对称式与轮换对称式

竞赛专题-------对称式与轮换对称式

1． 基本概念

【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，

，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有

11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，， 那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy

++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项

式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2

bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：

222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++

【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =g g g g g g ，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：

333222222

()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。 【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，

，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有

11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，

那么就称这个代数式为n 元交代式。 例如，()()()x y x y x y y z z x x y

-----+，，均是交代式。 【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x g g g ，，

，，如果将字母12n x x x g g g ，，，以2x 代

1x ，3x 代2n x x g g g ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即

12231()()n n f x x x f x x x x ≡g g g g g g ，，，，，，，

那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。

显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，222

()a x y z ++是对称式也是轮换式；222()b x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式。

对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：

（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；

（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；

（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；

（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；

（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。

【定义5】下面n 个对称多项式称为n 元基本对称多项式。 1121()n n i

i x x x x σ==∑g g g ，，，

2121()n n i j i j n x x x x x σ≤<≤=

∑g g g ，，，

… … … 1212121()k k n k n i i i i i i n x x x x x x σ≤<<<≤=

∑g g g g g g g g g ，，，

… … … 1212()

n n n x x x x x x σ=g g g g g g ，，，

例如，二元基本对称多项式是指x y xy +，， 三元基本对称式是指x y z xy yz zx xyz ++++，，

当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n 元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。

2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用

为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。

下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧

（1）若()f x y z ，，是对称式，则在解题中可设x y z ≤≤。（为什么？）

（2）若()f x y z ，，是对称式，则当x y ，满足性质p 时，x z y z ，；，也满足性质p 。

（3）若()f x y z ，，是轮换式，则在解题中可设x 最大（小），但不能设x y z ≤≤。（为

什么？）

（4）若()f x y z ，，是轮换式，且x y ，满足性质p ，则y z z x ，；，也满足性质p 。

（5）若()f x y z ，，是交代多项式，则x y y z z x ---，，是()f x y z ，，的因式，即其中()g x y z ，，是对称式。

()()()()()f x y z x y y z z x g x y z =---，，，，

其中()g x y z ，，是对称式。

在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。

齐次对称多项式的一般形式：

（1）二元齐次对称多项式

一次：()a x y +，

二次：22

()a x y bxy ++

三次：33()()a x y bxy x y +++

（2）三元齐次对称多项式

一次：()a x y z ++

二次：222()()a x y z b xy yz zx +++++

三次：333222()()()()a x y z b x y z y z x z x y cxyz ??+++++++++??

判定mx ny rz ++是否为多项式(,,)f x y z ，的因式的方法是：令0mx ny rz ++=，计算()f x y z ，，，如果()=0f x y z ，，，那么mx ny rz ++就是()f x y z ，，的因式，在实际操作时，可首先考虑mx ny rz ++的如下特殊情形： x x y x y x y z x y z +-++-+，，，，

【例1】：已知多项式222222

()()()()f x y z xy x y yz y z zx z x =-+-+-，，

（1）求证：()f x y z ，，是齐次式；（2）求证：()f x y z ，，是轮换式；

（3）求证：()f x y z ，，是交代式；（4）分解因式()f x y z ，，。

(4)∵ ()f x y z ，，是交代多项式，∴ ()()()x y y z z x ---是它的因式。又因为()f x y z ，，是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式x y z ++。

于是，()f x y z ，，可表示为

【例2】：分解因式333

()3f x y z x y z xyz =++-，，。

【例3】：分解因式222222444

()2()()f x y z x y y z z x x y z =++-++，，。

【例4】：分解因式5555

()()f x y z x y z x y z =++---，，

【例5】：分解因式444

(,)()f x y x y x y =+++。

【例6】：分解因式

222222()(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)y z xy xz z x yz yx x y zx zy -+++-+++-++。

故()()()()()f x y z x y y z z x xyz x y z =---+++，，

对称式与轮换对称式练习题：

1．已知555

()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-，，

（1）求证：f 为5次齐次式； （2）求证：f 为轮换式；

（3）求证：f 为交代式； （4）分解因式f 。

2．分解因式

（1）22222()()4()f x y x xy y xy x y =++-+，

（2）4444444()()()()()f x y z x y z x y z y z z x x y =+++++-+-+-+，，

（3）()()333()()f x y z x y y z z x =-+-+-，， （4）()()()f x y z xy yz zx x y z xyz =++++-，，

（5）()()()444()f x y z x y z y z x z x y =-+-+-，，

（6）()3333()f x y z x y z x y z =++---，，

（7）()()()333222222()2f x y z x y z x y z y z x z x y xyz =++-+-+-++，，

（8）222222()3f x y z x y xy x z xz y z yz xyz =++++++，，

（9）()()()()

222333()2f x y z x y z y z x z x y x y z xyz =+++++-++-，，

（10）()()()()2()f a b c d bcd cda dab abc bc ad cd ab db ac =+++----，，，

练习答案与提示：

1．222

5()()()()x y y z z x x y z xy yz zx ---++---

2．（1）可设2222()()f k x Axy y x Bxy y =++++，可求得11k A B ===-，

（2）可设()f kxyz x y z =++，可求出12k =

（3）可设()()()f k x y y z z x =---，可求出3k =

（4）可设()()()f k x y y z z x =+++，可求出1k =

（5）222()()()()()f x y y z z x A x y z B xy yz zx ??=---+++++??，可求出1A B == （6）3()()()x y y z z x +++

（7）()()()x y z y z x z x y ------

（8）()()x y z xy yz zx ++++

（9）()()()x y z y z x z x y +-+-+-

（10）当a b c d ===时，0f =，∴f 有abcd 的因式，可设

2222()()f abcd A a b c d B ab bc cd da ac bd ??=+++++++++??， 可求得12A B ==，，∴2

()f abcd a b c d =+++