2017_年北京大学“博雅计划”自主招生试题及解析
2017年北京大学“博雅计划”自主招生试题及解析
1.空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体，
其中心O位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平行。记与x轴平行的棱中点为A，正方体与x轴的交点为B，则A、B、O三点的电场强度（）
A．全部为0
B．全部不为0
C．有两个满足至少在两个方向上的分量不为0
D．有一个满足恰好在两个方向上的分量不为0
解：O点的电场强度为0，A点的电场强度有x分量和y分量，B点的电场强度只有x分量。D选项正确。
2.如图2所示，用轻绳悬挂一带电小球A，绳长为l，小球质量为m。现将一无穷远
处的相同小球B移至图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功。
解：以A 球为研究对象，受力分析如图3所示，则有
F =kq 2
(
2l sin
θ
2
)2=2mg sin
θ2
(1)
电势能增量为
?E p 1
=kq 22l sin θ
2
=4mgl sin 2θ2=2mgl (1?cos θ)(2)
重力势能的增量为
?E p 2=mgl (1?cos θ)
(3)
所以外力做功为
W =?E p 1+?E p 2=3mgl (1?cos θ)
(4)3.如图4所示，有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边方向射入一光束，
其折射后在底面发生全反射并从另一侧面射出。已知三棱镜材料的折射率为√
2，求θ需满足的条件。
解：第一次折射，入射角i 1=90??θ，根据折射定律，有
sin i 1
sin γ1
=n (5)
解得
γ1=arcsin cos θ
√
2
(6)光线在底面发生全反射的临界角C 与折射率n 的关系为
sin C =
1n
(7)
解得
C =45?
(8)
发生全反射的条件是入射角i 2=γ1+θ大于临界角C ，则有
arcsin cos
θ
√2
+θ>45?
(9)4.长度分别为l 1和l 2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m 1和m 2的两个小球，处于静止状态，如图5所示。中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v ，求此时两绳中的拉力。
解：m 1相对于悬点O 做圆周运动，根据牛顿第二定律，有
T 1?m 1g ?T 2=m 1
v 2
l 1
(1)
m 2相对于m 1做圆周运动，此时m 1的向心加速度为
v 2
l 1
，m 1是一个非惯性系，
做m 2所受的惯性力为m 2v 2
l 1
，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，有：T 2?m 2g ?m 2v 2
l 1=m 2
v 2l 2
(2)
联立式(1)和式(2)，得
T 1=m 1g +
m 1v
2
l 1
+m 2g +m 2
(
v 2l 1
+
v 2l 2
)
T 2=m 2g +m 2(v 2l 1+v 2
l 2
)
5.一平行板电容器，极板面积为S ，板间距离为d ，与电动势为U 的稳恒电源串联。现将一厚度为d 、面积为S 、相对介电常数为εr 的电介质插入极板之间，求该过程中外力做的功。
解：插入电介质前电容器的电容为C 1=S
4πkd
，插入电介质后电容器的电容为
C 2=εr S 4πkd
。该过程中外力做的功为
W =12C 2U 2?12C 1U 2
=
SU 28πkd
(εr ?1)6.如图6所示，真空中有四块完全相同且彼此靠近的大金属板A 、B 、C 、D 平行放置，表面涂黑（可看成黑体），最外侧两块板的热力学温度各维持为T 1和T 4，且T 1>T 4。当达到热稳定时，求B 板的温度。
解：温度为T 2的B 板左、右侧单位面积上净获得的辐射热量分别为
Q B 左=σ(T 4
1
?T 42)(1)Q B 右=σ(T 4
3
?T 42)(2)
达到热稳定时有：
Q B 左+Q B 右=0
(3)
联立式(1)～(3)，得：
T 4
1+T 43
=2T 42(4)
温度为T 3的C 板左、右侧单位时间内单位面积上净获得的辐射热量分别为
Q C 左=σ(T 42?T 4
3)(5)Q C 右=σ(T 44?T 43)
(6)
达到热稳定时，有
Q C 左+Q C 右=0
(7)
联立式(5)～(7)，得：
T 42+T 44=2T 43
(8)
联立式(4)和(8)，得
T 2=
4
√
2T 41+T 4
4
3