小学数学奥数方法讲义40讲(二)

第十一讲份数法

———————————姚老师数学乐园

广安岳池姚文国

把应用题中的数量关系转化为份数关系

，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。

（一）以份数法解和倍应用题

已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。

例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）

解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3 +1）份数。

因此，得：

320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树

80×3=240（棵）…………………杨树

答略。

例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度）

解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。

所以乙场存煤：

（490+10）÷（1+4）

=500÷5

=100（吨）

甲场存煤：

490-100=390（吨）

答略。

例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）

解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0. 60×4）元就正好是（4+3）份数。

每瓶香槟酒的价钱是：

（10.80-0.60×4）÷（4+3）

=8.4÷7

=1.2（元）

每瓶啤酒的价钱是：

1.2+0.60=1.80（元）

答略。

（二）以份数法解差倍应用题

已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。

例1 三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，这样今年水田的亩数正好是旱田的3倍。该村原有旱田多少亩？（适于五年级程度）

解：该村原有的水田比旱田多230亩（图11-1），今年把35亩旱田改为水田，则今年水田比旱田多出230+35×2= 300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱田的3倍，以今年旱田的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正好是2份数（图11-2）。

今年旱田的亩数是：

（230+35×2）÷ 2

=300÷2

=150（亩）

原来旱田的亩数是：

150+35=185（亩）

综合算式：

（230+35×2）÷2+35

=300÷2+35

=150+35

=185（亩）

答略。

*例2 和平小学师生步行去春游。队伍走出10.5千米后，王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小时各行多少千米？（适于五年级程度）

解：根据“追及距离÷追及时间=速度差”，可求出王东骑自行车和师生步行的速度差是10.5÷1.5=7（千米/小时）。已知骑自行车的速度是步行速度的2. 4倍，可把步行速度看作是1份数，骑自行车的速度就是2.4份数，比步行速度多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份数差，便可求出1份数。

10.5÷1.5÷（2.4-1）

=7÷1.4

=5（千米/小时）…………………………步行的速度

5×2.4=12（千米/小时）………………………………骑自行车的速度

答略。

（三）以份数法解变倍应用题

已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做变倍应用题。

变倍应用题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数量的变化，从而计算出“ 1”份（倍）数是多少。

*例1大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的3倍。两车行至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时，大卡车的载货量变成小卡车的2倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度）

解：出发时，大卡车载货量是小卡车的3倍；到乙站时，小卡车增加了130 0千克货物，要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的3倍，大卡车就应增加1 300×3千克。

把小卡车增加1300千克货物后的重量看作1份数，大卡车增加1300×3千克货物后的重量就是3份数。而大卡车增加了1400千克货物后的载货量是2份数，这说明3份数与2份数之间相差（1300×3-1400）千克，这是1份数，即小卡车增加1300千克货物后的载货量。

1300×3-1400

=3900-1400

=2500（千克）

出发时，小卡车的载货量是：

2500-1300=1200（千克）

出发时，大卡车的载货量是：

1200×3=3600（千克）

答略。

*例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛，男生人数是剩下女生人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍。这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度）

解：把最后剩下的男生人数看作1份数，根据“最后剩下的女生人数是男生人数的5倍”可知，剩下的女生人数为5份数。

根据45名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的2倍”，而最后剩下的女生人数是5份数，可以算出参加长跑前男生人数的份数：

5×2=10（份）

因为最后剩下的男生人数是1份数，所以参加长跑的45名男生是：

10-1=9（份）

每1份的人数是：

45÷9=5（人）

因为最后剩下的女生人数是5份数，所以最后剩下的女生人数是：

5×5=25（人）

原有女生的人数是：

25+15=40（人）

综合算式：

45÷（5×2-1）×5+15

=45÷9×5+15

=25+15

=40（人）

答略。

（四）以份数法解按比例分配的应用题

把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。

例1一个工程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是24人、21人、18人。现在要挖2331米长的水渠，若按人数的比例把任务分配给三个组，每一组应挖多少米？（适于六年级程度）

解：甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是24份数、21份数、18份数，求出1份数后，用乘法便可求出各组应挖的任务。

2331÷（24+21+18）=37（米）

37×24=888（米）…………………甲组任务

37×21=777（米）…………………乙组任务

37×18=666（米）…………………丙组任务

答略。

例2生产同一种零件，甲要8分钟，乙要6分钟。甲乙两人在相同的时间内共同生产539个零件。每人各生产多少个零件？（适于六年级程度）

解：由题意可知，在相同的时间内，甲、乙生产零件的个数与他们生产一个零件所需时间成反比例。

把甲生产零件的个数看作1份数，那么，乙生产零件的个数就是：

生产零件的总数539个就是：

甲生产的个数：

乙生产的个数：

答略。

（五）以份数法解正比例应用题

成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应的数值的比。

含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做正比例应用题。

这里是指以份数法解正比例应用题。

例1某化肥厂4天生产化肥32吨。照这样计算，生产256吨化肥要用多少天？（适于六年级程度）

解：此题是工作效率一定的问题，工作量与工作时间成正比例。

以4天生产的32吨为1份数，256吨里含有多少个32吨，就有多少个4天。

4×（256÷32）

=4×8

=32（天）

答略。

例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（适于六年级程度）

解：每400粒大豆重80克，这一数量是一定的，因此大豆的粒数与重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份数，则24000粒大豆中包含多少个40 0粒，24000粒大豆中就有多少个80克。

24000÷400=60（个）

24000粒大豆的重量是：

80×60=4800（克）

综合算式：

80×（24000÷400）=4800（克）

答略。

（六）以份数法解反比例应用题

成反比例的量有这样的性质：如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值的比，等于另一种量的两个对应数值的比的反比。

含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比例应用题。

这里是指以份数法解反比例应用题。

例1有一批水果，每箱装36千克，可装40箱。如果每箱多装4千克，需要装多少箱？（适于六年级程度）

解：题中水果的总重量不变，每箱装的多，则装的箱数就少，即每箱装的重量与装的箱数成反比例。

如果把原来要装的40箱看做1份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的：

现在需要装的箱数是：

答略。

天的用煤量看做1份数，那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量的：

用煤天数与每天用煤量成反比例，原来要用24天的煤，现在可以用的天数是：

答略。

（七）以份数法解分数应用题

分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数是另一个数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

例1长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少1/3，求女职工人数比男职工人数多百分之几？（适于六年级程度）

解：从题中条件可知，男职工人数相当于女职工人数的：

如果把女职工人数看作3份，那么男职工人数就相当于其中的2份。

所以，女职工人数比男职工人数多：

（3-2）÷2=50％

答略。

那么黄旗占：

如果把21面黄旗看作1份数，总数量“1”中包含有多少个7/45，旗的总面数就是21的多少倍。

答略。

棉花谷多少包？（适于六年级程度）

解：由题意可知，甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下

成8份时，甲仓库剩下的是2份；把乙仓库的棉花分成5份时，乙仓库剩下的也是2份。

但是，乙仓库剩下的2份比甲仓库剩下的2份多130包。可以看出，乙仓库的1份比甲仓库的1份多出：

130÷2=65（包）

如果把乙仓库原有的棉花减少5个65包，再把剩下的棉花平均分成5份，这时乙仓库的每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。

这样，从两仓库棉花的总数2600包中减去5个65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲仓库8份，乙仓库5份），其中的8份就是甲仓库原有的包数。

（2600-65×5）÷（8+5）×8

=2275÷13×8

=1400（包）……………………………甲仓库原有的包数

2600-1400=1200（包）……………乙仓库原有的包数

答略。

（八）以份数法解工程问题

工程问题就是研究工作量、工作时间及工作效率之间相互关系的问题，这种问题的工作量常用整体“1”表示。

例1一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经12小时相遇。相遇后，快车又行8小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度）

解：由“相遇后快车又行8小时到达乙站”可知，慢车行12小时的路程快车只需行8小时。

把快车行这段路程所需的8小时看作1份数，则慢车所需的份数是：

答略。

*例2加工一批零件，甲单独完成需要30天，乙单独完成的时间比甲少

解：由题意可知，甲单独完成需要30天，乙单独完成所需天数是：

如果把乙工作的6天看作1份数，那么甲完成相同的工作量所需时间就

答略。

（九）以份数法解几何题

*例1一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图11-3）。每个小长方形的周长都是16厘米。这个正方形的周长是多少？（适于五年级程度）

解：在每个长方形中，长都是宽的3倍。换句话说，如果宽是1份，则长为3份，每个长方形的周长一共可分为：

3×2+1×2=8（份）

因为每个长方形的周长为16厘米，所以每份的长是：

16÷8=2（厘米）

长方形的长，也就是正方形的边长是：

2×3=6（厘米）

正方形的周长是：

6×4=24（厘米）

答略。

*例2长方形长宽的比是7∶3。如果把长减少12厘米，把宽增加16厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形。求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度）

解：根据题意，假设原来长方形的长为7份，则宽就是3分，长与宽之间相差：

7-3=4（份）

由于长方形的长要减少12厘米，宽增加16厘米，长方形才能变成正方形，因此原长方形长、宽之差为：

12+16=28（厘米）

看得出，4份与28厘米是相对应的，每一份的长度是：

28÷4=7（厘米）

原来长方形的长是：

7×7=49（厘米）

原来长方形的宽是：

7×3=21（厘米）

原来长方形的面积是：

49×21=1029（平方厘米）

答略。

第十二讲消元法

在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。

（一）以同类数量相减的方法消元

例买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用54 0元。求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？（适于四年级程度）

解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把数，另一类是钱数。先把题中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表12-1。这就是说，同一件事中的数量横向对齐，单位名称相同的数量上下对齐。

表12-1

从表12-1第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下有关椅子的数量：

5-2=3（把）

3把椅子的钱数是：

540-336=204（元）

买1把椅子用钱：

204÷3=68（元）

把买1把椅子用68元这个数量代入原题，就可以求出买1张办公桌用的钱数是：

336-68×2

=336-136

=200（元）

答略。（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元

解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。

1.以两个数的和代换某数

*例甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。两个书架上各有多少本书？（适于四年级程度）

解：题中的数量关系可用下面等式表示：

甲+乙=584 ①

甲+88=乙②

把②式代入①式（以甲与88的和代换乙），得：

甲+甲+88=584

甲×2+88=584

2甲=584-88

=496

甲=496÷2

=248（本）

乙=248+88

=336（本）

答略。

2.以两个数的积代换某数

*例 3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？（适于四年级程度）

解：因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同，所以3双皮鞋的钱数与5×3=15（双）布鞋的钱数一样多。

这样可以认为242元可以买布鞋：

15+7=22（双）

每双布鞋的钱数是：

242÷22=11（元）

每双皮鞋的钱数是：

11×5=55（元）

答略。

3.以两个数的商代换某数

*例 5支钢笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？（适于五年级程度）

解：根据“一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多”，可用12÷4=3（支）的商把12支圆珠笔换为3支钢笔。

现在可以认为，用48元可以买钢笔：

5+3=8（支）

每支钢笔值钱：

48÷8=6（元）

每支圆珠笔值钱：

6÷4=1.5（元）

答略。

4.以两个数的差代换某数

*例甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙多90元。三个人各有多少钱？（适于五年级程度）

解：题中三个人的钱数有下面关系：

甲+乙+丙=235 ①

甲-乙=80 ②

甲-丙=90 ③

由②、③得：

乙=甲-80 ④

丙=甲-90 ⑤

用④、⑤分别代替①中的乙、丙，得：

甲+（甲-80）+（甲-90）=235

甲×3-170=235

甲×3=235+170

=405

甲=405÷3

=135（元）

乙=135-80

=55（元）

丙=135-90

=45（元）

答略。

（三）以较小数代换较大数的方法消元

在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。

*例 18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一名男学生比每一名女学生少采集1千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度）

解：题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集1千克”，则18名男生比女生少采集1×18=18（千克）。假设这18名男生也是女生（以小代大），就应在78千克上加上18名男生少采集的18千克松树籽。

这样他们共采集松树籽：

78+18=96（千克）

因为已把18名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生：

14+18=32（名）

每一名女学生采集松树籽：

96÷32=3（千克）

每一名男学生采集松树籽：

3-1=2（千克）

答略。

（四）以较大数代换较小数的方法消元

在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。

*例胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元。已知每个足球比每个篮球贵8元，篮球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度）

解：假设把5个足球换为5个篮球，就可少用钱：

8×5=40（元）

这时可认为一共买来篮球：

9+5=14（个）

买14个篮球共用钱：

432-40=392（元）

篮球的单价是：

392÷14=28（元）

足球的单价是：

28+8=36（元）

答略。

（五）通过把某一组数乘以一个数消元

当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。

*例 2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度）

解：把题中条件摘录下来，排列成表12-2。

表12-2

把第①组中的数量乘以3得表12-3。

表12-3

第③组的数量中，羊的只数是9只；第②组的数量中，羊的只数也是9只。这样便可以从第②组的数量减去第③组的数量，从而消去羊的只数，得到2匹马吃草20千克。

一匹马吃草：

20÷2=10（千克）

一只羊吃草：

（38-10×2）÷3

=18÷3

=6（千克）

答略。

（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元

当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消元。

*例1买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱，买4块橡皮和7支铅笔用2元钱。求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度）

解：把题中条件摘录下来排列成表12-4。

表12-4

要消去一个未知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数，从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此，把第①组中的各数都乘以4，把第②组中的各数都乘以3，得表12-5。

表12-5

③-④得：3支铅笔用钱0.72元，一支铅笔的价格是：

0.72÷3=0.24（元）

一块橡皮的价格是：

（1.68-0.24×6）÷3

=（1.68-1.44）÷3

=0.24÷3

=0.08（元）

答略。

*例2有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克？（适于五年级程度）

解：摘录题中条件排列成表12-6。

表12-6

把表12-6中①组各数都乘以5，②组各数都乘以3，得表12-7。

表12-7

③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，

一个大杯里面可以放入砂糖：

960÷16=60（克）

一个小杯里面可以放入砂糖：

（420-60×5）÷3

=（420-300）÷3