【大学物理上册课后答案】第6章 几何光学
第6章 几何光学习题解答
6-1 一束光在某种透明介质中的波长为nm 400，传播速度为s m /1000.28
?（1）试确定该介质对这一光束的折射率；（2）同一束光在空气中的波长为多少？
解：（1） 5.1==
v
c
n （2）nm 6000==λλn
6-2 物体S 处在两个互相垂直的平面镜的角平分线上，可以看到镜中有几个像？ 解： 如图所示，可以看到3 个像。
6-3 人眼E 垂直通过厚度为d 、折射率为n 的透明平板观察物体P ，求像'P 与P 之间的距离。
解：如图所示，物体P 发出的光线经平板的两个平面折射。 第一次折射成像于P 1
物距 AP p =1 像距 nAP p ='1 第二次折射成像于'P
物距 d nAP p +=2 像距 )(1
'2d nAP n
p += 'P 与P 之间的距离 d n
d nAP n d AP )1
1()(1)(-=+-+
习题6-3 解图
习题6-2 解图
6-4的容器底放一平面镜，人在水面上看自己的像，设人眼高出水面h 1=5cm ，镜在水面下深h 2=-8cm 。问人眼与像之距离为多少？ 解：人眼经三次成像，水的折射率3/4=n 。
第一次成像，水面折射 cm 511==h p ，像距为11'nh p =； 第二次成像，平面反射212'h p p +=，'22p p =； 第三次成像，又是水面折射223'h p p +=，n p p /'33=。
代入已知数据，得cm 17'3=p ，最后像在水面下方cm 17，与眼睛距离cm 22。
6-5 光导纤维是利用全反射传导光信号的装置。纤维内芯材料的折射率n 1=1.3，外层材料的折射率n 2=1.2。试求入射角i 在什么范围内的光线才可在纤维内传递。
解：用α表示光导纤维内芯和外层材料之间的临界角，则有
1
2
sin n n =
α 要把光线限制在光导纤维内传播，图示的β应满足 αβ>。如图，由几何关系可知 o
r 90=+β。根据折射定律
1sin sin n r
i
= 将已知代入，求得：o
i 30≤
6-6 凹面镜的曲率半径为150cm ，要想获得放大三倍的像，物体应放在什么位置？如果是凸面镜则又如何？
解：对凹面镜来说，两种情况下可以成放大三倍的像 （1）p p 3'=，由
150
2311=+p p ，得 cm 100=p ，实物成放大实像。 （2）p p 3'-=，由
150
2311=-+p p ，得 cm 50=p ，实物成放大虚像。
对凸面镜来说，两种情况下可以成放大三倍的像
1
2
习题6-5 解图
（1）p p 3'=，由
1502
311-
=+p p ，得 cm 100-=p ，虚物成放大虚像。 （2）p p 3'-=，由
150
2
311-
=-+p p ，得 cm 50-=p ，虚物成放大实像。
6-7 在水平放置的凹面镜中盛少许水（水的折射率34，深度不计），一物点P 置于凹面镜正上方，在与镜相距cm 54和cm 36处可分别得到实像。求凹面镜曲率半径及物点与镜的距离。
解：两个实像分别是经有水部分成的像和经没水部分成的像。由于凹面镜中只有少许水，可以认为本题属于近轴光成像问题。设凹面镜曲率半径为r ，凹面镜的焦距为2/r 。下面计算有水部分的焦距。
让平行光线沿主光轴入射凹面镜，光线经水面折射、凹面镜反向和第二次水面折射后，最后成像位置就是有水部分的焦点。第一次水面折射时 ∞=1p ，∞='1p ；凹面镜反
向时∞=2p ，由凹面镜成像公式，可求得 2/'2r p =；第二次水面折射时 2/3r p =，由平面折射公式，可得 8/3'3r p =。得出有水部分的焦距为8/3r 。
设物点与凹面镜的距离为p ，由题意可列出两个成像式子
r
p 383611=+ r p 2
5411=+
联立以上二式，求得 cm 108
=p ，cm 72=r 。
6-8有一放在空气中的玻璃棒，折射率 1.5=n ，中心轴线长cm 45=L ，一端是半径为
cm 101=R 的凸球面。要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主轴上无穷远处
物体成像于主轴上无穷远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？
解：要求主光轴上无穷远处物体发出的光线经玻璃棒的两个端面折射后成像于无穷远。
题6-7 解图
第一次成像 ∞=1p ，11=n ，5.1'2=n ，cm 101=R
代入球面折射公式，得cm 30'1=p
第二次成像 cm 152=p ，5.12=n ，1'2=n ，∞='2p
代入球面折射公式，得cm 52-=R
棒的另一端应磨成半径为cm 5的向外凸的球面。
6-9 一台幻灯机，镜头焦距是30cm ，用它放映时，像的最大放大倍数是100倍，镜头可移动的范围是5.7cm 。问此幻灯机最小放大倍数为多少？这时需要将镜头与屏幕间的距离如何改变？改变多少？要再算一遍计算结果
解：由放大率公式和透镜成像公式，得
f p p 1'1111=+， 100'
1
1max ==p p m ，代入数据得：cm 3.301=p ，cm 303
'1=p 由
f p p 1
'17.5121=++， 7.5'1
2min +=
p p m ，得：5min =m ，cm 180'2=p 这时镜头与屏幕间的距离最小，须将屏幕移近 cm 123''21=-p p
6-10 凸透镜焦距为cm 8，在它的前方cm 16处有一小线状物，在它的后方cm 10共轴放置一个焦距为cm 3的凹透镜，计算像的位置及放大率。
解：物体发出的光线经两次成像。
第一次成像 cm 161=p ，cm 81=f ，可求出cm 16'1=p ，-1=-=111/'p p m ，成等大倒立实像，像在凸透镜右方cm 16处，在凹透镜右方cm 6处，该像是凹透镜的虚物。
第二次成像 cm 62-=p ，cm 32-=f ，可求出cm 6'2-=p ，-1=-=222/'p p m ，成等大倒立虚像，像在凹透镜左方cm 6处。
总的放大率1==21m m m ，对整个系统来说，像与物等大正立。
6-11 在焦距为cm 15的凸透镜左方cm 30处放一物体，在透镜右侧放一垂直于主轴的平面镜，试求平面镜在什么位置，才能使物体通过此系统所成的像距离透镜cm 30？
解：物体要经该系统三次成像，如图设三个像分别为321,,P P P ，透镜与平面镜间距离为d 。
经透镜第一次成像，由cm 15=f ，cm 301=p ，得出：cm 30'1=p 第二次经平面镜成像 '12p d p -=，d p p p -=-=''122 第三次成像为透镜第二次成像 '2'123p d p d p -=-=，45
2)
15(30'--?=d d 3p
如果最终所成的像为实像，
cm 330'=p ，得cm 30=d ；如果最终所成的像为虚像，
cm 330'-=p ，得cm 20=d 。
6-11 某同学按下面的方法测定凹透镜的焦距：首先让凸透镜和凹透镜共轴放置，在凸透镜前面（在主轴上）放一小物，小物发出的先经凸透镜再经凹透镜成像，移动屏幕到凹透镜后面cm 20的1S 处，屏上有清晰像。现将凹透镜撤去，将屏幕往凸透镜移动cm 5至2S ，屏上重新有清晰像。求凹透镜的焦距。
解：实物发出的光经过凹透镜成虚像，测凹透镜的焦距要用虚物成实像。对本题的凹透镜来说，虚物在2S 处，cm 15-=p ，实像在1S ，
cm 20'=p 。由透镜成像公式，可求得：cm 60-=f 。
6-11 设有两薄凸透镜，其焦距都为cm 10，相距cm 15，用作图法和计算法找出该光学系统物像等大且同方向的物和像的位置。
1
S 2
S
习题6-12 解图
习题6-11 解图
解：由于光学系统的物像等大且同方向，所以该系统具有对称性。
作一条过第一个透镜光心的光线A ，该光线经第二个透镜折射，折射光线为A'。考虑到对称性，如果有一条与A'对称的光线B'入射该系统，其折射光线B 必与A 。如图所示，由光线A 与光线B'的延长线的交点画出虚物，由光线A'与光线B 的反向延长线的交点画出虚像。
由于系统的对称性，物体发出的光线经第一个透镜成像的像距一定为 cm 5.7'=p ，对第一个透镜列成像公式，可求出 cm 30-=p 。那么，对整个光学系统来说，虚物成虚像，物距cm 30-=p ，像距cm 30'-=p 。
6-14 人的眼睛是一个变焦距系统，有一个视力正常的人在看遥远的星球时像距为1.5cm ，那么此人眼睛焦距的变化范围是多少？
解：看遥远星球时，∞=1p ，此时cm 5.1'11==p f 。当人看cm 102=p 处的物体时，像距还是cm 5.1'2=p ，此时的cm 3.12=f 。所以此人眼睛焦距的变化范围是cm -cm 5.13.1。
6-15 一个放大镜，明视距离是30cm 的人使用时放大率是6，那么当正常人使用时放大率为多少？
解：由题意，对该远视眼人而言，cm 30'1-=p ，cm 51=p ，代透镜成像公式，得放大镜焦距cm 6=f 。对正常人而言，cm 25'2-=p ，可算出对应的物距cm 84.42=p ，放大率
习题6-13 解图
16.5/'222==p p m 。
6-16 一观剧望远镜物镜焦距为12cm ，目镜焦距为-4cm ，当观察7.2m 处的物体时，最后的像成于目镜前20cm 处，求两镜间距。
解：对物镜，m 2.71=p ，cm 121=f ，则cm 2.12'1=p 对目镜而言，cm 20'2-=p ，cm 42-=f ，则 cm 52-=p 物镜成的像是目镜的虚物，两镜间距为cm 2.7'21=-p p 。
6-17 已知显微镜物镜的焦距为mm 21=f ，目镜的焦距为mm 202=f , 光学筒长为
mm 153=?，最后像离目镜的距离为明视距离mm 250=d 。试求：（1）被观测物离物镜的
距离；（2）显微镜的视角放大率。
解：（1）对目镜mm 250'2-=p ，mm 202=f ，利用透镜成像公式，求得
mm 52.182=p
对物镜 156.5mm '2211=-?++=p f f p ，mm 21=f ，利用透镜成像公式，求得2.026mm
1=p 。被观测物离物镜的距离应为2.026mm 。 （2）显微镜的视角放大率M =物镜的横向放大率1m ×目镜的视角放大率2M 965'
'2
21121=?==f p p p M m M
6-18 装在门上的门镜是由一个凹透镜和一凸透镜组成的，其功能是人在室外看不清室内的情况，而在室内的人却能清楚地看见室外的情况。有一种门镜的凹透镜焦距为cm 0.1，凸透镜的焦距为cm 5.3，两透镜之间的距离为cm 1.2，我们以上述数据为例来分析门镜为什么具有这样的功能。
解：人能不能看清一个物体（或一个物体的像）取决于两个因素：一是物体（或像）是否在人眼的明视距离内；二是有没有足够的光能进入人眼。
室内
室外
通过门镜在室外看室内物体时，设室内物体到门的距离为cm 100。 对凸透镜来说 cm 1001=p ，cm 5.31=f ，可求得 cm 63.3'1=p ，成实像。
对凹透镜来说，实像是它的虚物，cm 53.12-=p ，cm 0.12-=f ，求得cm 89.2'2-=p 。 说明室内物体发出的光经过门镜后在门内侧成一虚像，像距相当小。人眼如果靠近门镜观察，人眼与虚像间的距离比明视距离小很多，无法看清。如果人退离门镜观察，则虚像能够进入眼睛的光线太少，同样无法看清。
通过门镜在室内看室外物体时，设室外物体到门的距离为cm 100。
对凹透镜来说 cm 1001=p ，cm 0.11-=f ，可求得 cm 99.0'1-=p ，成虚像。 对凸透镜来说，虚像是它的实物，cm 09.32=p ，cm 5.32=f ，求得cm 4.26'2-=p 。 说明室外物体发出的光经过门镜后在门外侧成一虚像，像距略大于明视距离。如果人眼贴在门镜上看，可以看清门外物体。