荆楚培优题3.常用辅助线( 一)

荆楚潮·2015年八年级暑假培优讲义——常用辅助线(1) 一、知识要点

关于全等的辅助线有以下常见的作法

(1) 有角平分线时，常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形

(2) 在三角形中有中线时，常采取延长中线变为原来的两倍，构造全等三角形来解决

(3) 截长补短法：当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况：①a＞b；②a±b＝c；

③a±b＝c±d中的其中一种情况时采用

二、例题解析

【例1】如图，点P为△AEF外一点，P A平分∠EAF，PE＝PF，PB⊥AE于B，求证：AF－AB ＝BE

【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE ＋CD

【例3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．若直线l过顶点A，BM⊥l于M，若l平分∠BAC，求证：(1) AD＝2BM；(2) ∠CMA＝45°

【例4】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF

【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点，连结CE、CD，求证：CD＝2EC

【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F

(1) 求证：点F是ED的中点

(2) 求证：S△AB C＝2S△BEF

【例7】如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为△ABC的一个外角∠ABF 的平分线上一点，且∠ADC＝45°，CD交AB于E

(1) 求证：AD＝CD

(2) 求AE的长

三、课堂练习

如图，△ABC中，CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，求证：CN＋EN＝AE

四、本讲精题整理

五、反馈练习

1．如图，四边形ABCD中，AB＞AD，AC平分∠BAD，CE⊥AD于E点，若∠B＋∠ADC＝180°，求证；CD＝CB

2．(1) 如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求：∠C∶∠B

(2) 如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC