材料力学基本概念和公式定理
第一章 绪论
第一节 材料力学的任务
1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。
2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。
3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。
第二节 材料力学的基本假设
1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。
2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同
3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。木材是各向异性材料。
第三节 内力
1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。
2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。
4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩T ；弯矩M
第四节 应力
1、一点的应力： 一点处内力的集（中程）度。
全应力0lim
A F
p A
?→?=?；正应力σ；切应力τ；p =2、应力单位：Pa （1Pa=1N/m 2，1MPa=1×106 Pa ，1GPa=1×109 Pa ）
第五节 变形与应变
1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。
2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。
3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。
4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。对构件进行受力分析时可忽略其变形。
5、线应变：l
l ?=ε。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
6
、切应变：tan γγ≈。切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。
第六节 杆件变形的基本形式
1、材料力学的研究对象：等截面直杆。
2、杆件变形的基本形式：拉伸（压缩）、扭转、弯曲
第二章 拉伸、压缩与剪切
第一节 轴向拉伸（压缩）的特点
1、受力特点：外力合力的作用线与杆件轴线重合。
2、变形特点：沿杆件的轴线伸长和缩短。
第二节 拉压杆的内力和应力
1、内力：拉压时杆横截面上的为轴力 。
2、轴力正负号规定：拉为正、压为负。
3、轴力图三个要求：上下对齐，标出大小，标出正负。
4、横截面上应力：应力在横截面上均匀分布
第三节 材料拉伸和压缩时的力学性能 1、低碳钢拉伸时的应力–应变曲线：（见图）
2、低碳钢拉伸时经过的四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，局部变形阶段。
3、胡克定律：应力小于比例极限p σ时，应力与应变成正比，材料服从胡克定律：E σε=，E 为（杨氏）弹性模量，是材料常数，单位与应力相同。钢的弹性模量E =210GPa 。
4、低碳钢拉伸时四个强度指标：弹性极限e σ；比例极限p σ；屈服极限s σ；强度极限b σ。
5、低碳钢拉伸时两个塑性指标：伸长率：0100%l l δ?=
?；断面收缩率1
100%A A A ψ-=?
N F A F
N =σ
低碳钢拉伸应力-应变曲线
6、材料分类：δ＜5％为脆性材料，δ≥ 5％为塑性材料。
7、卸载定律和冷作硬化：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高，但塑性变形和延伸率有所降低。
8、名义屈服极限
0.2
σ：对于没有明显屈服阶段的材料，工程上常以卸载后产生残余应
变为0.2%的应力作为屈服强度，称为名义屈服极限
0.2
σ
9、材料压缩时的力学性能：塑性材料的拉压性能相同。脆性材料在压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限，脆性材料抗拉性能差，抗压性能好。（如图）
第四节失效、许用应力与强度条件
1、失效：塑性材料制成的构件出现塑性变形，脆性材料制成的构件出现断裂。
2、许用应力：, 称为许用应力，构件工作时允许的最大应力值，其中n 为安全因数，为极限应力
3、极限应力：构件失效时的应力，塑性材料取屈服极限s
σ（或
0.2
σ）；脆性材料取强度极限b
σ（或
bc
σ）。
4、拉压时强度条件：
5、强度计算：根据强度条件，可进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等强度计算。在工程中，如果工作应力σ略大于[σ]，其超出部分小于[σ]的5%，一般还是允许的。
第五节杆件轴向拉压时的变形
1、轴向变形：，EA为拉压刚度。公式只适用于应力小于比例极限（线弹性范围）。
2、横向变形：，μ称为泊松比，材料常数，对于各向同性材料，00.5
μ
≤≤。
低碳钢铸铁
n
u
σ
σ=
]
[
ε
μ
ε
'
=-
EA
l
F
Δl N
=
u
σ
]
[σ
u
σ
]
[
Nσ
σ≤
=
A
F
3、计算变形的叠加原理：
分段叠加：①分段求轴力②分段求变形③求代数和 。
分载荷叠加：几组载荷同时作用的总效果，等于各组载荷单独作用产生效果的总和。 4、叠加原理适用范围：①材料线弹性（应力与应变成线性关系）②小变形。 5、用切线代替圆弧求节点位移。
第五节 杆件轴向拉压时的应变能
1、应变能：构件在外载荷作用下发生变形，载荷在相应位移上作了功，因变形而储存的能量称为应变能。忽略动能、热能等能量的变化，在数量上等于外力作功。
2、轴向拉压杆应变能： 此公式只适用于线弹性范围。
3、应变能密度：单位体积应变能。
4、轴向拉压杆应变能密度：
第六节 拉伸、压缩超静定问题
1、静定与超静定的概念：由静力学平衡方程即可求出全部未知力的问题称为静定问题。只凭静力学平衡方程不能求出全部未知力的问题称为超静定问题。
2、超静定次数：超静定次数 = 未知力数 — 独立平衡方程数。
3、超静定问题的解法：通过变形协调方程（几何方程）和物理方程来建立补充方程。
4、变形协调方程：也称为变形几何相容方程。结构受力变形后，结构各部分变形必须满足相互协调的关系。可以通过结构的变形图来建立结构各部分变形之间的关系。
5、结构变形图的画法：①若能直接判断出真实变形趋势，则按真实变形趋势画变形图；②若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形图即可；③对于不能判断出真实变形趋势的情况，应设杆子受拉，即内力为正（设正法），若计算结果为负，则说明真实方向与所设方向相反；④杆子受力与变形要一致，设杆子受拉则应该伸长，设杆子受压则应该缩短；⑤刚性杆不发生变形。
6、超静定结构内力特征：在超静定结构中各杆的内力与各杆刚度的比值有关。刚度越大内力越大。
7、温度应力和装配应力：超静定结构在温度变化时构件内部产生的应力称为温度应力。由于加工误差使实际杆长与设计尺寸不同，超静定结构组装后还没有受外力时已经存在的应
2
v εσε
=∑=i
i i
i A E l
F Δl N EA
l F EA l F l F W V 22212N 2=
=??==ε
力称为装配应力。温度应力和装配应力问题的解法：与超静定问题解法相同，在建立变形协调方程和物理方程时要考虑温度和加工误差的影响。
第七节 应力集中的概念
1、应力集中：因杆件外形突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
2、理论应力集中因数：
其中：max σ为应力集中截面上最大应力，σ为同截面上平均应力。
3、圣维南原理：用与原力系等效的力系来代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。（杆端作用力的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸。）
第八节 剪切和挤压的实用计算
1、剪切的实用计算：
2、挤压的实用计算： ， 称为计算挤压面，受压面为圆柱面时，取圆柱面的投影面积计算， 。
第三章 扭 转
第一节 圆轴扭转时横截面上的内力和应力 1、扭转时的内力：扭矩T ，
2、扭矩的正负规定：以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。
3、切应力互等定理：在两个相互垂直的面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。
4、剪切胡克定律：
其中：G 为剪切弹性模量，材料常数。 5、材料常数间的关系：
σ
σmax
=K bs A
td A =bs A
F
S =τbs
bs A F =σG τγ=)
1(2μ+=
E
G
6、圆轴扭转时横截面上的应力：
其中： 为极惯性矩， ， 是距轴线的径向距离。 7、圆轴扭转时横截面上切应力分布规律：横截面上任意一点切应力大小与该点到圆心的距离成正比（按线性规律分布），最大切应力发生在圆截面边缘上。
8、最大扭转切应力：最大切应力发生在圆截面边缘上。
其中： 称为抗扭截面系数。
9、圆和空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数：
第二节 圆轴扭转时强度条件 1、圆轴扭转的强度条件：
2、许用切应力：
称为极限切应力，塑性材料取剪切屈服极限，脆性材料取强度极限。 3、许用切应力与许用正应力间关系： 塑性材料：
脆性材料：
第三节 圆轴扭转变形与刚度条件 1、圆轴扭转变形：扭转角φ
t
max W T =τR
I
W p
t =
32
4p d I π=
16
3
t d W π=
)
1(32
44
p απ-=D I )
1(16
43t απ-=D W ]
[t
max
max ττ≤=W T u τ])[6.0~5.0(][στ=]
[][στ=n
u
ττ=][p
I T ρτρ=
p I A I
A
d 2p
?=ρρ
其中： 称为圆轴的抗扭刚度。
2、单位长度扭转角φ′：
3、刚度条件：
其中： 称为许用单位长度扭转角
以上所有公式适用范围：①因推导公式时用到了剪切胡克定律，故材料必须在比例极限范围内；②只能用于圆截面轴，因为别的形状刚性平面假设不成立。
第四章 弯曲内力
第一节 弯曲的概念
1、平面弯曲的概念：梁的横截面至少有一根对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆件发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线，此为平面弯曲（对称弯曲）。
2、梁的三种基本形式：简支梁、外伸梁和悬臂梁。
第二节 弯曲内力
1、弯曲内力：杆件弯曲时有两个内力，剪力F S ，弯矩M 。
2、弯曲内力的正负规定：
剪力F S ：左上右下为正;反之为负。
弯矩M ：左顺右逆为正；使梁变成上凹下凸（可以装水）的为正弯矩。 3、指定截面上弯曲内力的求法：
剪力=截面左侧所有外力在y 轴上投影代数之和，向上为正。
P
GI T
l ==
'?
?]
[180P ?π
?'≤?='GI T ][?'P
GI Tl
=?P GI
弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。 也可以取截面右侧，正负号相反。
第三节 剪力图和弯矩图特征
1、在集中力作用的地方，剪力图有突变，外力F 向下，剪力图向下变，变化值=F 值；弯矩图有折角。
2、在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突变，M e 顺时针转，弯矩图向上变（朝增加方向），变化值=M e 值。
3、在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物线开口向下。抛物线的极值在剪力为零的截面上。
4、载荷集度、剪力和弯矩间的关系：
5、刚架的内力图规定：剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。弯矩图通常（机械类）正值画在刚架的外侧，负值画在刚架的内侧，不注明正负号。
附录I 平面图形的几何性质
)(d )
(d 2
2x q x x M =)(d )
(d S x F x
x M =)(d )
(d S x q x
x F =
1、静矩： 或
2、形心： 或
3、组合截面的静矩与形心：
4、图形有对称轴时，形心在对称轴上。
5、惯性矩：
6、矩形： 圆： 空心圆：
7、平行移轴定理： 8、组合截面的惯性矩：
9、形心主惯性轴和形心主惯性矩：使惯性积为零的坐标轴称为主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性轴过形心时，称其为形心主惯性轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。
10、惯性半径：
称为图形对z 轴的惯性半径。
第五章 弯曲应力
第一节 弯曲正应力
1、中性层和中性轴的概念：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维称中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴通过截面形心。
2、横截面上弯曲正应力：横截面上弯曲正应力沿截面高度直线变化，与该点到中性轴的距离成正比，中性轴上为零。正应力公式：
3、最大正应力：最大正应力发生在离中性轴最远的梁上缘（或下缘）。
或 z A
S ydA =?A
A
y y A ?=
d y
A S z ?=A
S y z
=
∑=i
i z y A S A
y A y i
i ∑=
轴过形心。z S z ?= 02z A
I y dA
=?123hb I z =644d I z π=)1(64
44απ-=D I z A a I I C z z 2+=∑=i
z z I I z
My
I σ=
max z M W σ=max max max
/z z My M I I y σ==A
i I z z ?=2z i
式中： 称为抗弯截面系数
4、矩形： 圆： 空心圆：
5、梁的弯曲正应力强度条件：
第二节 弯曲切应力 1、矩形截面梁弯曲切应力：
矩形截面梁弯曲切应力沿截面高度按抛物线分布，最大切应力在中性轴上，是平均值的1.5倍。
2、工字形截面梁的弯曲切应力：在腹板上切应力也是沿截面高度按抛物线分布，中性轴上最大，计算公式：
3、梁的弯曲切应力强度条件：
第三节 提高弯曲强度的措施 1、合理安排梁的受力情况。
2、合理选取截面形状。对于抗拉、压能力不同的材料(如铸铁、混凝土等脆性材料)，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，充分利用材料抗拉能力差、抗压能力好的特性。
3、等强度梁。
第六章 弯曲变形
第一节 挠曲线近似微分方程
1、挠度和转角：梁的横截面形心沿竖直方向的位移w 称为挠度。变形后的轴线称为挠
max
y I W z
z =62
hb W z =323d W z π=)1(32
43απ-=D W z ]
[ max σσ≤b
I S F z z *
S
=τA
F S
max 1.5
=τb
I S F z z *S
=τ]
[*
max
max max ττ≤=b
I S F z z S
曲线。梁横截面对其原来位置转过的角度θ称为转角。在工程问题中，梁的转角一般很小，挠曲线是一条非常平坦的曲线，所以：
2、挠曲线近似微分方程：
其中：EI 称为梁的抗弯刚度。公式的使用条件：小变形和材料线弹性。
第二节 积分法求梁的弯曲变形 1、求梁变形的积分公式：
其中：C 、D 为积分常数，可根据位移边界条件和连续光滑条件确定。
2、积分法解题步骤：①建立坐标，x 轴原点在梁最左边，取向右为正；②列弯矩方程；③建立挠曲线近似微分方程；④积两次分；⑤写出位移边界条件和连续光滑条件；⑥确定积分常数；⑦得挠曲线方程和转角方程。
3、位移边界与连续光滑条件：①固定铰支和可动铰支处，挠度为零； ②固定端处，挠度和转角均为零； ③连续光滑条件：即分段处挠曲轴应该满足连续和光滑，即w
左=
w 右，
θ左=θ右。
第三节 叠加法求梁的弯曲变形
1、叠加原理:多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。叠加法的适用范围：应力不超过比例极限；小变形。
2、叠加法解题步骤：①分解载荷，画出每个载荷单独作用下的结构受力图；②画出结构变形后挠曲线大致形状；③求出每个载荷单独作用下结构的位移；④将所有位移代数相加。
第四节 简单超静定梁
1、比较变形法解简单超静定梁：解除多余约束，代之以多余约束力；分析相当系统和原系统的变形，建立变形协调方程。
2、解题步骤：①判断超静定次数；②解除多余约束，建立相当系统；③列变形协调方
x
w
d d ≈θEI
x M w )(=
''M
w EI =''C x M w EI +='?d D
Cx x x M EIw ++=??d )d (
程；④求变形；⑤求多余约束力。
第五节 梁的刚度条件 1、刚度条件：
第七章 应力状态分析和强度理论
第一节 应力状态的概念
1、应力状态：构件内一点的受力状态，称为该点处的应力状态。
2、应力状态的表达方式：(a)应力单元体；(b)应力分量（9个分量）。
3、主平面与主应力：切应力为零的面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。一
般情况下，一点有三个互相垂直主平面，对应三个主应力，按代数排列， 4、应力状态分类：对应主应力不为零的个数，分别有单向应力状态，二向应力状态和三向应力状态。
第二节 平面应力状态分析 1、斜截面上正应力公式： 其中，正应力以拉为正，切应力以使单元体顺时针转为正， α以x 轴为开始位置，逆
时针转为正。
2、最大正应力和最小正应力：
3、最大正应力和最小正应力所在的方位：
4、主应力：最大和最小正应力就是主应力，另一个主应力为零。
max min 2x y σσσσ+?=±??cos2sin22
2
x y
x y
x ασσσσσατα
+-=
+
-][max w w ≤]
[max θθ≤123
σσσ≥≥y
x xy
σστα--
=22tan 0
5、应力圆：应力单元体与应力圆的对应关系：点面对应，转向相同，转角两倍。
6、纯剪切应力状态分析：
主平面在45°方向。
第三节 三向应力状态
1、三向应力圆：三组特殊的平面应力对应于三个应力圆，可以由σ1、σ
2、σ3两两画圆得到。任意斜截面的应力值位于阴影区内。
2、最大正应力和最大切应力：
第四节 广义胡克定律
1、广义胡克定律：复杂应力状态下应力与应变的关系。
2、主应变
第五节 复杂应力状态下的应变能
1、畸变能密度：体积不变、形状改变而储存的应变能密度。
第六节 强度理论
1、强度理论的概念：强度理论是关于“构件发生强度失效起因”的假说，利用简单应力状态实验结果，建立复杂应力状态强度条件。
2、两类破坏形式：脆性断裂和塑性屈服，因此有两类强度理论，断裂强度理论和屈服强度理论。
1
max σσ=2
3
1max σστ-=
)]([1z y x x E
σσμσε+-=)]
([13211σσμσε+-=E
G xy
x τγ=
y ]
)()()([61213232221σσσσσσμ-+-+-+=E
v d )]
([1x z y y E
σσμσε+-=)]
([1y x z z E
σσμσε+-=G
yz
yz τγ=
G
zx
zx τγ=
)]
([12133σσμσε+-=E
)]
([11322σσμσε+-=E
，，，τσστσ-===1110
3、四种常用强度理论：
最大拉应力理论（第一强度理论） 最大伸长线应变理论（第二强度理论） 最大切应力理论（第三强度理论） 畸变能密度理论（第四强度理论） 4、强度理论的适用条件：
第一、二强度理论适用于脆性材料的脆性断裂，第三、四强度理论适用于塑性材料的塑性屈服。
5、相当应力：
6、复杂应力状态下的强度条件：
7、典型二向应力状态的相当应力：
第八章 组合变形
第一节 拉伸（压缩）与弯曲的组合 1、拉伸（压缩）与弯曲组合时强度条件：
第二节 偏心压缩与截面核心
1
1r σσ=)
(3212r σσμσσ+-=3
13r σσσ-=]
)()()[(2
12132322214r σσσσσσσ-+-+-=]
[r σσ≤2
23r 4τσσ+=2
24r 3τ
σσ+=]
[max
N max σσ≤+=W
M A
F
1、偏心压缩：偏心压缩可以通过作用力平移后成为压缩与弯曲的组合。
2、截面核心：当压力作用在环绕截面形心的一个封闭区域内时，截面上只有压应力，这个封闭区域称为截面核心。
第三节 弯扭组合 1、弯扭组合时强度条件：
第三强度理论：
第四强度理论：
其中W 为抗弯截面系数。上式的分子称为相当弯矩。
2、合成弯矩：对于圆轴，可以将两个平面内的弯矩按矢量合成得到合成弯矩M 。
第九章 压杆稳定
第一节 细长压杆的临界压力
1、稳定性：构件保持原有平衡状态的能力。
2、临界载荷：由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值，称为临界压力。
3、失稳：压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称失稳。
4、细长压杆临界压力的欧拉公式：
其中：μl 为相当长度，μ为长度因数。
5、压杆的长度因数μ：
两端铰支μ =1；一端自由一端固定μ =2；一端固定一端铰支μ =0.7；两端固定μ =0.5
第二节 欧拉公式的适用范围 经验公式
][22σ≤+W
T M ]
[75.022σ≤+W
T M 2
2z
y M M M +=2
2cr )(l EI F μπ=
1
、细长压杆的临界应力（欧拉公式）：
2、柔度（长细比）： 柔度λ集中地反映了压杆的长度、约束条件、横截面尺寸和形状等因素对临界应力的
影响。
3、临界应力总图
4、欧拉公式的适用范围：当压杆的柔度 λ>λ1时，称为细长杆（大柔度杆），使用欧拉公式。
5、经验公式：当压杆的柔度 λ2>λ>λ1时，称为中柔度杆，使用经验公式
6、小柔度杆（粗短杆）：当压杆的柔度 λ<λ2时，称为小柔度杆（粗短杆），按强度计算
其临界应力。塑性材料
第三节 压杆的稳定校核 1、压杆的工作安全因数n ：
2、压杆的稳定性条件：
22
cr λ
πσE =i
l
μλ=
)
(惯性半径A
I i =λ
σb a -=cr s
cr σσ=F
F n cr
=
st
n n ≥
第十章 自由落体冲击
1、自由落体冲击的动荷系数：
2、动响应与静响应的关系：
第十一章 交变应力
1、
1、影响构件疲劳极限的主要因素：构件外形、构件截面尺寸、表面加工质量。
循环应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象，称为疲劳破坏，简称疲劳 循环应力及其类型
在一个应力循环中，应力的极大值与极小值，分别称为最大应力和最小应力，最大应力max σ和最小应力
min σ的平均值称为平均应力，max min
2
m σσσ+=
st
d 211Δh
K ++=st
d d σσK =st
d d ?=?K
最大应力与最小应力的代数差之半，称为应力幅，max min
2
s σσσ-=
应力变化的特点可用最小应力与最大应力的比值r 表示，称为应力比或循环特征，min
max
r σσ=
1r =-，称为对称循环应力；0r =，称为脉动循环应力 S N -曲线与材料的疲劳极限
疲劳实验中，由计数器记下试样断裂时所旋转的总圈数获所经历的循环应力循环数N ，即试样的疲劳寿命
以最大应力σ为纵坐标，疲劳寿命的对数值lg N 为横坐标，根据实验数据所绘制的最大应力与疲劳寿命关系的曲线，称为S N -曲线
作用应力越大，疲劳寿命越短，对于寿命410N <（或510）的疲劳问题，一般称为低周疲劳，反之，称为高周疲劳
S N -曲线中渐近线的纵坐标所对应的应力，称为材料的持久极限，用r σ表示
对于不存在水平渐近线的材料，常根据构件的使用要求，指定某一寿命0N 对应的应力作为极限应力，并称为材料的疲劳极限或条件疲劳极限 影响构件疲劳极限的主要因素 合理设计构件外形
合理选择构件截面尺寸，大试样疲劳极限更低 提高表面加工质量
疲劳破坏：在交变应力的作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象
应力集中与材料疲劳
疲劳破坏：在交变应力的作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
材料力学概念及基础知识
一、基本概念 1 材料力学的任务是：研究构件的强度、刚度、稳定性的问题，解决安全与经济的矛盾。 2 强度：构件抵抗破坏的能力。 3 刚度：构件抵抗变形的能力。 4 稳定性：构件保持初始直线平衡形式的能力。 5 连续均匀假设：构件内均匀地充满物质。 6 各项同性假设：各个方向力学性质相同。 7 内力：以某个截面为分界，构件一部分与另一部分的相互作用力。 8 截面法：计算内力的方法，共四个步骤：截、留、代、平。 9 应力：在某面积上，内力分布的集度(或单位面积的内力值)、单位Pa。 10 正应力：垂直于截面的应力(σ) 11 剪应力：平行于截面的应力( ) 12 弹性变形：去掉外力后，能够恢复的那部分变形。 13 塑性变形：去掉外力后，不能够恢复的那部分变形。 14 四种基本变形：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 二、拉压变形 15 当外力的作用线与构件轴线重合时产生拉压变形。 16 轴力：拉压变形时产生的内力。 17 计算某个截面上轴力的方法是：某个截面上轴力的大小等于该截面的一侧各个轴向外力的代数和，其中离开该截面的外力取正。 18 画轴力图的步骤是： ①画水平线，为X轴，代表各截面位置； ②以外力的作用点为界，将轴线分段； ③计算各段上的轴力； ④在水平线上画出对应的轴力值。（包括正负和单位） 19 平面假设：变形后横截面仍保持在一个平面上。 20 拉（压）时横截面的应力是正应力，σ=N/A 21 斜截面上的正应力：σα=σcos2α 22 斜截面上的切应力： α=σSin2α/2 23 胡克定律：杆件的变形时与其轴力和长度成正比，与其截面面积成反比，计算式△L=NL/EA（适用范围σ≤σp） 24 胡克定律的微观表达式是σ=Eε。 25 弹性模量（E）代表材料抵抗变形的能力（单位Pa）。 26 应变：变形量与原长度的比值ε=△L/L（无单位），表示变形的程度。 27 泊松比（横向变形与轴向变形之比）μ=∣ε1/ε∣ 28 钢（塑）材拉伸试验的四个过程：比例阶段、屈服阶段、强化阶段、劲缩阶段。 29 比例极限σp ：比例阶段的最大应力值。 30 屈服极限σs ：屈服阶段的最小应力值。 31 强化极限σb ：断裂前能承担的最大应力值。 32 脆、塑材料的比较： ①脆材无塑性变形，抗压不抗拉；塑材抗拉也抗压。 ②脆材对应力的集中的反应敏感，塑材不敏感。。 33 应力集中：在形状变化处，应力特别大的现象。 34 延伸率：拉断后，变形量与原长的比值(δ=△L1/L，≥5%为塑材) 35 冷作硬化：进入强化阶段后，卸载再重新加载，比例极限增大的现象。 38 极限应力σjx：失去承载能力时的应力 39 许用应力〔σ〕:保证安全允许达到的最大应力。 42 计算思路：外力内力应力。 43 超静定问题：未知力多于平衡方程个数的问题（用平衡方程不能或不能全部计算出构件的外力）。 44 计算超静定问题：除平衡方程以外，更需依据变形实际建立补充方程。 45 剪力：平行于截面的内力（Q），该截面称作剪切面。 46 单剪：每个钉有一个剪切面。双剪：每个钉有两个剪切面。 48 挤压力：两构件相互接触面所承受的压力。 三、扭转 1 外力偶矩的矢量方向与杆件的轴线重合时杆件发生（扭转）变形。杆件的两个相邻截面发生绕轴线的相对转动。 2 传动轴所传递的功P(kw)，转速n(r/min),则此外力偶矩为Me=9.549P/n(N*m)。 3 扭转变形时，杆件横截面上的内力称扭矩。表示各截面上扭矩大小的图形，称作扭矩图。 4 两正交线之间的直角的改变量（ ），称为剪应变。表示剪切变形的严重程度。 5 剪切胡克定律τ=G ，式中G称为材料剪切弹性模量。 6 薄壁扭转构件横截面上某点的剪应力 n δ，式中 为圆形横截面包围的面积，δ为该点处的壁厚。 7 Ip=∫Aρ2dA称为截面的极惯性矩。 四、弯曲应力： 1 梁弯曲时，作用线与横截面平行的内力，称为剪力。数值上等于该截面之左侧或右侧梁上各个横向外力的代数和，绕截面顺转的力为正。 2 梁弯曲时，作用面垂直于轴线的内力偶矩，称为弯矩。数值上等于该截面之左侧或右侧梁上各个外力（包括力偶）对截面力矩的代数和，使截面处产生凹变形的力矩为正。 3 无均布载荷梁段，剪力为水平直线。 无剪力（零）的梁段，弯矩为水平直线。 在集中力作用的截面，剪力图上发生转折，在集中力偶作用的截面，弯矩图上发生跃变。 在剪力为零的截面，弯矩有极大值。最大弯矩发生在Q=0 ，集中力偶两侧、悬臂梁根部和集中力的截面上。 Iz=∫Ay2dA称为截面的轴惯性矩。式中y是微面积dA到中性轴的距离。 中性轴通过截面的形心，是拉压区的分界线。 五、弯曲时的位移 1 挠度是梁弯曲时横截面的形心在垂直于梁轴线方向的位移。 2 转角是梁变形时横截面绕其中性轴旋转的角度。 六、超静定问题 1 使用静力平衡方程不能求出结构或构件全部约束力或内力的问题。 2 多余约束力 解除维持构件平衡的多余约束后，以力代替该约束对构件的作用力。 变形协调方程 多余约束力与基本力共同作用的变形满足梁的约束条件。 七、应力状态和强度理论 1 应力状态： 受力构件内部一点处不同方位截面应力的集合。 单元体：围绕构件内一点处边长为无穷小的立方体。 主平面：单元体上剪力为零的截面 4 截面核心：压力作用线通过此区域，受压杆横截面上无拉应力。 5 弯矩扭合构件选用空心圆形截面比较合理。 九、压杆稳定 1 稳定性：受压杆件保持原有直线平衡形式的能力。 2 临界力Pcr：受压杆件能保持稳定的最大压力。 9 提高稳定措施：①环形截面；②减小长度；③固定牢固。 冷拉是在常温条件下，以超过原来钢筋屈服点强度的拉应力，强行拉伸钢筋，使钢筋产生塑性变形以达到提高钢筋屈服点强度和节约钢材为目的。 冷拔-是材料的一种加工工艺，对于金属材料，冷拔指的是为了达到一定的形状和一定的力学性能，而在材料处于常温的条件下进行拉拔。冷拔的产品较之于热成型有：尺寸精度高和表面光洁度好的优点。第一章绪论 §1.1 材料力学的任务 二、基本概念 1、构件：工程结构或机械的每一组成部分。（例如：行车结构中的横梁、吊索等） 材料力学—研究变形体，研究力与变形的关系。 2、变形：在外力作用下，固体内各点相对位置的改变。(宏观上看就是物体尺寸 和形状的改变） 弹性变形—随外力解除而消失 塑性变形(残余变形)—外力解除后不能消失 刚度：在载荷作用下，构件抵抗变形的能力 3、内力：构件内由于发生变形而产生的相互作用力。（内力随外力的增大而增大） 强度：在载荷作用下，构件抵抗破坏的能力。 4、稳定性：在载荷作用下，构件保持原有平衡状态的能力。 强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承 载能力的一门科学。 三、材料力学的任务 材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全 的构件，提供必要的理论基础和计算方法 研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在进行理论分 析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。 四、材料力学的研究对象 构件的分类：杆件、板壳*、块体* 材料力学主要研究杆件﹜直杆——轴线为直线的杆曲杆——轴线为曲线的 杆 等截面杆——横截面的大小形状不变的杆变截面杆——横截面的大小或形状 变化的杆 等截面直杆——等直杆 §1.2 变形固体的基本假设 在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。在材料力学中，对变 形固体作如下假设： 1、连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质 灰口铸铁的显微组织球墨铸铁的显微组织 2、均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同 普通钢材的显微组织优质钢材的显微组织 3、各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同 （沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。如木材、胶合板、纤维增 强材料等） 4、小变形与线弹性范围：认为构件的变形极其微小，比构件本身尺寸要小得多。 如右图，δ远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的 变形略去不计。计算得到很大的简化。 §1.3 外力及其分类 外力：来自构件外部的力（载荷、约束反力） 按外力作用的方式分类 体积力：连续分布于物体内部各点的力。如重力和惯性力 表面力： 分布力：连续分布于物体表面上的力。如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等 均为分布力 集中力：若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。 按外力与时间的关系分类 静载：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，称为静 载 动载：载荷随时间而变化。如交变载荷和冲击载荷 §1.4 内力、截面法和应力的概念 内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。 求内力的方法—截面法 (1)假想沿m-m横截面将杆切开(2)留下左半段或右半段(3)将弃去部分对留 下部分的作用用内力代替(4)对留下部分写平衡方程，求出内力的值。 §1.4 内力、截面法和应力的概念 为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,即应力的概念。 §1.5 变形与应变 1.位移：MM' 刚性位移；变形位移。 2.变形：物体内任意两点的相对位置发生变 化。 取一微正六面体 两种基本变形： 线变形——线段长度的变化角变形——线段间夹角的变化 3.应变 正应变（线应变） x方向的平均应变：切应变（角应变） 杆件的基本变形：拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲 第二章拉伸、压缩与剪切(1) §2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 受力特点与变形特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件 变形是沿轴线方向的伸长或缩短。 §2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 2、轴力：截面上的内力 由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以 称为轴力。 4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化 杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆 件的强度。 在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设， 横截面上到处都存在着内力。 观察变形： 平面假设—变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。 从平面假设可以判断： （1）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等 （3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量 §2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的 §2.4 材料拉伸时的力学性能 一试件和实验条件：常温、静载 二低碳钢的拉伸 明显的四个阶段 1、弹性阶段ob 2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力） 3、强化阶段ce（恢 复抵抗变形的能力） 4、局部径缩阶段ef 两个塑性指标: 断后伸长率断面收缩率 δ＞5%为塑性材料δ＜5%为脆性材料 低碳钢的S≈20-30% ψ≈60%为塑性材料 三卸载定律及冷作硬化 1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载 材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。 材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。 四其它材料拉伸时的力学性质 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σp0.2来表示。 对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩 现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。 拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同 三脆性材料（铸铁）的压缩 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同 压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限 一、安全因数和许用应力 变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。 切应力强度条件：[τ]许用切应力，常由实验方法确定 第三章扭转 §3.1 扭转的概念和实例 扭转受力特点及变形特点: 杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件 轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。 1.材料力学就是研究构件强度、刚度、稳定性理论 2.变形性质分为弹性变形、塑性变形 3.研究内力的方法是截面法 4.表示内力密集的程度是应力 5.基本变形有：轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲 6轴力图是表示轴力与横截面积关系 7.平面假设是受轴向拉伸的杆件，变形后横截面积仍保持不变为平面，两平面相 对位移了一段距离 8.应力集中是会在其局部应力骤然增大的现象 9低碳钢的四个表现阶段弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段 10.代表材料强度性能的主要指标是屈服强度和抗拉强度 11塑性指标主要是伸长率和断面收缩率 12.5 ≥ δ%为塑性材料% 5 < δ为脆性材料 13连接杆主要有铆钉链接、螺栓链接、焊接、键连接、销轴链接 14剪切计算主要有安全计算、加工计算、运算安全计算 15焊接的对焊接和搭焊接两种，其中对焊接有对接、V型、 X型 16按照强度条件设计的构件尺寸取大值，许应用荷载取小值， 17切应力互等原理是在单元体互相垂直的平面上，垂直于两面交线的切应力数值 相等，其方向均指向或背离该交线， 18脆性材料的抗拉能力低于其抗剪能力，塑性材料的抗剪能力则低于抗拉能力 19纯弯曲是指梁横截面上只有弯矩无剪力的弯曲 20横力弯曲指的是梁横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲变形 21材料力学的基本假设连续性假设、均匀性假设、各向同性假设
材料力学第四章作业答案
4-1 试作下列各轴的扭矩图。 （a ） (b) 4-4 图示圆截面空心轴，外径D=40mm ，内径d=20mm ，扭矩m kN T ?=1，试计算mm 15=ρ的A 点处的扭矩切应力A τ以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
解：P A I T ρ?= )1(32 44απ-=D I p 又mm 20d = D=40mm 5.0==∴D d α 41244310235500)5.01(32)1040(14.3m I p --?=-???= MPa Pa I T P A 7.63107.6310 23550010151016123 3=?=????==∴--ρτ P W T =max τ 9433431011775)5.01(16 )1040(14.3)1(16--?=-???=-=απD W P a Pa W T P MP 9.84109.8410 11775101693 max =?=??==∴-τ 当2'd =ρ时 MPa Pa I T P 4.42104.4210 23550010101016123 3'min =?=????==--ρτ 4-6 将直径d=2mm ，长l=4m 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量G=80GPa ，试求此时钢丝内的最大切应力m ax τ。 解：r G ?=τ dx d R r R ?? =∴ R=mm d 12= 3331057.1414.321012101---?=???=??=?=∴l dx d R r R π? MPa Pa r G 6.125106.1251057.11080639=?=???=?=∴-τ （方法二：π?2=， l=4 ，P GI Tl =? ，324d I P π=，r Ip W p = ,l Gd W T P πτ==max ）
清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法
弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以, , u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 ()1,,2ij i j j i u u ε= + ()12?+?u u ε= (1a) 广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε (1b) 平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V ?∈x (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a) n t j ji i σ= ?∈x S ti (2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求： S S S S S ui ti ui ti U I ==? (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a) ()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交
弹塑性力学基本理论及应用 刘土光 华中科技大学研究生院教材基金资助 第二章应力状态
第二章 应力状态理论 2.1 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S F S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处 的应力。由于S ?为标量，故，σ的方向与F ?的 极限方向一致。内力矢量F ?可分解为所在平面 的外法线方向和切线方向两个分量n F ?和s F ?。 同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向 和切线方向两个分量。沿应力所在平面 的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为 n τ。此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ?面上的正应力和切应力分别为 在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ?，Δy ，Δz 。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均为正。应力及其分量的单位为Pa 。 图2.1 应力矢量
材料力学作业
2-4 木架受力如图所示，已知两立柱横截面均为100mm ×100mm 的正方形。试求：（1）绘左、右立柱的轴力图；（2）求左、右立柱上、中、下三段内横截面上的正应力。 解：（1）求立柱各节点的 受力 为了求出ACEG 立柱（左 立柱）和BDFH 立柱（右立柱）中的内力和应力，首先对各杆受力进行分析如下图 2-4a 所示，并求出数值。 取AB 为研究对象，由 平衡方 程 ∑=0 )(F m A ? ， 0211=?'-?B F F ① ∑=0 Y ， 01=-'+'F F F B A
② 联合①和②解得， KN F F B A 5='='。 又由牛顿第三定律得，KN F F A A 5='=，KN F F B B 5='=。 同理可得，KN F F C C 9='=，KN F F D D 3='=；KN F F E E 4='=，KN F F F F 12='=。 （2）绘左、右立柱的轴力图 取左立柱（ACEG 立柱）为研究对象。采用截面法，画受力图如图2-4b 所示, 求得 )(5KN F N A AC -=-=； )(1495KN F F N C A CE -=--=--=；)(10495KN F F F N E C A EG -=+--=+--=。 同理又取右立柱（BDFH 立柱）为研究对象。采用截 面法求得 )(5KN F N B BD -=-=； )(235KN F F N D B BD -=+-=+-=； )(141235KN F F F N F D B FH -=-+-=-+-=。 画轴力图如图左立柱所示和如图右立柱所示。 （3）求左、 右 立柱上、中、下三段内横截面上的 正 应力
塑性理论的基本假设
塑性理论的基本假设 在金属成形中应用塑性理论的目的是要探索金属成形的塑性变形机理。这样，调研可提供以下的分析和判断：（a）金属的流动性（速度、应变和应变率），（b）温度和热传导，（c）材料强度的局部变化或流动应力和（d）应力，成形中的负载、压力和能量。这样变形机理就可提供决断：金属如何流动，借助塑性成形可如何去获得所希望的几何形状以及用成形方法生产出的零件具有什么样的机械性能。 为了建立金属变形的可控制的数字模型（曲线图形），作出以下几个简化的但是合理的假设： 1）忽略弹性变形。然而当必要时，弹性复原（例如，弯曲回弹情况）和加工中的弹性弯曲（例如，成形加工精度非常接近公差）定要考虑； 2）作为一种连续体来考虑材料变形（如结晶，而晶间疏松和位错是不加考虑的）； 3）单向拉伸或压缩试验与多向变形条件下的流动应力相互有关； 4）各向异性和Bauschinger效应忽略不计； 5）体积保持恒定； 6）用简化法来表示摩擦，如用Coulomb's定律法或用恒剪切应力法。这将在后面进行讨论。 在压缩应力状态下的金属特性更加复杂。这可以从一金属圆柱体试样在两个模板之间被压缩时怎样发生变化的分析中可以看得出来。当工件达到金属的屈服应力的应力状态时，塑性变形就开始发生。当试样高度降低时，试样随着横截面的增加而向外扩展。这种塑性变形在克服工件和模板的两端之间的摩擦力中发生。该金属变形状态是受到其复杂应力体系所支配。 这应力体系可从单一的、单向的到三维的即三向发生变化。有一个由模板施加的应力和有两个由摩擦反力引起的应力。如果模板与工件间无摩擦，工件就在单向压应力下发生屈服，正像其受到拉伸载荷作用时的情形一样。而且压缩的屈服应力跟拉伸屈服应力极端一致。由于摩擦力的存在而改变了这一状况，故需要更高的应力才能引起屈服。为了找到拉伸屈服应力与三向应力状态下产生屈服时的应力值之间的数量关系，已经做了很多尝试。对于所有的金属在三向载荷作用下的各种情况下，包括各种塑性屈服试验情况中均未发现单一的（应力、应变）关系。已经存在的若干个建议使用的塑性屈服理论，其中每一种理论只能在一定的范围内有效。在考虑使用这些理论之前，研究三向应力体系并创立既利用数量关系又利用图解技术的解题方法，那是必要的。 对于三维应力状态，最方便而有效的方法就是利用莫尔圆，当研究塑性屈服的各种复杂情况时，你可以很容易地运算和进行处理。 The stress system has altered from single, uniaxial to three-dimensional or triaxial. There is one applied stress from the platens and two are induced by the friction reaction. If there was no friction between the platens and the workpiece, then yielding would occur under a uniaxial compressive stress exactly as in the case of tensile loading. The yield stress in compression would then coincide exactly with the yield stress in tension. The presence of friction, however, alters the situation and a higher stress is required to cause yielding. Many attempts have been made to find
材料力学基本概念
第一章 } 第二章 绪论 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 组成机械与结构的零、构件，统称为构件。构件尺寸与形状的变化称为变形。 2、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失 的变形，称为塑性变形或残余变形。 3、 在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。 4、 保证构件正常或安全工作的基本要求：a 强度，即抵抗破坏的能力；b 刚度， 即抵抗变形的能力；c 稳定性，即保持原有平衡形式的能力。 5、 材料力学的研究对象：a 一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件， 称为杆件；b 一个方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件，成为板件，平分板件厚度的几何面，称为中面，中面为平面的板件称为板，中面为曲面的板件称为壳。 6、 研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、 刚度和稳定性分析的基本理论与方法。 第二节 @ 第三节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第四节 内力与外力 1、 外力：⑴按作用方式分①表面力②体积力⑵按作 用时间分①动载荷②静载荷 2、 内力：构件内部相连个部分之间有力的作用。 3、 内 力的求法：截面法 4、 、 5、 内 力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩X M ；弯矩Y M ，Z M 6、 截 面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第五节 应力 1、 K 点的应力：0lim A F p A ?→?=?；正应力： N 0lim A F A σ?→?=?；切应力：S 0lim A F A τ?→?=?；22p στ=+ 2、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。
2015秋材料力学-答案第4次作业+课上习题(弯曲应力)2015-11-5
1. 一T 字型截面的悬臂梁的尺寸及其承载如图所示。为使梁内最大拉应力与最大压应力之比为1/2，试求：水平翼缘的宽度b 及梁横截面上的最大拉应力。 =10kN A 提示：求正应力时的单位要统一，分子单位N ，分母单位mm 解： 1). 利用形心坐标公式求翼缘宽度b 由梁的应力公式可知，梁内最大拉应力与压应力之比即为梁上下翼缘到形心轴距离之比，故可得出：1280mm,160mm y y == 由梁截面形心坐标公式，得： ()( )190 508025********* 05019050 C b y b ??-++??-= =?+? 解得：224.5mm b = 2). 求梁截面对形心轴(中性轴)的惯性矩 由平行移轴公式计算梁截面(组合)对形心轴的惯性矩 ()( ) 332 12 2 64 224.5505019050224.580251212190 190501602 10510mm z z z I I I ??=+=+??-+ +??-=? 3). 画出梁的弯矩图(左图) 由弯矩图可知，梁最大弯矩在固定端处，max 3N m 0k M =? 4). 求梁的最大拉应力 由梁正应力公式得： 33max 1,max 6 3010108022.86MPa 10510t z M y I σ???===?(在梁上缘) 2. 图示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F 。在梁的截面C-C 处下边缘上，用标距20mm s =的应变仪量得纵向伸长0.008mm s =。已知梁的跨长 1.5m,1m l a ==，弹性模量210GPa E =。试求力F 的大小。 解： 1). 求截面C-C 处下边缘的纵向应变 由应变仪所得身长量，得纵向应变：40.00841020 c s s ε-===? 2). 求截面C-C 处下边缘的应力 由胡克定律，得：942101041084MPa c c E σε-==???= 3). 画梁弯矩图 截面C-C 处弯矩：()2 c F M l a = - 4). 求力F 的大小 查表获取弯曲截面系数3141cm z W = 由：C c z M W σ=，可得：66 284101411047.4kN 1.51 F -????==-
弹塑性力学定理和公式
应力应变关系 弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为 式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为
弹塑性力学基本理论及应用__第八章_能量原理及其应用
第八章 能量原理及其应用 弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。这些解法的依据都是能量原理。本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。 本章共讨论五个能量原理。首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。另外，还简单介绍最大耗散能原理。本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。 8.1 基本概念 1.1 物体变形的热力学过程 由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。 令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有 00==Q ，E δδ (b) 将式(b)代入式(a)，则有 W U δδ= (8.1-1)
材料力学B作业
第一章绪论 一、选择题 1、构件的强度是指_________，刚度是指_________，稳定性是指_________。 A. 在外力作用下构件抵抗变形的能力 B. 在外力作用下构件保持其原有的平衡状态的能力 C. 在外力作用下构件抵抗破坏的能力 2、根据均匀性假设，可认为构件的________在各点处相同。 A. 应力 B. 应变 C. 材料的弹性常数 D. 位移 3、下列结论中正确的是________ 。 A. 内力是应力的代数和 B. 应力是内力的平均值 C. 应力是内力的集度 D. 内力必大于应力 4、下列说法中，正确的是________ 。 A. 内力随外力的改变而改变。 B. 内力与外力无关。 C. 内力在任意截面上都均匀分布。 D. 内力在各截面上是不变的。 5、图示两单元体虚线表示其受力后的变形情况,两单元体的切应变γ分别为________ 。 A. α，α B. 0，α C. 0，-2α D. α,2α 二、计算题 1、如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求 该点处的正应力与切应力。 2、已知杆内截面上的内力主矢为F R与主矩M如图所示，且均位于x-y 平面内。试问杆件截面上
存在哪种内力分量，并确定其大小。图中之C 点为截面形心。 3、板件ABCD 的变形如图中虚线A’B’C’D’所示。试求棱边AB 与AD 的平均正应变以及A 点处直角BAD 的切应变。
第二章拉伸与压缩 一、选择题和填空题 1、轴向拉伸杆件如图所示，关于应力分布正确答案是_________。 A 1-1、2-2 面上应力皆均匀分布； B1-1 面上应力非均匀分布，2-2 面上应力均匀分布； C 1-1 面上应力均匀分布，2-2 面上应力非均匀分布； D 1-1、2-2 面上应力皆非均匀分布。 2、图示阶梯杆AD受三个集中力作用，设AB、BC、CD段的横截 面积分别为3A、2A、A，则三段的横截面上。 A 轴力和应力都相等 B 轴力不等，应力相等 C 轴力相等，应力不等 D 轴力和应力都不等 3、在低碳钢拉伸曲线中，其变形破坏全过程可分为4 个变形阶段，它们依次是、 、、。 4、标距为50mm 的标准试件，直径为10mm，拉断后测得伸长后的标距为67mm，颈缩处最小直 径为6.4mm ，则材料的伸长率（延伸率）= ，断面收缩率= ，这种材料是（A、塑性材料B、脆性材料）。 F 5、若板与铆钉为同一材料，且已知许用挤压应力 [bs]与许用剪切应力相同。板厚为t，为了充分提 高材料的利用率，则铆钉的直径d应该 为。 F 6、矩形截面木拉杆连接如图所示。已知：拉力F，尺 寸a，b，h，l ，则接头处的切应力，挤压应力。 bs F F l l 7、低碳钢圆试件轴向拉伸破坏时，是由应力引起的破坏；铸铁圆试件轴向拉伸破坏时，是由应力引起的破坏。 8、低碳钢的塑性指标是和。 9、低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下4 种指标中哪种得到提高？ A. 强度极限 B. 比例极限 C. 断面收缩率 D. 伸长率（延伸率） 10、按照拉压杆的强度条件，构件危险截面上的工作应力不应超过材料的_________。 A．极限应力B．许用应力C．屈服应力D．强度极限
塑性力学原理+
1. 什么是塑性? 塑性是一种在某种给定载荷下,材料产生永久变形的材料特性,对大多的工程材料来说,当其应力低于比例极限时,应力一应变关系是线性的。另外,大多数材料在其应力低于屈服点时，表现为弹性行为，也就是说，当移走载荷时，其应变也完全消失。 由于屈服点和比例极限相差很小，因此在ANSYS程序中，假定它们相同。在应力一应变的曲线中，低于屈服点的叫作弹性部分，超过屈服点的叫作塑性部分，也叫作应变强化部分。塑性分析中考虑了塑性区域的材料特性。 路径相关性： 即然塑性是不可恢复的，那么这种问题的就与加载历史有关，这类非线性问题叫作与路径相关的或非保守的非线性。 路径相关性是指对一种给定的边界条件，可能有多个正确的解—内部的应力，应变分布—存在，为了得到真正正确的结果，我们必须按照系统真正经历的加载过程加载。 率相关性： 塑性应变的大小可能是加载速度快慢的函数，如果塑性应变的大小与时间有关，这种塑性叫作率无关性塑性，相反，与应变率有关的性叫作率相关的塑性。 大多的材料都有某种程度上的率相关性，但在大多数静力分析所经历的应变率范围，两者的应力——应变曲线差别不大，所以在一般的分析中，我们变为是与率无关的。 工程应力，应变与真实的应力、应变： 塑性材料的数据一般以拉伸的应力—应变曲线形式给出。材料数据可能是工程应力（ P/A ）与工程应 变（Δl/l 0），也可能是真实应力（P/A）与真实应变（ L n (l/l ) ）。 大应变的塑性分析一般采用真实的应力，应变数据而小应变分析一般采用工程的应力、应变数据。什么时候激活塑性： 当材料中的应力超过屈服点时，塑性被激活（也就是说，有塑性应变发生）。而屈服应力本身可能是下列某个参数的函数。 ? 温度 ? 应变率 ? 以前的应变历史 ? 侧限压力 ? 其它参数 2. 塑性原理方面的几个概念 任何塑性理论都包括如下几个主要方面： 屈服条件：它规定在不同组合的外加应力作用下，塑性形变从什么时候开始发生；
(完整版)材料力学基本概念和公式
第一章 绪论 第一节 材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。 第二节 材料力学的基本假设 1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。木材是各向异性材料。 第三节 内力 1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。 2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。 3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。 4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩T ；弯矩M 第四节 应力 1、一点的应力： 一点处内力的集（中程）度。 全应力0lim A F p A ?→?=?；正应力σ；切应力τ；p =2、应力单位：Pa （1Pa=1N/m 2，1MPa=1×106 Pa ，1GPa=1×109 Pa ） 第五节 变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。对构件进行受力分析时可忽略其变形。 5、线应变：l l ?=ε。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。