《多元函数微积分》习题解答第一章19页word文档
习题1—1解答
1． 设y x xy y x f +
=),(，求)
,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y
x
xy y x f +
=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(
2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=
)
,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?=
3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：
（1）;11),(22-+-=y x y x f （2）;)
1ln(4),(2
2
2y x y x y x f ---=
（3）;1),(22
2222c
z b y a x y x f ---=
（4）.1),,(2
2
2
z
y x z y x z y x f ---++=
解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D
（2）
{
y x y x D 0),(2
+<=（3）???++=),(2222b y a x y x D （4）{,0),,(≥=y x z y x D
4．求下列各极限：
（1）221
01lim y x xy y x +-→→=
1100
1=+-
（2）2ln 0
1)1ln(ln(lim
02
2
)0
1=++=
++→→e y
x e x y y x
（3）41
)42()42)(42(lim 42lim
000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x
（4）2)
sin(lim )sin(lim
202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x
5．证明下列极限不存在：
（1）;lim 0
0y
x y x y x -+→→ （2）22
22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim
00
20-=-+=-+→→=→x x x
x y x y x x x y x ；
如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 00
20==-+→→=→y y
y x y x y y x y
所以极限不存在。
（2）证明： 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0(
则1lim )(lim 44
022
2220
0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244
022
2220
20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点：
（1）x
y x
y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。
解 （1）为使函数表达式有意义，需02≠-x y ，所以在02=-x y 处，函数间断。
（2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。
习题1—2 1．（1）x
y
y x z +=
21x y y x z -=??；21y
x x y z -=??. (2)
)]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x
z
-=-=?? )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y
z
-=-=?? (3)
121)1()1(--+=+=??y y xy y y xy y x
z
, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y 求偏导得
,1)1ln(1xy
x
y xy y z z +++=?? ]1)1[ln()1(]1)1[ln(xy
xy xy xy xy xy xy z y z
y ++++=+++=??; (4))(221332
3y x x y x x
y x x y
x z +-=+-
=??, ;1
13
2
2y x x y x x y
z +=
+=??
(5)x
x z
y z u
x x z y u x z y x u z y
z y z y ln ,ln 1,21-=??=??=??-; (6)z
z y x y x z x u 21)(1)(-+-=??-, z z y x y x z y u
21)(1)(-+--=??-, z
z y x y x y x z u 2)
(1)
ln()(-+--=??;
2.(1)0,1,0,,=====yy xy xx y x z z z x z y z ; (2) ),(2sin ),(2sin by ax b z by ax a z y x +=+=
)(2cos 2),(2cos 2),(2cos 222by ax b z by ax ab z by ax a z yy xy xx +=+=+=.
3 2222,2,2x yz f z xy f xz y f z y x +=+=+=,,2,2,2z f x f z f yz xz xx ===
0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0(=-==yz xz xx f f f .
4 )2
(2cos ),2(2cos 2),2(2sin ),2(2sin 2t x z t x z t x z t x z tt xt t x --=-=-=--=
0)2
(2cos 2)2(2cos 22=-+--=+t
x t x z z xt tt .
5.(1) x y
x e x y z 2-=, x y y e x z 1=,=dz +-dx e x
y x y 2 dy e x x y
1
;
(2)
)ln(21
22y x z +=
,2
2y
x x z x +=,22y x y z y +=,dy y x y dx y dz 2222x x +++=; (3)2222)(1y x y x y x y z x +-=+-
= , 222
)(11
y x x x
y x z y +=+= ,22y x xdy ydx dz ++-=; (4) ,1-=yz x yzx u x zx u yz y ln =,x yx u yz z ln =,
=du xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1++-.
6. 设对角线为z,则,22y x z +=2
2
y
x x z x +=
,2
2
y
x y z y +=
,
=
dz 2
2
y
x ydy xdx ++
当1.0,05.0,8,6-=?=?==y x y x 时,2
2
8
6)
1.0(805.06+-?+?=≈?dz z
=-0.05(m).
7. 设两腰分别为x 、y,斜边为z,则,22y x z +=
2
2
y
x x z x +=
，2
2
y
x y z y +=
, =
dz 2
2
y
x ydy xdx ++,
设x 、y 、z 的绝对误差分别为x δ、y δ、z δ,
当1.0,1.0,24,7=≤?=≤?==y x y x y x δδ时, 2524722=+=z
2
2
24
71
.0241.07+?+?≤
≤?dz z =0.124,z 的绝对误差124.0=z δ
z 的相对误差
≈?z z %496.025
124
.0=. 8.
设内半径为r ，内高为h ，容积为V ，则
h r V 2π=,rh V r π2=,2r V h π=,dh r rhdr dV 22ππ+=,
当1.0,1.0,20,4=?=?==h r h r 时,
)(264.551.0414.31.020414.3232cm dV V =??+????=≈?.
习题1—3 1.
=??+??+??=dx
dz
z f dx dy y f dx dx x f dx du ++2
)
(1z
xy z y +?+ax ae z
xy
z x
2
)(122)(1z xy z xy +-)1(2+?ax a =222)]1(2[y x z ax axy axz z y ++-+=ax
ax e x ax x a e ax 22422)1()
1()1(++++.
2.x f x f x z ????+????=??ηηξξ=
443
222
4arcsin 11y x x y x x
+?+----ξξη=)
)(1()ln(1arcsin 42
2
2
2
444
4
2
23y x y x y x x y
x y x x +--+-
+--
y f y f y z ????+????=??η
ηξξ=443
2224arcsin 11y x y y
x y
+?+----ξξη=
)
)(1()ln(1arcsin 42
2
2
2
444
4
2
23y x y x y x y y
x y x y +--+-
+--.
3.
(1)
x
u
??=212f ye xf xy +, y u ??=212f xe yf xy +-.
(2)
x u ??=11f y ?, y u ??=2121f z f y x +?-,z u
??=22f z
y ?-.
(3)
x
u
??=321yzf yf f ++,y u ??=32xzf xf +,z u ??=3xyf .
(4)
x u ??=3212f yf xf ++y u ??=3212f xf yf ++,z u
??=3f .
4
.(1)
1yf x
z
=??,21f xf y z +=??, ()112
1112
2f y y f y x f y x
z =?=??=??, ()12111121111112)(yf xyf f f x f y f y
f y f yf y y x z ++=+?+=??+=??
=
???, ()22121122221121121212
22)(f xf f x f x f f x f x y f y f x f xf y y
z ++=+?++?=??+??=+??
=??(2)
2122xyf f y x
z
+=??,2212f x xyf y z +=??, ()
x f xy yf x f y xyf f y x
x z ??++??=+??=??22
1
221222222 22
2
2
123
114
2222212122112442)2(22)2(f y x f xy f y yf xy f y f xy yf xy f y f y +++=?+?++?+?=.
()
y
f xy xf y f y yf xyf f y y y x z ??++??+=+??=???22121212
22222 12
2
2
223
113
21222212212112152222)2(22)2(2f y x yf x f xy xf yf x f xy f xy xf x f xy f y yf ++++=?+?++?+?+=
()
y f x y f xy xf f x xyf y y
z ??+??+=+??=??2
2112212
2222
22
4
123
112
2
1222212212111442)2()2(22f x yf x f y x xf x f xy f x x f xy f xy xf +++=?+?+?+?+=
5 y
u
x u t y y u t x x u t u y u x u s y y u s x x u s u ??+
??-=????+????=????+??=????+????=??2123,2321Θ
, 222)(4323)(41)(
y u y u x u x u s u ??+????+??=??,222)(4123)(43)(y
u y u x u x u t u ??+????-??=??, 2222)()()()(
y
u x u t u s u ??+??=??+??∴. 6 (1) 设)(),,(z y x e z y x z y x F ++--++=, )(1z y x x e F ++-+=,)(1z y x y e F ++-+=,
)(1z y x z e F ++-+=,
1-=-=??z x F F x z ,1-=-=??z
y F F y z xz
y x y x z
y x y
x z y
x x F y
x z y x z z y x F x 2))(21
(sec tan
,
tan ),,()2(2
3
222
22
222
2
2
2
2
2
22---------
=---=设
=222
2
2
2
tan
y
x xz
y
x z y
x x -+
---
2
2
2
sec y
x z -,
)2())(21(sec tan
23
2
22
22
222
22
2yz y x y x z
y x y x z y x y F y --------=
- =
222
2
2
2
tan
y x yz
y
x z y
x y --
--2
2
2
sec y
x z -,
-
=1z F 2
2
2
22sec y
x z
y x --2
21
y
x -=2
22
tan y x z --,
=??x z 2
22
2
22222csc cot y
x z y
x xz y x z y x x F F z x --+---=-,
=??y z .csc cot
2
2
2
222
2
2
2
y
x z y
x yz
y
x z y
x y F F z
y ---
--=-
(3) 设xyz z y x z y x F 22),,(-++=,x
yz
F x -
=1 y
xz
F y -
=2z xy F x -=1,
=
??x
z z x F F -=xy xyz xyz
yz --,=??y z
z
y F F -=xy
xyz xyz xz --2.
(4) 设y z z x y z z x z y x F ln ln ln ),,(+-=-=
,y F z F y x 1,1==z z
x F z 12--=, =??x z z x z F F z x +=-,=??y z )
(2
z x y z F F z y +=-, 7.设)32sin(232),,(z y x z y x z y x F -+--+=,),32cos(21z y x F x -+-=
Θ)32cos(42z y x F y -+-=,)32cos(63z y x F z -++-=,
∴ =??x z
31=-z x F F ,=??y z 3
2=-z y F F , ∴
+
??x z =??y
z
1. 8.设2121,,),,(),,(φφφφφb a F c F c F bz cy az cx z y x F z y x --===--=,
=??x z
211φφφb a c F F z x +=-,=??y z ,2
12φφφb a c F F z y +=-
∴ +??x
z
a
c y z b =??. 9. (1)方程两边同时对x 求导得
?????=+++=,
0642,22dx dz
z dx dy y x dx dy y x dx dz 解之得???????+=++-=1
3,)13(2)16(z x dx dy z y z x dx dy (2) 方程两边同时对z 求导得
??
???=++=++0
222,01z dz dy y dz dx
x dz dy
dz dx 解之得
???????--=--=.,y
x x
z dz
dy y
x z
y dz dx
(3) 方程两边同时对x 求偏导得
??
??
???+??-??=??+??+??=,sin cos 0,cos sin 1x v v u v x u x u e x v v u v x u x u e u u 解之得???????+--=??+-=??.]
1)cos (sin [cos ,1)cos (sin sin v v e u e v x v v v e v x u u u
u 同理方程两边同时对y 求偏导得
?????????+??-??=??+??+??=,sin cos 1,cos sin 0y v v u v y u y u e y
v v u v y u y u e u u 解之得???????+-+=??+--=??.]
1)cos (sin [sin ,1)cos (sin cos v v e u e v x v v v e v x u u u
u 习题1－4
1． 求下列函数的方向导数
o
P l
u
??
（1）()()2,1,1,0,1,1,32022-=++=l P z y x u 解：
220
==??P P x
x
u
440
==??P P y
y
u
060
==??P P z
z
u
)62,61,6
1(0-
=l
.6
2)6
1(*46
1*
20
-=-+=??∴
P l
u
（2）);1,1,2(),1,1,1(,)(0-==l P x
y u z 解：
,1)
()(0
21-=-=??-P z P x
y x y z x
u
,1)
1()(0
1==??-P z P x
x y z y u
,0)ln()(0
==??P z P x
y x y z
u
)61,6
1,
6
2(
0-
=l
.6
16
1*16
2*)1(0
-=+-=??∴
P l
u
（3）l P y x u ),1,1(),ln(022+=与ox 轴夹角为;3
π
解：
,120
022=+=
??P P y x x x u
,120
02
2=+=
??P P y x y y
u
由题意知,3
πα=
则,6
πβ=
)2
3
,21()6
cos ,3
(cos 0==ππl
.2
3123*121*
10
+=+=??∴
P l
u （4）.),14,4,9(),2,1,5(,1010P P l P P xyz u == ,20
==??P P yz
x
u
,100
0==??P P xz
y
u
,50
==??P P xy
z
u
),12,3,4(=l ),13
12
,133,134(0=∴l
.13
981312*5133*10134*20=++=??∴P
l u 2． 求下列函数的梯度gradf
（1）);(cos()sin(),(22xy y x y x f +=