九年级上册期末数学试卷第一学期期末测试卷

B

A

初三数学第一学期期末测试卷附参考答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题．．．．．．．．意

．的． 1.

下列图形中，是中心对称图形的是

A ．

B ．

C ．

D ．

2．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为 A.

15 B. 25 C. 35 D. 4

5

3. 抛物线2(2)3y x =-+的顶点坐标是

A ．（2，3）

B ．（-2，3）

C ．（2，-3）

D ．（-2，-3）

4. 如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ， 则EF ：FC 等于

A ．1：1

B ．1：2

C ．1：3

D ．2：3

5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，OC =5，CD =8， 则OE 的长为

A ．1

B ．2

C ．3

D ． 4

6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°

，若AB BC ＝2，则sin B 的值为

A

B C ．1

2

D ．2

7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示， 则下列结论中错误．．的是 A ．函数有最小值 B ．当－1 < x < 2时，0y > C ．0a b c ++<

A B

C

D

E F

B 2

2

D ．当1

2

x <

，y 随x 的增大而减小 8．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是边BC ，AD 的中点， AB =3，BC =4，一动点P 从点B 出发，沿着B ﹣A ﹣D ﹣C 在矩形的边上运动，运动到 点C 停止，点M 为图1中某一定点，设点P 运动的路程为x ，△BPM 的面积为y ，表 示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示．则点M 的位置可能是图1中的

A ．点C

B ．点F

C ．点

D D ．点O

二、填空题 （本题共16分，每小题4分）

9．如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积是________ cm 2． 10. 请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式__________． 11. 已知关于x 的一元二次方程2

410x x m -+-=无实数根，那么m 的取值范围是____． 12. 如图，AD 是⊙O 的直径．

(1)如图1，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；

(2)如图2，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，则∠B 3的度数是 ；

(3)如图3，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，则∠B n

的度数是 （用含n 的代数式表示∠B n 的度数）．

图2

图1

60°A B 30°

C D

图1 图2 图3 三、解答题（本题共35分，每小题5

分） 13. 021

(2015)()2

π-?+++ 14. 解方程：2450x x --=

15. 已知：二次函数的图象过点A （2，-3），且顶点坐标为C （1，-4）． （1）求此二次函数的表达式；

（2）画出此函数图象，并根据函数图象写出：当12x -<<时，y 的取值范围. 16. 如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于点E ，AB =8，AE =6，ED =4，求CD 的长．

17．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进30海

里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，求海岛C 到航线AB 的距离 CD 的长（结果保留根号）．

18. 已知：AD

是△ABC 的高，AD =

AB =4，tan ACD ∠=BC 的长.

19. 某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间 满足关系：y = ax 2

+ bx ﹣75．其图象如图．

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？

最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润

不低于16元？

四、解答题（本题共15分，每小题5分）

20. 有六张完全相同的卡片，分A ，B 两组，每组三张，在A 组的卡片上分别画上☆○☆，

B 组的卡片上分别画上☆○○，如图1所示.

（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，

求两张卡片上标记都是☆的概率（请用画树形图法或列表法求解）

（第19题）

（第16题）

（第17题）

A E C F

B A

B

C

A

B

（2）若把A ，B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标记

如图2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子，看 到的卡片正面标记是☆后，猜想它的反面也是☆，求猜对的概率是多少？

21. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ， 交AB 于点G ，且D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，

交AC 的延长线于点F .

（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）CF =5，cos ∠A = 2

5，求BE 的长

22. 探究发现:

如图1，△ABC 是等边三角形，点E 在直线BC 上，∠AEF =60°，EF 交等边三角形外角平分线CF 于点F ，当点E 是BC 的中点时，有AE =EF 成立；

数学思考: 某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：

当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），结论AE =EF 仍然成立．请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 延长线”；“点E 在线段BC 反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE =EF ．

拓展应用:当点E 在线段BC 的延长线上时，若CE=BC ，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S △ABC ：S △AEF 的值．

○

☆

B 组

A 组

☆

☆

○

○ 图1

○

○ ○

☆

反面

正面

☆

☆

图2

图1 图2

C

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第25题6分） 23. 已知关于x 的一元二次方程21

202

k x x -++=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数21

22

k y x x -=++的图象 向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；

（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），

直线(0)y kx b k =+>过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ，直线BC 上方的抛物线与线段BC 组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k 的取值范围.

24. 已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，在∠BAC 所对弧AC 上，任取一点D ，

连接AD ，BD ，CD ，

（1）如图1，BAC α∠=，直接写出∠ADB 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，如果∠BAC =60°，求证：BD+CD=AD ；

（3）如图3，如果∠BAC =120°，那么BD+CD 与AD 之间的数量关系是什么？写出猜测

并加以证明；

（4）如果BAC α∠=，直接写出BD+CD 与AD 之间的数量关系.

25. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 1: 224y mx mx =-++（0≠m ）与抛物线

C 2:22y x x =-，

（1）抛物线C 1与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．求点A ，B 的坐标； （2）若抛物线C 1在21x -<<-这一段位于C 2下方，并且抛物线C 1在13x <<这一段

位于C 2上方，求抛物线C 1的解析式.

图3

图1

图2

图

3

A

----------------5分 ------------------4分 ----------------------2分 ----------------------1分 ------------------4分 ------------------5分

------------------4分 ------------------5分

------------------5分 ------------------4分

---------------3分

延庆县2014—2015学年第一学期期末测试答案

初 三 数 学

一、选择题（共32分，每小题4分）

二、填空题（共16分，每题

4分）

三、解答题（本题共35分，每小题5分）

13. 021

45(2015)()2

π-?+++

= 4142

?

++ =5

14．解方程：2450x x --= 解1: (5)(1)0x x -+=

∴125,1x x ==-

解2: 2450x x --= 2449x x

-+= 2(2)9x -= 23x ∴-=±

∴125,1x x ==-

解3: 2450x x --= ∵a =1,b =-4,c =-5

∴46

22

b x a -±== ∴125,1x x ==-

15.(1) 设二次函数的表达式为2()y a x h k =-+

∵此函数图象顶点C （1，﹣4） ∴2(1)4y a x =-- 过点A （2，-3），

∴a =1

-------4分

-----------2分 ---------3分

-----------5分

E

2D 60°

A B

30°

C

D

1

---------2分

---------3分 -------5分 ∴二次函数的解析式: 223y x x =--

（2）

二次函数的解析式: 223y x x =--

当x = -1时，y =0

当x =1时，y 有最小值，为y =-4 ∵x =1在12x -<<内

∴当12x -<<时，y 的取值范围-4 ≤ y ＜0

16. 解：∵∠B =∠C ，∠A =∠D

∴△ABE ∽△CDE

∴AB AE

CD DE

= ∵AB =8，AE =6，ED =4，

∴

864

CD = ∴163

CD =

17. 解：

∵DA ⊥AD ，∠DAC =60°，

∴∠1=30°.

∵EB ⊥AD ，∠EBC =30°，

∴∠2=60°. ∴∠ACB =30°.

∴BC = AB=30.

在Rt △ACD 中，∵∠CDB =90°，∠2=60°，

∴tan 2CD

BC

∠=

---------1分 ---------2分

---------3分 --------4分 ---------5分

---------2分

---------4分 ---------5分

---------5分

---------4分 D C B A

D

C

B A

---------3分

---------1分

∴tan 6030CD ?=

=

∴CD =

18. 分两种情况： （1）如图1

在Rt △ABD 中，∠CDB =90°

，AD =AB =4，

由勾股定理可得：3BD ===. 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°

，AD =

∵tan ACD ∠=

，AD =

∴tan AD

ACD CD

∠=

∴CD =1. ∴BC =4.

（2）如图2

同理可求：BD =3，CD =1 ∴BC =2.

综上所述：BC 的长为4或2.

图1 图2

19. 解：（1）y=ax 2+bx ﹣75图象过点（5，0）、（7，16），

∴，

解得

，

y=﹣x 2+20x ﹣75的顶点坐标是（10，25） 当x =10时，y 最大=25，

答：销售单价为10元时，该种商品每天销售利润最大，最大利润为25元；

（2）∵函数y=﹣x 2+20x ﹣75图象的对称轴为直线x=10，

可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）， 又∵函数y=﹣x 2+20x ﹣75图象开口向下，

∴当7≤x ≤13时，y ≥16．

○○☆☆○○○○○☆☆☆---------5分

---------4分 ---------2分

---------1分

---------3分 答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该商品每天销售利润不低于

16元．

20. （1）方法1：由题意：

从树状图中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 2()9

P =两张都是☆.

方法1：由题意可列表如下：

从表中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两

张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 2()9

P =

两张都是☆. （2）12

21.证明：（1）连接CD

∵AO=CO ，CD=BD

∴OD //AB

∴∠ODE =∠DEB

∵DE ⊥AB ∴∠DEB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD ⊥BC

∴直线EF 是⊙O 的切线

（2）设⊙O 的半径为x ，则OC=OA=OD ，

∵OD //AB

∴∠ODC =∠B ，∠FOD =∠A ∵OC

=OD

∴∠ODC =∠OCD ∴∠B =∠OCD

∴AC=BC=2x 在Rt △ODF 中，∠ODF =90°，

∴2

cos cos 5

OD FOD A OF ∠=∠=

= B

---------4分 ---------5分

---------2分

---------1分

∴

255x x =+ ∴103

x =

在Rt △AEF 中，∠FEA =90°，

∴2

cos 5

AE A AF ∠=

= ∴2355

3AE

=

∴143AE = ∴BE =2

22. 数学思考:

证明：如图一，在AB 上截取AG ，使AG=EC ，连接EG ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∠B =∠ACB =60°． ∵AG=EC ， ∴BG=BE ，

∴△BEG 是等边三角形，∠BGE =60°， ∴∠AGE =120°． ∵FC 是外角的平分线， ∴∠ECF =120°=∠AGE ．

∵∠AEC 是△ABE 的外角，X|k |B | 1 . c|O |m ∴∠AEC =∠B +∠GAE =60°+∠GAE ． ∵∠AEC =∠AEF +∠FEC =60°+∠FEC ， ∴∠GAE =∠FEC ． 在△AGE 和△ECF 中

，

∴△AGE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE =EF ； 拓展应用：如图二：

∵△ABC 是等边三角形，BC=CE ∴CE=BC=AC ， ∴∠CAH =30°， 作CH ⊥AE 于H 点， ∴∠AHC =90°．

---------5分

---------4分

---------3分

°C A

B

-3

-1-2

-4-3-1

-22

O

-4

3

11

-5y

-6-7-8-9

∴CH =AC ，AH =AC ，

∵AC=CE ，CH ⊥AE ∴AE=2AH =AC ．

∴

．

由数学思考得AE=EF ， 又∵∠AEF =60°， ∴△AEF 是等边三角形， ∴△ABC ∽△AEF ． ∴

=

=．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第25题6分） 23.

（1）∵关于x 的一元二次方程21

202

k x x -++

=有实数根 ∴21

44402

k b ac -?=-=-?

≥ ∴12k -≤

∴3k ≤…………………………………………………1分 ∵k 为正整数

∴k 的值是1,2,3 ……………………………………2分 （2）方程有两个非零的整数根

当1k =时，220x x +=，不合题意，舍

当2k =时，21202

x x ++=，不合题意，舍

当3k =时，2210x x ++=，121x x ==-

∴3k = ……………………………3分

∴221y x x =++ ∴平移后的图象的表达式228y x x =+- （3）令y =0，2280x x +-= ∴124,2x x =-=

∵与x 轴交于点A ，B （点A 在点B ∴A （-4,0），B （2,0）

∵直线l ：y kx b =+(0)k >经过点B ， ∴函数新图象如图所示，当点C 在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于5-．

令5y =-，即2285x x +-=-．

(1)902ADB α∠=?-

解得 13x =-，21x =（不合题意，舍去）． ∴抛物线经过点(3,5)--． ……………5分

当直线y kx b =+(0)k >经过点（-3，-5），（2,0）时，可求得1k =

…………6分

由图象可知，当01k <<时新函数的最小值大于5-． ………………………7分

（也可以用三角形相似求出-5以及k 的值） 24. ………………1分

（2）延长BD 到E ，使得DE=DC ∵∠BAC =60°，AB =AC ∴△ABC 是等边三角形 ………………2分 ∴BC=AC ，∠BAC =∠ACB=60°

∵四边形ABCD 内接于圆 ∴∠BAC +∠BDC=180° ∵∠BDC +∠EDC=180° ∴∠BAC=∠EDC=60° ∵DC=DE

∴△DCE 是等边三角形 ………………3分 ∴∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE ∴△ACD ≌△BCE ∴BE=AD ∵BE=BD+DE

∴AD=BD+CD ………………4分 （3）延长DB 到E ，使得BE=DC ，连接AE ， 过点A 作AF ⊥BD 于点F ，

∵AB =AC ∴∠1=∠2 ………………5分

∵四边形ABCD 内接于圆 ∴∠DBA +∠ACD=180° ∵∠EBA +∠DBA =180° ∴∠EBA=∠DCA ∵BE=CD ，AB=AC

∴△EBA ≌△DCA ∴∠E=∠1

∴AE=AD ………………6分

在Rt △ADF 中，∠AFD =90°， ∴cos 1DF

AD

∠=

………………………………7分 ∵∠1=90°-2

α=30

°, ∴cos30DF AD AD =?=

∴2DE DF =

∵ BE=BD+CD

∴BD CD += …………………………………………8分

(4) 2cos(90)2

DF AD α

=?- ……………………………………………9分

25.

（1）根据:224y mx mx =-++ 2122b m x a m

=-

=-=- 可得点A (0,4)，B (1,0) ……………………………2分

(2)根据对称, 抛物线C 1在21x -<<-这一段位于C 2下方,相当于抛物线C 1在34x <<这 一段位于C 2下方 ……………………………3分 ∵抛物线C 1在13x <<这一段位于C 2上方，

∴两条抛物线的交点横坐标:x =3……………………………4分 ∴把x =3代入22y x x =-

∴y=3

∴抛物线C 1：224y mx mx =-++经过点（3,3）……………………………5分

∴13

m =-

∴抛物线C 1的解析式: 212433

y x x =-+……………………………6分