初中数学二次根式的知
识点汇总
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学二次根式的知识点汇总
知识点一:二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
知识点二:取值范围
1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,
所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。
知识点三:二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
知识点四:二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.
知识点五:二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a 本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而
.
知识点七:同类二次根式
二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
知识点八:二次根式的运算:
(1)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =
(b≥0,a>0).
(3)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
练习题 (做出正确选择 并写出题目的知识点)
1.下列二次根式中,的取值范围是3x ≥的是( )
A.3x -
B.62x +
C.26x -
D.1
3
x - 2. 要使式子
有意义,则x 的取值范围是( )
A .x >0
B .x ≥-2
C .x ≥2
D .x ≤2 3.下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A.xy 2 B.
2ab C.2
1 D.422
x x y + 4.若2(21)12a a -=-,则( )
A .<12
B.≤12
C.>12
D. ≥12
5.下列二次根式,不能与12合并的是( )
A.48
B.18
C.3
1
1 D.75-
7. 38a -172a -a 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.已知, 则2xy 的值为( )
A .15-
B .15
C .152- D.152
9.下列各式计算正确的是( ) A. B. C.
D.
10.等式2111x x x -?+=-成立的条件是( )
A.1x >
B.1x <-
C.≥
D.≤
11.下列运算正确的是( ) A.235=- B.3
1
2914
= C.822-= D.()
52522
-=-
12.已知24n 是整数,则正整数n 的最小值是( ) A.4 B.5 C.6 D.2 14.化简:=3
2 ; 2318(0,0)x y x y >> = .
15.
.
16. 比较大小:10 3; 22______.
17.已知:一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ,则a 的值是 . 18.计算:
________; 22
512+ .
19.已知a 、b 为两个连续的整数,且28a b <<,则a b += . 20.直角三角形的两条直角边长分别为 、
,则这个直角三角形的斜边长为
________
,面积为________
.
21.若实数y x ,满足22(3)0x y -+-=,则xy 的值为 . 22. 已知实数x ,y 满足|x -4|+ =0,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长
是 . 24.(6分)计算:
(1)127123-+ ; (2)1
(4875)13
-? ;
(3) |-6|-
–
; (4) -
25.(6分)先化简,再求值:÷(2+1),其中=2-1.
26.(6分)先化简,后求值:(3)(3)(6)a a a a +---,其中1122
a =+.
27.(6分)已知23,23x y =-=+,求下列代数式的值: (1)222x xy y ++ ;(2)22x y -.
28.( 08,济宁)若
,则的取值范围是 A .
B .
C .
D .
29. 化简:(1)9的结果是 ;(2)123-的结果是 ; (3)825-= (4))5x -2x =_____ _; (5)3+(5-3)=_________; (6) ;
(7)=________;(8)
.