y《数学建模》练习题
《数学建模》练习题
一、填空题：
1、设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 19.44 .
2、设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 20.578 .
3、若银行的年利率是x %，则需要时间 ㏑2/㏑（1+x ） ，存入的钱才可翻番.
4、一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 19 天，2090件 .
5、设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是
3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是
80 .
6、一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉40%，饮料起码要花30元，用f 和d 列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是 ]1)1)[(1(
-++=n
ns R R
R A S 。
7、有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T （次/秒）、鱼身的长度L 和它的速度V 的关系式为 V=TL 。 8、已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d 倍，且它的平均密度是地球的s 倍，则此行星质量是地球的 ddd s 倍.
9、在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒秒，则加入较快队1的条件是 2211n m n m ?=? .
10、在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1） 参加展览会的人数n ；（2）气温T 超过C
10； （3）冰淇淋的售价p .
由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为.
*
*
Q T ==
11、若,,
x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是 y=kx .
12、设S 表示挣的钱数，x 表示花的钱数，则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为 .])1(1[)(2
21
2
2x
e
a
x x
M x P -
-=
.
二、分析判断题：
1、考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益，指出建立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少5个。
2、有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。解：1）水的温度足够洗掉油腻，2）水的温度适合手的进入其中，3）洗涤过程中水的温度在逐渐变凉，4）多长时间凉得不能洗干净。
3、要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种。 解：1）全校选修该课程的具体人数，2）这些人分布在那些班级，3）上选修课与正常教学是否有冲突，4）上选修课的老师能不能到位，5）每周多少节选修课合适。
4、假设某个数学模型建成为如下形式： .])1(1[)(2
21
2
2x
e
a
x x
M x P -
-=
试在适当的假设下将这个模型进行简化.
5、某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。
解：由题意可知，下一年病人数=当年患者数的一半+新患者 令Xn 为从2004年起计的n 年后患者的人数，则
Xn+1=0.5Xn+1000 且Xo=1200
由此可以算出从2005年起计的n 年后患者的人数，则 X5=1975人
显然，这也是一阶线性常系数差方程，且Xn 的值会趋向某一定值L ，可求出L=2000。说明无论多少年过去，患者人数只能趋向2000，但不会达到2000人。 三、计算题：
某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有)(2.2m 和)(5.1m 长度的料各两根，总计要加工20套，所用原料的长度均为),(6.4m 试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？
解：模型问题分析
要求材料最省是指每根成料被裁后余料最短，为此不妨给出各种方案，再进行混合，从中选取最佳组合，方案如下表
1、套裁时为考虑裁剪损失等其它因素
2、假定如下变量。按方案1需原料X1根。方案2需原料X2根。方案3需原料X3根。 模型建立
由假设2。总料头长 y=0.1x1+0.9x2+0.2x3
目标是求其最小值。又由配套要求应有0x1+x2+2x3=40 3x1+x2+0x3=40
于是得到套裁裁问题的数学模型 min y=0.1x1+0.9x2+0.2x3 X2+2x3=40
3x1+x2=40 x1,x2,x3 ε N
模型求解：x1=40/3，x3=20。因为x1 ε N 。便有最佳方案。按方案1截14根，按方案3截20根。方案2不予考虑。总计需34根原料，料头总长为5.4m 四、综合应用题：
1、试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。
解：依假设条件，四个桌脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便表示了方桌位置改变，于是可以用旋转角度的变化表达桌子的不同位置。
为了确定起见，我们以这个正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时(角度0=θ，四个桌脚点 A 、B 、C 、D 中 A 、C 位于X 轴上，则 B 、D 位于 Y 轴上。旋转角度θ 后，点A
、B 、C 、D 变到点'
A 、'
B 、'
C 、'D
（图 1-5），
显然，随着θ的改变，方桌的位置也跟着改变，从而桌脚与地面距离也随之改变。注意到试验结果，尽管方桌有四只脚，因而有四个距离，但对于每个角度，总有点A 、C 同时着地而B 、
D 点不同时着地或B 、D 点同时着地，而 A 、C 点不同时着地，故只要设两个距离函数即
可。
A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B
、D 两脚与地面距离之和为 ()θg ，且作为距
离函数的 ()θf ，()θg 均为非负函数。
由假设 4， ()θf 与 ()θg 均为连续函数。而由假设 3，对任一角度 θ
，恒有 ()θf =0
而 ()θg ≥0 或 ()θg =0而 ()θf ≥0，即对 ,θ?()θf ()θg =0 成立。又为证明存在角度0θ，
使 ()0θg =0, ()0θf ≥0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置 （θ=0），或，()0f =0，()0g >0 或 ()0f >0，()0g =0 ，而旋转 90 度后，两组条件恰好交换。如此，方桌通过旋转
改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题：
已知()θf ,()θg 是 θ的连续函数，对任意 θ，()θf ()θg =0 且()0f =0 时时
()0g >0,???
??2
πf >0时??
?
??2
πg =0。 求证：存在0θ??
?
???∈2,0π，使()0θf =()0θg =0。
这就是方桌问题的数学模型。易见只需引进一个变量 θ及其一元函数()θf ，()θg ，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来。从而形成所需要的数学模型。
2、试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型。
提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指课程的第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型。 解：
确定型且不允许缺货的存储模型公式：*
*
Q T =
=
，其中R 是平均
每天的销售量，b c 为一次进货手续费，s c 为单位商品存储费（元/天）；而**,Q T 分别为一次进货量和相邻两次进货的时间间隔.
3、某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入水库.为了防洪，须调节泄洪速度.经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线，若
打开两个泄洪闸，10个小时水位降落至安全线.现在，抗洪指挥部要求在3个小时内将水位降
至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决.
问题分析：安全线以下并不意味着水位高度不存在 模型假设：根据问题分析假设 1、设安全线以下水位高度为0。 2、在泄洪前水位高度为h 3、每个泄洪闸泄洪量均为a 4、水流进的速度为常数v
模型建立。设需x 个泄洪闸才能在30个小时水位降至安全线，则ax ·10=10(h 。+10v) 又a ·10·10=30(h+2v)
a ·2·4=2(h 。+4v)
即得问题的数学模型为 ax ·10=10(h 。+10v)
a ·10·10=30(h+2v) a ·2·4=2(h 。+4v) 模型求解得 a=2v h 。=4v
从而得到 x=5即5小时水位才能降至安全线以下。
4、在比较寒冷的北方城镇，双层玻璃密封窗使用的十分普遍.这种窗户上的玻璃是双层的，两层玻璃中间有一定空隙，利用橡胶制品将中间的空气与外界隔离开制成.我们已经通过建立热传导模型证明了：这种窗户保暖效果比过去沿用多年的单层玻璃窗要好，试建立数学模型以描述双层玻璃密封窗对于高热的南方的防热功能。
（注：以上题目均要求使用五步建模法作出）
假设单层窗厚度为2d,双层窗厚度也为2 d ，但分为两个厚度为d 的部分如图，两层窗中有宽度为l
的不流动空气
如图。设双层玻璃的外侧温度为Ta 。外层玻璃内侧温度为Tb 。常数T1、T2。如假设2，并设玻璃的热传导系数k1(>0)，空气的热传导系数k ２(>0)，则有公式得双层玻璃与一层空气的热传导值为
Q=k1(T1-Ta)/d=k1(Tb- T2)/d=k2(Ta-Tb)/l
为与单层玻璃做比较，消去Ta 、Tb 得Ｑ＝k1(T1-T ２)/d （A+2） ① 而A=lk1/dk2 又单层窗的热传导值为Q 。=k1(T1-T2)/2d ② 故①、②即为用于比较分析所需的数学模型。
二
一、填空题：
1、一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是（该图为连通图且奇点个数为0或2 ）.
2、如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有
长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向 A 均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走（ 22 ）km..
3、设某种物资有两个产地21,A A ，其产量分别为10、20，两个销地21,B B 的销量相等均为15。如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为,a 则最优运输方案与运价具有优运输方案不惟一；总运费均相等 两个特点。
4、设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为
;)()0(,00rt
e x t x x x rx dt
dx =?== .
5、设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的逻辑斯蒂克模型为
.e
)1(
1)()0(),1(d d 0
0rt
m m
m
x x x t x x x x x rx t
x --+=
?=-
=
二、分析判断题：
1、从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。
答：1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益
2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等
3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天
的相关资料
4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型
2、一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种。
以下几种因素都在考虑范围之内：
（1）车流密度；（2）穿越速度；（3）两车道间是否有安全隔离带；（4）公路两侧的视野；（5）司机的反映时间长短；（6）单行还是双行道；（7）车间是否等距；（8）车流是否均匀；（9）穿越等待时间等等。
3、地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示。
解：撤离时人员的分布状态S 、人员总数N 、撤离速度v 、人们之间相对拥紧程度r 、人员所在地与安全地点的距离L 、人员撤离完毕所需要的总时间t 等。
4、作为经济模型的一部分，若产量的变化率与生产量和需求量之差成正比，且需求量中一部分是常数，另一部分与产量成正比，那麽相应的微分方程模型是甚麽？
解微分方程模型是：
()()dN t rN t dt
=，0)0(N N =
0(1),(0),
dN
N rN dt
K N N ?=-?
??=?
5、某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。
解： 根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者.
于是令n X 为从2000年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型：
10005.01+=+n n X X
得递推公式
).2
11(20002
10
n
n
n
X
X
-
+=
由,12000=X 可以算出2005年时的患者数19755=X 人. 显然这也是一阶线性常系数差分方程，且n x 的值会趋向某 一限定值L,可求出L=2000，说明无论多少年过去，患者人数只是趋向2000，但不会达到2000人。
6、某营养配餐问题的数学模型为
minZ=4x 1+3x 2
s .t .?????
?
?≥≥+≥+≥+0,)
3(,4256)2(,4085)1(,505102
1212121x x x x x x x x
其中21,x x 表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解T
x )6,2(*
=，试分析解决下述问题：
（1） 假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？
（2） 本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释。
解：（1）假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，则可行域不存在，故无解。
（2），若用直线（2），)11
10
,1150(
=x ，50/11〉10/11，则z 不可能取到最小，同理直线（2）与直线（3）也不可能取到最小。
7、一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),/(100/56ml mg 又过两个小时，含量降为),/(100/40ml mg 试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)/(ml mg .
解：设)(t C 为t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为
,/
kC C
-=
其通解是,e )0()(kt C t C -=而)0(C 就是所求量.
由题设可知,40)5(,56)3(==C C 故有 56e )0(3=-k
C 和 ,40e
)0(5=-k
C
由此解得
.94e
56)0(17.040/56e
32≈=?≈?=k
k
C k
可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.
8、某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？
表1 单位：元/件
上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。
答：可以转化为运输模型，具体做法如下：
首先确定总的产销量. 总产量显然为12000件；总需求量中，客户3的需求量在保证已承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件。因此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件
再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M（M是一个充分大的正数）.
综合上述讨论得产销平衡运价表如下：
表1
单位：元/件
三、计算题：
1、有一批货物要从厂家A 运往三个销售地B 、C 、D ，中间可经过9个转运站
.,,,,,,,,321321321G G G F F F E E E 从A 到321,,E E E 的运价依次为3、8、7；从1E 到21,F F 的运
价为4、3；从2E 到321,,F F F 的运价为2、8、4；从3E 到32,F F 的运价为7、6；从1F 到21,G G 的运价为10、12；从2F 到321,,G G G 的运价为13、5、7；从3F 到32,G G 的运价为6、8；从1G 到C B ,的运价为9、10；从2G 到D C B ,,的运价为5、10、15；从3G 到D C ,的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。
建立图模型如图1-1.
图1-1
利用双标号法计算结果如图1-2.
图1-2
再利用逆向搜索法便可得到运输路线有： B G F E A ????221， 16min =l ；
C G F E A ????221 或 ,321C G F E A ???? ;21min =l
,321D G F E A ???? 20min =l . 2、试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：
答： (1) 利用最小元素法可得初始方案如表1，
表1
（2）使用闭回路法可得负检验数为12λ=-1，故令12x 进基 （3）使用闭回路法进行调整知11x 出基，便得新的运输方案如表2 表2
（4）再进行检验知，所有检验数0≥ij λ，故得最优运销图如图1-3： 图1-3
最小费用为385（百元）。
3、设某小型工厂使用两种原料（代号为A ，B ）生产甲、乙两种产品，要求所生产产品的数量是正整数，按工艺，生产每件产品甲需要原料A ，B 依次为6、5个单位，生产每件产品乙需要原料A ，B 依次为2、9个单位，两种原料的供给量依次为17和44个单位，创造的产值均为1（万元），试建立其生产规划模型，并回答以下问题：
A
1
B 3
B 2
5 15
A 2
B 2
B 1
10 5
A 3
B 4
B 2
10 15
（1） 产值最大的生产方案是甚麽？最大产值是多少？方案是否有可选择余地？ （2） 原料的利用情况.
4、如图是某村镇9个自然屯（用91,...,v v 表示）间可架设有线电视线路的最短距离示意图，边旁数字为距离（单位：km ）.若每km 的架设费用是定数20元/m ，试协助有线电视网络公司设计一个既使得各村屯都能看到有线电视又使架设费用最低的路线，并求出最小架设费用
.
解：由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可.利用破圈法容易得树形图（图3）：
故得架设路线为:
总架线长度为27km ，故总架设费用为 5420100027=??（万元）
5、某公司自国外A 厂家进口一部分精密机器.由厂家到出口港有三个港口B 1、B 2、B 3供选择，运费依次为20，40和30；而进口港也有三个可供选择，代号为C 1，C 2和C 3，运费为：B 1到C 1、C 2、C 3依次为70、40、60，B 2到C 1、C 2、C 3依次为30、20、40，B 3到321,,C C C 依次为40、10、50；进口后可经由两个城市D 1、D 2运抵目的地E ，从C 1、C 2、C 3到D 1、D 2的运费为10和40，60和30，30和30；从D 1、D 2到E 的运费则为30和40. 试利用图模型协助策划一个运输路线，使总运费最低.
首先建立图模型如图
图3
v 1 v 2
v 3
v 4 v 6
v 5 v 8
v 7
v 9
4 3 2 4
3
4 2
5
其次，利用双标号法求最短路线过程如图
最后，利用逆向搜索法可得最优运输方案为
方案1 ,223E D C B A ????
方案2 ,113E D C B A ????
方案3 .112E D C B A ???? .110m i n =l
6、某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000元的损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？ 答：首先，建立决策树模型如图 -1800 -500 -60500
其次，使用期望值法计算过程见图
最优决策为：不必搬走机械，但要筑一个护堤，期望损失1335元。
7、某工厂计划用两种原材料B A ,生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）乙的需要两依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：
（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由.
（2） 原材料的利用情况.
解：易建立其线性规划模型如下：
21126max x x z +=
..t s ?????
??
??=≥≤≤≤+≤+)
2,1(012416482,122221
2121j x x x x x x x j （1） 利用图解法（见上图）易于得到获利最大的生产方案为X=（2，3，2，0，8，0），最大利润为4800元。
（2） 最优方案有选择余地，这是因为目标函数直线与可行域的边界线段重合，因此 尚有另一个最优方案为X=（4，2，0，0，0，4）。
（3） 按第一个最优方案，资源1和资源3分别有2、8个单位的未用量,这是
-1800 -500 -60500
-10000 -60000
因为松弛变量x 3=2, x 5=8;
按第二个最优方案，资源4有4个单位的未用量,这是因为松弛变量x 6=4.
8、两个水厂21,A A 将自来水供应三个小区,,,321B B B 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见表.试安排供水方案，使总供水费最小？
水厂0A ，其供水量为30吨，相应的运价均定为0，便得到一个产销平衡的运输问题如下表所示：
再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为：
,,,,270
21130
23150
1220
1B A B A B A B A ?→??→??→??→?小区1B 将有
30吨水的缺口.
总费用为 198070513071504206=?+?+?+?
四、综合应用题：
1、国际捕鲸协会在控制滥捕鲸群上获得成功后指出，此前有些鲸的种类已经濒临灭绝.目
前估计某种鲸的总数是10000头，而最多时有100000万头.它的增长符合单种群增长的逻辑斯蒂克微分方程模型，固有增长率为0.12，若时间计量单位是年，全年的总数以1000头为单位.试组建数学模型以回答下列问题：
（1）设)(t x 表示t 时刻该种鲸的数量，给出)(t x 的表达式；
（2）何时该种鲸的增长率是增加的，何时是下降的？预测鲸鱼群发展的趋势。 解：问题分析与类比假设
由题设可知，本问题属于单种群增长模型， 给出了固有增长率为0.12，因而可以直接通过与人口增长模型做类比而获得所求微分方程模型.注意到“目前估计该种鲸的总数是10000头，而最多时有100000头”以及“全年总数以1000头为单位”意味着该种群最大数量,100=m x 而将开始研究问题时间定为,0=t 则10)0(=x ： 模型建立
.10)0(),
100
1(12.0d d =-
=x x x t
x 模型求解与分析（问题回答）
（1） 容易求得其解为: t
t
t x 12.012.0e
91100e
)110
100(
1100)(--+=
-+=
………（*）；
（2） 由于
t
x d d 是增长率，因此只有当
0d d 2
2
>t
x 时，
其增长率才是增加的.由于当2
0m x x <<时为递增区间，将50=x 代入（*）式，即可求得,3.18≈t 即当3.18
（3）本问题是利用类比法建模从而解决实际问题的典型事例.
2、一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？
（注：以上题目均要求使用五步建模法作出）
解：（一）问题分析
1. 易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长趋势；
2. 160元的定价是否为最高价应给予确定； （二） 是否所有客房定价相同需要确定. 模型假设
1. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为160元；
2. 所有客房定价相同.
（三）模型建立
根据假设1.，如果设y 代表旅馆一天的总收入，而x 表示与160元相比降低的房价，则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到
)005.055.0)(160(150x x y +-= （1） 注意到,1005.055.0≤+x 又得到,900≤≤x 于是得到所求的数学模型为： max )005.055.0)(160(150x x y +-=，.900≤≤x （四）模型求解
这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到]90,0[25∈=x 为唯一驻点，问题又确实存在最大值，故25=x （元）即为价格降低幅度，也即160-25=135（元）应为最大收入所对应的房价.
（五）模型分析
1. 将房价定在135元时，相应的住房率为%,5.6725005.055.0=?+最大收入为
75.13668%5.67135150max =??=y （元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最
大，这自然是住房率与价格相互制约造成.
2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验，知我们的结果是正确的.
3. 为了便于管理，将价格定在140元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.
4. 假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设1.是正确的.