，则n α⊥

（9）已知-A BCD 为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为

（A ）1

3

（B ）5

（C ）22 （D ）

22

3

（10）某几何体的三视图如右所示，则该几何体的表面积为

（A ）

362π+

（B ）372π

+

（C ）12π+ （D ）26π+

（11）已知圆22:4+=C x y ，直线:()+=∈l x y b b R ，若圆C 上

到直线l 的距离为1的点的个数为S ，则S 的可能取值共有 （A ）2 种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 （12）()f x 为定义在R 上的奇函数，其图像关于直线4x π=

对称，且当[0,]4

x π

∈时， ()tan f x x =，则方程5()40f x x π-=解的个数是

（A ）7 （B ）5 （C ）4 （D ）3

第II 卷

注意事项：

用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答. 在试题卷上作答，答案无效. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

（13）已知向量,a b 的夹角为π

3，且3=a ，19+=a b ，则=b .

（14）已知角α的终边过点)4,3(P ，则5cos(

)2

απ

+= .

（15）圆221:90C x y +-=与圆222:6890C x y x y +-++=的公共弦的长为 . （16）南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”. 意思是：

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 图1中阴影部分是由曲

线2

14

y x =

、直线4x =以及x 轴所围成的平面图形Ω， 将图形Ω绕y 轴旋转一周，得几何体Γ. 根据祖暅原理，从下 列阴影部分的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体中选一个 求得Γ的体积为 .

6

4

2

y x

O

2

44y x O

11

44

y x

O

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. （17）（本题满分10分）

已知点(0,0),(2,1),(2,4)O A B -，向量OM OA OB λ=+ （Ⅰ）若点M 在第二象限，求实数λ的取值范围

（Ⅱ）若1λ=，判断四边形OAMB 的形状，并加以证明.

（18）（本题满分12分）

已知O 为坐标原点，倾斜角为

2π

3

的直线l 与,x y 轴的正半轴分别相交于点,A B ， AOB ?的面积为83.

（Ⅰ）求直线l 的方程；

（Ⅱ）直线'l 过点O 且与l 平行，点P 在'l 上，求PA PB +的最小值.

（19）（本题满分12分）

已知向量(cos ,2sin cos )222

x x x

=-a ，(1,1)=-b ，()f x =?a b .

y=14

x 2

4

图1

y

x

O

（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若22

(2)3f α=，求cos2(1tan )1tan ααα

-+的值.

（20）（本题满分12分）

如图，已知AB 是O 的直径，C 是O 上异于,A B 的点，VC 垂直于O 所在的平面，且4AB =，3VC =.

（Ⅰ）若点D 在VCB ?内（包含边界），且//DO 面VAC ，作出点D 的轨迹，说明作

法及理由；

（Ⅱ）求三棱锥-V ABC 体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB 与平面VAC 所 成角的大小.

（21）（本题满分12分）

已知圆C 过点(3,1)，且与直线2x =-相切于点(2,0)-，P 是圆C 上一动点，,A B 为圆C 与y 轴的两个交点（点A 在B 上方），直线,PA PB 分别与直线3y =-相交于点,M N .

（Ⅰ）求圆C 的方程；

（Ⅱ）求证：在x 轴上必存在一个定点Q ，使QM QN ?的值为常数，并求出这个常数.

（22）（本题满分12分）

6

3

31y t

O

某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y (单位: 3m /h ) 关于时间t （单位:h ）的关系均近似地满足函数sin()y A t b ω?=++（0A >，0ω>，0?π<<），其图象如下：

（Ⅰ）根据图象求函数解析式；

（Ⅱ）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排 放量之和不超过53m /h ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少 需推迟多少小时投产？

宁德市2016—2017学年第二学期期末高一质量检测

数学试题(A 卷)参考答案及评分标准

（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．

（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．

（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1.B

2.C

3.B

4.A

5.D

6.D

7.B

8.C

9.A 10.C 11.D 12.B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.2 14.45-

15.245 16. 32π 三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17. 解法一：（Ⅰ）设(,)M x y ，由已知得(2,1),(2,4)OA OB ==- …………………….1分

由OM OA OB λ=+得(,)(2,1)(2,4)x y λ=+- 解得22,14x y λλ=-=+

即(22,14)M λλ-+，…………………………………….……………………….…..2分 又点M 在第二象限，

220140λλ-

+>?………………………………………………………………………….…4分

解得1λ> ………………………………………………………………………..…..5分 （Ⅱ）当1λ=时，(0,0),(2,1),(0,5)(2,4)O A M B - 所以(2,4)AM =-，OB AM =，

OB

AM 且OB AM =

所以四边形OAMB 为平行四边形………… … ……………………………..…….7分 又440OA OB =-+=

即OA OB ⊥……………………………………………………………………………9分 所以四边形OAMB 为矩形 又5,25OA OB ==，

即

OA OB

≠，所以四边形OAMB 不是正方形

综上所述，四边形OAMB 为矩形………………………………………………….10分 解法二：（Ⅰ）同解法一；…………………………………………….…………………5分 （Ⅱ）因为(2,1),(2,4)OA OB ==-

所以440OA OB =-+=，得OA OB ⊥……………………..……………………..7分 又(2,1)BM =，22140OB BM =-?+?=，得OB BM ⊥………….…………….8分 (2,4)

AM =-，22140OA AM =-?+?=，得OA AM ⊥………………..………9分

所以四边形OAMB 为矩形 又5,25OA OB ==，

即

OA OB

≠，所以四边形OAMB 不是正方形

综上所述，四边形OAMB 为矩形…………………………………………………..10分

(说明：未验相邻两边不相等不扣分)