线性代数综合练习题
时间:120分钟
一、选择题(每小题3分,共15分):
1.设A 是三阶矩阵,将A 的第一列与第二列交换得B ,再把B 的第二列加到第
三列得C ,则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为( )。
(A )??????????101001010; (B )??????????100
101010; (C )??????????110001010; (D )????
??????100001110。
2.设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有( )。
(A )A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关;
(B )A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关;
(C )A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关;
(D )A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关。
3.下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是( )。
(A )R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量;
(B )R n 中,坐标是整数的所有向量;
(C )R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量;
(D )R n 中,坐标满足x 1=1,x 2,…, x n 可取任意实数的所有向量。
4.设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵(3
1A 2)-1有一个特征值等于( )。 (A )34; (B )43; (C )21; (D )4
1。 5.任一个n 阶矩阵,都存在对角矩阵与它( )。
(A )合同; (B )相似; (C )等价; (D )以上都不对。
二、填空题(每小题3分,共15分)
1.设矩阵A=????
??????100021012,矩阵B 满足:ABA *=2BA *+E ,其中A *为A 的伴随矩阵,E 是三阶单位矩阵,则|B|= 。
2.已知线性方程组??????????-+21232121a a ????
? ??=????? ??031321x x x 无解,则a = 。
3.若A=???????
?????????-100021021b a 为正交矩阵,则a = ,b = 。 4.设A 为n 阶矩阵,且|A|≠0,A *为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵。若A
有特征值λ,则(A *)2+E 必有特征值 。
5.若二次型f = 2x 12+x 22+x 32+2 x 1 x 2+t x 2 x 3是正定的,则t 的取值范围是
。
三、(15分)
设有齐次线性方程组:???
????=++++=++++=++++=++++0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a 试问a 取何值时,该方程组有非零解?并用一基础解系表示出全部的解。
四、(10分)
设R 3的两组基为:
T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ξξξ和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===ηηη,向量α=(2,3,3)T
(1)求基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵;
(2)求α关于这两组基的坐标。
五、(15分)
设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1 = -2,λ2 = 1(2重),α1=(1,1,1)T 是属于λ1 = -2的特征向量。试求:
(1)属于λ2 = 1(2重)的特征向量;
(2)A 的伴随矩阵A *。
六、(10分)
设二次型3231212
32221222x bx x x x ax x x x f +++++=
通过正交变换????
? ??=????? ??321321y y y P x x x 化为:23222y y f +=,求a 、b 。
七、(10分) 已知A ,B 为n 阶可逆方阵,且满足2A -1B=B-4E ,其中E 是n 阶单位矩阵,试证:A-2E 可逆。并求出(A-2E )-1=?
八、(10分)