倒推法解题
?页
第二天第一天剩下60页
余下的
25
全书的
1
3
?米
第三次用去19米
第二次用去的
第一次用去的最后剩下5米
8米
2米余下的一半
全长的一半
倒推法解题
【本讲要点】
倒推法是指题目中只交代了发展过程和最后结果，要求最初状态的一类应用题。这既是重要的数学思想方法，也是培养我们数学思维必不可少的方面。这一讲我们要学会用画线段图、列表法等解决较复杂的倒推法问题。 【例题与分析】
例1 一本童话，小张第一天看了全书的13 ，第二天看了余下的2
5 ，还剩下60页，这本书共有多少页？
思路分析：我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。
从图中可以看出，“剩下60页”占余下的1－25 ＝35 。第一天看后还剩下60÷3
5 ＝100（页），又因为第一天看了全书的1
3 ，那么这
100页就占全书的1－13 ＝2
3 ，所以这本书共
有100÷2
3 ＝150（页）。
48÷（1－35 ）÷（1－1
3 ） ＝100÷2
3 =150（页） 答：这本书共有150页。
例2 一根绳子，第一次用去全长的一半多2米，第二次用去余下的一半少8米，第三次用去19米，最后还剩下5米，这根绳子原来有多少米？
思路分析：我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。
从图上可以看出，最后剩下的5米和第三次用去的19米合起来就是用完
两次以后剩下的米数，用这个米数减去8米就得到第一次用后余下米数的一半，乘以2就得到第一次用后余下的米数。第一次用后余下的米数加上2米就是整根绳子长度的一半，再乘2就得到绳子的全长。
[（5+19-8）×2+2] ×2=68（米）
答：这根绳子原来有68米。
例3 有三堆橘子，共120个，先从第一堆拿出与第二堆相同个数的橘子放入第二堆，再从第二堆拿出与第三堆相同个数的橘子放入第三堆，最后再从第三堆里拿出与这时第一堆个数相同的橘子放入第一堆。这时，三堆橘子的数量完全相同。原来这三堆橘子各有多少个？
思路分析：由于这三堆橘子最后的数量完全相同，我们就可以知道最后每堆橘子的质量是120÷3=40（千克）。根据三次变化后往前推算：
最后一次是从第三堆里拿出与这时第一堆个数相同的橘子放入第一堆，那么第一堆的个数就要除以2得到前一次的个数，即40÷2=20（个），第三堆在给第一堆之前就有40+20=60（个）；
从第二堆拿出与第三堆相同个数的橘子放入第三堆，那么第三堆的个数就要除以2得到前一次的个数，即60÷2=30（个），第二堆在给第三堆之前就有40+30=70（个）；
从第一堆拿出与第二堆相同个数的橘子放入第二堆，那么第二堆的个数就要除以2得到前一次的个数，即70÷2=35（个），第一堆在给第二堆之前就有20+35=55（个）。
我们可以用列表法倒推：
【学习贴士】
1.解这类题目，我们要理清题目的变化过程，从最后的结果出发，分析每一次的数量变化，逐步倒推到最初状态。要运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，原来加的倒回去就是减，原来减的倒回去就是加，原来乘的倒回去就用除，原来除的倒回去就用乘。遇到比较复杂的题目，可以通过列表或画线段图来帮助理清题目中数量间的变化关系。
2．在倒推过程中，要逐步弄清求什么，要注意每一次倒推的结果所表示的意义。
【模拟练习】
．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的1 6
，乙拿走了余下的
2
5
，丙拿走这时所剩的
3
4，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？
2．有一篮草莓，第一次拿走全部的一半多3个，第二次拿走余下的一半少
3个，篮中还剩下15个。篮中原有草莓多少个？
．甲、乙、丙三人共有人民币96元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【提高练习】
．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的
5
1
，乙拿走了余下的
7
3
，丙拿走这时所剩的
3
4，丁拿走最后剩下的8个，这堆苹果共有多少个？
．一桶油，第一天用去了整桶油的
1
2多4千克，第二天用去了余下的1
3少6千克，还剩下12千克，原来这桶油有多少千克？
．甲、乙、丙三人各有1元硬币若干枚，开始，甲把自己的硬币拿出
一部分分给了乙和丙，
使乙、丙的硬币数各增加了一倍；后来乙也把自己的硬币拿出一部分分给了甲和丙，使甲、丙的硬币数各增加了一倍；
最后丙也照这样的办法做，使甲、乙的硬币数各增加了一倍。这时三人的硬币数都是16枚。原来甲、乙、丙三人各有多少枚硬币？
【综合练习】
．
一箱桂元连箱子重10.5千克，卖出一半后，再卖出剩下桂元的一半，这时连箱子还重3千克。原来箱子和桂元各有多少千克？
8．一种细菌每小时可增长1倍。现有一批这样的细菌，10小时后达到400万个，当它们达到50万个时，经历了多长时间？
．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天，他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一来回要给我32个铜板。”财迷觉得挺合算，就同意了，他走过桥又走回来身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板。可是当财迷走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下，你知道财迷身上原有多少个铜板吗？