中考数学专题版特色精品讲义
前言
一、本书曾用名
《中考数学专题复习》
二、本书的宗旨
帮助学生实现初中数学知识的“融会贯通、举一反三”。
三、本书的特点
1.突出方法，按图索骥，轻松学数学
教会学生面对题目时怎样抓住关键点思考、怎么去作辅助线。如：有中点的题怎么想、含角平分线的题怎么作辅助线……，书中一一列出，学生可以按图索骥，一目了然。
2.归类齐全，“触类旁通”
学生不能触类旁通，是因为不知道遇到的题目该归哪一类。所以本书把提升初中数学能力的内容归为30类供参考。如：“第六单元最值问题”涵盖了几乎全部初中数学中出现的“最值”。本书归类独特，一定对你有所帮助。
3.方法独特，助你实现“融会贯通”
对知识的把握达不到“融会贯通”的程度，是因为不知道怎样做！本书提供了三种“融会贯通”的方法，你试一试。
4.刻“一”于脑，“举一反三”
不能举一反三，是因为脑子里没那个“一”。本书提供了三种刻“一”于脑的方法，帮你建立那个“一”，助你实现“举一反三”！
5.语言语气平等柔和、友善活泼
“9变8”、“小虫爬爬”……形象生动、过目不忘，本来自学生，自然倍感活泼、亲切。
6.源于备考课堂，实战性强
本书是我日常上课及培优训练的资料整理而成，无花架子，操作性强、处处体现着实战特点。把这些方法渗透于三年的日常教学中，到初三复习阶段时将更加快捷、更加得心应手。
四、何时开始用这本书
.7年级用本书有点早（标题后有“【7】”标志的内容适合7年级能用）
因本书把初中三年的知识揉在了一起，仅个别单元的内容适合七年级学生用；
.8年级开始用最好（标题后有“【8】”标志的内容适合8年级能用）
到四边形那儿，全等及全等变换、勾股定理都已学完毕，几何的综合性就可以提上来了；如果你所用教材把相似放在了8年级，几何就基本通了。故8年级开始用，是未雨绸缪、捷足先登之举。很多学校（包括社会办的培训学校）、家教老师都是从这个时候开始用本书来培训的；
.9年级用正合适（标题后有“【9】”标志或无标志的内容9年级都能用）
各学校对尖子生的培养最晚都是从初三开始的；初三学生的学习自觉性普遍增强，不少学生这时已经开始自觉买书加班学习了。如果老师能加以引导，到第二学期，你不会再惊诧突然班上为什么会冒出一些新秀，他（她）们不仅都成了你的好帮手，还引导了班级浓郁的学习之风。
.在一轮复习怎么用
重点班：一轮用书与本书并用；普通班：基础为主，用本书强化方法，给班上有潜力学生拓展。
.在第二轮挑着用
第一，选自己认为需要的单元用；第二，对选中单元的题目挑着用，不全做全讲；第三，选中单元内还分有几种小类型的（如“第四单元角平分线”里含五种小类），一小类中选一个例题留一两道当作业即可，切不可全做。
.套题训练阶段找对应题练
在套题主训练时，肯定会遇到不会做的题，这时再回到本书找对应题，练，归类，找方法。
.友情提示
不管想从什么时候开始使用本书，都不要一次性把单元里的题做完。原因有二：其一时间紧，一次性做完负担大；其二，人对知识的透彻理解是需要重复的，温故知新。
五、本书结构
本书含“探究与证明、代数综合、运动探究”三大部分，共31个单元。
除第一单元外，其他单元都是由“联想融通、解法归一、例题、交流分享、体验与感悟、提醒”几部分构成。本书的31个单元是帮您建立“类”的，以助您“触类旁通”；“联想融通”是用来帮您建立知识网络、熟知同一知识的不同用法的；“解法归一”是点明该单元（或单元中的一部分）题型的通法，找“一”的，“例题”的解答在答案中、为的是让您先独立思考；例题下方的“分享交流”是邀您与作者交流解题心得；“体验与感悟”是请您在做中体会、做是感悟；“提醒”是用来提醒您及时回顾与反思。
六、关于“融通归一复习法”
“融通归一复习法”是“联想融通复习法”与“归一复习法”的合称。
其中，“联想融通复习法”是指沟通知识间关系形成网络，或对同一知识的各种不同用法进行归纳总结，使学生对该知识的各种用法都了若指掌的复习法，目的是实现融会贯通。
“归一复习法”是指通过“多题归一”、“多解归一”、“合情推理”，找通性通法、找关键点的复习法的统称，目的是让学生见题知类、有思路，做到举一反三。
对“融通归一复习法”的详细解释，见《第一单元“融通归一复习法”解释与例举》。
“融通归一复习法”要解决的问题是：题一拐弯就不会，不知怎么作几何题的辅助线，拿到题不知从何处下手。其实就是要解决“举一反三，融会贯通”问题。
目录第一部探究与证明
探究与证明举例
第01单元一题多解
第02单元平行线
一、知平行求角构造三线八角
二、找（或造）平行进行等积转换
三、平行与函数
第03单元中点类
一、中线等分三角形面积
二、见直角三角形斜边中点作斜边上的中线
三、见中点“9”变“8”
四、见中点（或等分点）作平行得相似
五、第03单元提高题
第04单元角平分线类
一、角平分线遇平行线找等腰三角形
二、遇垂直角平分线找等腰三角形
三、遇倍角或半角
四、见角平分线用性质
五、学生的妙解：两角平分线相交用内切圆
六、第04单元提高题
第05单元直角（垂直）类
一、过直角顶点的直线类
二、直角边相交的“双直角”类
（一）见“双直角”连公共斜边
（二）见“双直角”用四点共圆
三、见垂直用面积法建立方程
四、顶点叠放“两直角”找等角
五、勾股定理
六、第05单元提高题
第06单元最值问题
一、两点之间线段最短
（一）线段和（PA+PB）最小
（二）线段差（PA-PB）最大
（三）“小虫爬爬”问题
（四）两二次根式和的最小值
二、垂线段最短
三、圆中最长弦是直径
四、平方和的最小值
五、不等式、一次函数最优方案
六、二次函数最值
七、几何探究最值类
第07单元轴对称
一、用轴对称
二、用轴对称解决反射（反弹）问题
三、利用轴对称求最小值
四、遇半角折叠之
五、利用轴对称找（或造）全等
第08单元平移探究与证明
一、平移与平行四边形（从平移的性质找方法）
二、平移与证明（平移不改变原图形的性质）
三、见平移找相似
四、用平移的慧眼寻找解题策略
第09单元旋转探究
一、知旋转用性质
二、见有公共端点的二等线段用旋转
三、两组等线段共端点：找全等三角形
第10单元相似探究
一、已有相似图形：找相似、证相似、用相似
（一）“平行出相似”
（二）“等角公共角”相似
（三）“垂直出相似”
（四）“导边比”得相似
（五）“一线三角”相似
二、图中无相似造相似
（一）“过中点（或等分点）作平行线”得相似
（二）“过动点作平行线或垂线”得相似
（三）其他情况的相似
第11单元正方形背景类
一、正方形对边截的两相互垂直线段相等
二、动点在对角线时据轴对称补图
三、利用正方形的90度旋转对称性观图找关系
第12单元多边形的性质与判定
第13单元阅读理解
一、新定义类
二、阅读计算类
第14单元圆的探究
第15单元妙用特殊值法、特殊位置法
一、代数类
二、几何类
三、较难题、大题类
第16单元找规律
一、循环类
二、一次函数类(邻数差等类)
三、平方类（即二次函数类）
四、等比类（即a m?b=a m+1类）
五、其他类
第二部分代数综合
代数综合解题通法
第17单元方程不等式综合应用
一、方程应用题
二、分式方程与不等式
三、方程与不等式综合题
四、表格或图象类方程与不等式综合题
第18单元一次函数综合应用
一、优选问题
二、分配方案
三、与统计概率的结合
四、截板问题
第19单元一次函数图表信息
一、简单的一次函数图象信息题
二、一次函数表格信息题
三、较别致的一次函数信息题
第20单元反比例函数
一、反比例函数中档题
二、反比例函数探究题
第21单元二次函数之面积与相似类
一、图形面积类
二、勾股与相似类
第22单元函数综合类
一、根据信息判定函数与应用类
二、“每每型”问题
三、与图象、表格结合的函数综合类
四、函数与统计表
五、较难函数综合题
六、掷球、涵洞类
第23单元函数纯数学类
一、二次函数性质类
二、二次函数与特殊多边形和圆
三、别样“二次函数探究”
第三部分运动与探究
运动与探究解题通法
第24单元简单的动点
一、动点入门
二、简单动点
第25单元单双动点类
一、几何背景的单双动点类
二、抛物线背景单动点题
三、抛物线背景双动点题
第26单元动线类
一、几何背景的动点+动线类
二、函数背景动线类
第27单元图形平移类
一、平移几何图形类
二、平移抛物线类
第28单元折叠与旋转类
一、几何图形的折叠与旋转类
二、抛物线下的折叠与旋转
第29单元识图定速定长类与相似类
一、识图定速、定长类
二、相似类
第30单元变图与变速类
一、动变图形类
二、变速动点
第31单元涉圆动点
一、几何背景涉圆动点
二、函数背景涉圆动点
第一部分证明与探究
你一定能学好几何！
如果你说自己不是学几何的料，这个说法本身就是错误的．因为几何是研究形的，人们对形的认识先于数．由于记录形的多少，计算形大小的需要，数才产生．所以人们对形有一种天生的认知能力．只要是智力正常的人，天生都具备学习几何的能力．
请回忆一下自己的小学，不管你用的是什么版本的教材，数学的学习一定是从形引入的，并且一遇问题老师都要把它转化为形帮助你理解．
现在的中考数学题中，几何题的难度已大大降低了．即使喜欢考几何难题的几个地方，几何难题也仅限于填空题、选择题、解答题三类题目中最后的几何题．因此，对于智力正常，真正想学好几何的人来说，只要努力，拿到80%的分数太正常了．
几何学得不好，虽然人各不同，原因很多，但归纳起来基本是下面三类：
第一、概念不清、定理很乱；
第二、记得住概念，说得上定理，直接用定理的题都会做，但稍加变化或转个弯就不知从哪下手；
第三、遇到需要作辅助线等较难题目时没有思路．
本书的第一部分，就是解决几何问题的证明与探究．
第一类问题产生的原因，是没掌握几何图形的概念、性质与判定．建议你试试下面的方法：
1．见形说名、见名想图、对比记忆．
初中几何研究的图形，在小学都有涉及，学生都知道．象线段、三角形、长方形、正方形……都是以形取名．所以对概念的掌握可以采用下面的16字法就有很好的效果: 顾名思义、看名画形．见名说形、对比区分．
2．依形说性质．
几何中的定理很多，什么性质定理．判定定理、特别容易记乱．我用过一种方法特别有效，这个方法就是：根据形状说性质．
一说性质，就把学生弄懵了，其实对几何图形而言，性质的俗名就是特征，就是长的什么样子．你问平行四边形长什么样子，学生都能说上来，并且要求学生必须按：“边、角、对角线、对称性”的顺序说．开始必如此“教条”，先学招，后忘招．
3．根据特征（性质）想判定法
你是如何在人群中找到自己朋友的？肯定是根据他（她）的高矮、胖瘦、五官等特征来判断的．如何判定一个图形是不是平行四边形？同理！
集合中判定定理的条件都是一个或者几个性质的组合．判断定理必须是性质定理的逆定理！
第二、第三类问题是本书主要研究的了．
如果你真的想学好几何，请回答下面几个问题：
为什么接孩子的家长能从衣服一样、年龄一样从校门口蜂拥而出的学生群中一眼找到自己的孩子？
回答正确！这就是熟悉孩子、心在孩子身上！孩子的一颦一笑，一举一动都已经印在脑海中了．
你知道我想说什么？对！真想学好几何，前提是你得下功夫熟练它、用心去学它，这样方法才起作用．
有什么好方法能让你见到难题有思路、知道怎么做辅助线呢？
有！本书介绍的融通归一法！我的学生说用此法非常有效，你可以看看．
第01单元“融通归一复习法”解释与例举
“联想融通复习法”与“归一复习法”合称“融通归一复习法”．
一、“联想融通”复习法
“联想融通复习法”从以下三个方面实施：
1．找出知识间关系，形成知识网络，实现融会贯通；
2．归纳同一知识在不同背景下的应用，使学生熟悉之，实现融会贯通；
3．一题多解（即用不同的思路、方法或知识解决同一问题）训练思维的灵活性，实现融会贯通．
（一）找出知识间关系，形成知识网络
数学知识是一个紧密的知识体系，知识之间互有区别又密切相连，有的还很相像，有的用运动变化的观点来看又可归为一体，下面举例予以说明．
例1-1-1公式记忆：数学公式很好记，请看例子：
（1）如图1-1-1①，请观察扇形面积公式与三角形面积公式，你有什么发现？你有记住扇形面积公式的好方法了吗？
图1-1-1①
（2）如图1-1-1②请你自己试着把梯形、三角形、平行四边形的面积公式串起来．
图1-1-1②
交流分享：这样做，记公式不成问题！你可以找其他的公式再试试．
例1-1-2 代数相生：请你想想看，数，代数式、方程、不等式、函数间有什么关系？
交流分享：代数是环环相扣，衍生扩展而来的，掌握了它们间的关系，代数就是一个整体，所谓的代数综合只不过是彼此之间的转换而已．
（二）归纳同一只是在不同背景下的应用
你遇到这样的事情吗：一道题，自己没做上来，一看别人做的，感觉挺简单，其实自己也会，只是自己当时没想到某个条件而已．
其实你没想到的那个条件，是因为你对那个条件在这个题目背景下的应用不熟悉！“联想融通复习法”可以解决这个问题．操作方法看下例：
例1-1-3请你想想看，怎样得到两角相等？
?交流分享：设想一下：每个单元学习完毕后都给出一两个关键词，如：数，式，乘法公式，分解因式，方程，平方根，解，整体代入，函数，二次函数，最值…；平行、垂直、中点，等线段、角平分线，三角形，四边形，全等，相似，切线……从“怎样得到、什么时候用”两个维度“联想融通”一下，会是什么效果？！
“你中有我，我中有你；前后照应，八方联系；知识成网，提升能力；融会贯通，掌握彻底．”
（三）一题多解
一题多解有两个含义，其一是有几种不同的答案，其二是用不同的思路、方法、或知识解决相同的问题．本处指其二．
用不同的方法、知识解决同一问题，不仅仅锻炼学生思维的灵活性、发展学生的多想思维能力，更让学生感受与体验到了知识间的关系、促使学生实现知识的融会贯通，因此是重要的“联想融通复习法”．
例1-1-4如图1-1-2，△ABC的中线BE、CD交于点O，求证：BO＝2EO．
图1-1-2
交流分享：本题非常简单，可以面向全体学生，并且证法超多，是训练“一题多解”不可多得的好题！选取的九种证法含：截长补短、构全等、造相似等，方法绝妙！
上确定一点Q，使点Q到D（1，―例1-1-5如图1-1-3，在一、三象限的平分线l：y x
3）、E（―1，―4）的距离之和最小，并求出Q点的坐标．
图1-1-3
交流分享：法一用方程组求出Q点坐标，法二用相似求Q点坐标．不同知识解决同一问题，解决过之后一定深有触动，特别是用几何法解决代数问题，常有美妙之感．例1-1-6如图1-1-4，点E是正方形ABCD的AB边上不与点A、B重合的一点，已知∠DEF＝90°EF交∠CBM的平分线于点F．求证：DE＝EF．
图1-1-4
交流分享：这是一道从2005年起至今年年中考变着法考的好题．造全等、造相似、四点共圆、轴对称，法法堪称精典．
体验与感悟01-1
1．请你用“对角线”把四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形串联起来．
2．请你尽可能多地写出判断垂直的方法．
3．如图1-1-5，已知ABC 中，AB ＝AC ，在线段CA 上截取线段CE （CE ＜CA ），在AB 的延长线上截线段BD ＝CE ，连接DE 交BC 于M ，请你通过观察、测量判断出线段MD 与线段ME 的数量关系，并证明你的结论．
图1-1-5
交流分享：此题有不少于4种方法，再试试．
4．如图1-1-6，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ，将一把直角顶点为F 的等腰直角三角尺的一条直角边与AC 边放在同一条直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．
请你猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想．
图1-1-6
交流分享：此题有不少于6种方法，再试试．
5．如图1-1-7，在Rt △ABC 中，∠ABC =900，BA =BC ，点D 为BC 边的中点，BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点F ，求
FC
AF
的值．
图1-1-7
交流分享：此题有2种以上方法．
6．如图1-1-8，已知在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2．求证AM =DF +ME ．
图1-1-8
交流分享：法一根据F是中点，AB∥CD造与△CDF成中心对称的三角形解决；法二是推出△BCD是等边三角形，两种方法的共同点都是充分利用了菱形对角线平分对角、对边平行且相等的性质．
提醒：请回想一下“联想融通复习法”从哪三个方面入手构建知识网络，打通知识联系的．
二、“归一”复习法
“归一复习法”从以下三个方面实施：
1．照着做．由于对合情推理的考查需要，很多中考证明题、探究题都着力从“方法的不变性”与“结论的不变性”入手编制，故：前面简单的怎么思考，后面难的仍怎么想：前面怎么做，后面就怎么做．所以“照着做”即可解决．
2．多题归一．很多题乍一看背景不同、条件不同、问题不同，但解决问题的着手点都是一样的．这类用同一手段解决的题目，可归一．
3．我解归一．有的题有很多种解法，但这些不同的解法都源于同一知识点，这些不同的解法可归一．
一个题目，有了思路，就基本解决了．“归一复习法”解决的就是这个问题．
（一）照着做
请你先完成下例，再比较，你有什么发现？
例1-2-1 （1）如图1-2-1 ①，已知∠ACD=900，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN
于点B．求证BD+AB CB
（2）当MN绕A旋转到如图1-2-1②和图1-2-1③两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图1-2-1②给予证明．
图1-2-1①图1-2-1②图1-2-1③
交流分享：对比（1）、（2）的证明，思路完全相同，除去小部分外其余“照着抄”即可．“照着做”：即方法不变，有4层意思：
其一：照题目提供的方法做，如阅读理解题、新定义类题、操作探究题等．
其二：照自己解决题目前一问或前两问的方法做．
其三：转化为前一问或前两问题目提供的图形再去做．
其四：用前面的结论．
照着抄：即格式、结论表现出稳定性．
其一：在证明中，前一问用哪两个三角形全等，后面一样用那两个三角形全等；
其二：在证明中，前一问证三角形全等用什么条件，后面基本一样，有变化也是细微的；
其三：即使结论有变，但有一致性，例如：结论由三条线段和的关系变成了三条线段差的关系．它改变的只是加数与和的位置而已．
意义：“照着做！”“照着抄！”——六个字，一下子减轻了学生的畏难情绪、吸引了学生！
（二）多题归一
以下两道题背景不同、问题不同，但解决问题的方法是一样的．解决这类题的通法，就是举一反三中的“一”，抓住这个“一”，就能“举一反三”
请先完成例1-2-2，再找出其通法即“一”．
例1-2-2（1）如图例1-2-2 ①，点P在等边△ABC内，并且P A=3，PB=4，PC=5，则∠APB=_____．
图1-2-2①图1-2-2②
（2）如图例1-2-2 ，已知在五边形ABCDE中，∠BAE=∠BCD=900 ,AB=BC=DE=2，AE+CD=2，则这个五边形的面积等于．
交流分享：这2道题的共性是“都有两条具有公共端点的相等线段，BA=BC”，以公共端点为旋转中心，把一条线段连同它所在的三角形旋转到与另一条线段重合的位置，问题就迎刃而解了．
这2道题的“一”就是：遇两条具有公共端点的相等线段，就以公共端点为旋转中心，把一条线段连同它所在的三角形旋转到与别一条线段重合的位置．
（三）多解归一
一道题，有多种解法，但对不同的解法进行研究后发现：一些解法其实源于同一个关键性的知识点，或一些解法的思路是一致的，我们对这些解法进行归纳、比较，找到其共同点的过程就是多解归一．
请先完成下例，再看看各解法有何共同点．
例1-2-3如图1-2-3，在△ABC中，延长BC到D，使BC=CD，取AB的中点F，连结FD交AC于点E，求AE：AC的值．
图1-2-3
交流分享：这也是一题多解的题目，但它的特点是：五种不同的解法都源于同一种思路，即“见中点，作中位线，用相似．”
特别地，（1）过每一个中点，可作两条中位线得相似；（2）已知两条具有一个公共端点的线段时，连结另外两个端点构造三角形，用中位线定理与相似．
以上的交流分享就在“多解归一”．
多解归一，是抓住数学本质、提升自己能力的关键，是成为数学主人的必须．
体验与感悟01—2
1．题目：如图1-2-4①，点E是ABCD的BC边中点，点F在线段AE上，BF的延
长线交射线CD于点G，若AF
EF
=3,求
CD
CG
的值．
（1）尝试探究：在图1-2-4①中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数
量关系是_______，CG和EH的数量关系是_______，CD
CG
的值是_______．
图1-2-4①图1-2-4②图1-2-4③
（2）类比延伸：如图1-2-4②，在原题的条件下，若AF
EF
= m（m>0），则
CD
CG
的值是_______
（用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移：如图1-2-4③，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，
AE和BD相交于点F，若AB
CD
= a，
BC
BE
=b(a>0, b>0) 则
AF
EF
的值是（用含a，b
的代数式表示）．
2．如图1-2-5，六边形ABCDE是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究P A、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
图1-2-5 3．如图1-2-6，已知OA=OB，OA⊥OB，点D、C分别为OA、OB中点．连结AC，BD 交于点P．求AP：PC的值．
图1-2-6 提醒：请回想一下“归一复习法”是通过哪几种方法抓住“一”来反“三”的．
第02单元平行线类
联想融通：试试看，由“平行”二字你能想起多少相关知识与题目.
平行是两直线最基本的位置关系之一，是最常见背景图形，平行线也是最常用的辅助线.在初中几何中，平行常与中点、角、角平分线、相似（含全等）、特殊四边形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）、等腰三角形、等积转换、平移、函数等知识相结合.本单元只对“通过平行求角、利用平行进行等积转换、平行与函数综合”三类题目进行研究，其它题型，在后面的课时里遇到时再详细研究.
一、知平行求角构造“三线八角”
联想融通：在平行的前提下求角，怎么入手？
名词解释：“三线八角”指两条直线被第三条直线所截成的八个角.
解法归一：利用平行线这个背景，构造三线八角，再结合三角形内角和、
外角关系来解决.
例2-1-1 图2-1-1所示是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得
∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（）
A．120°B．100°C．140°D．90°
图2-1-1 备用图
交流分享：法一是通过延长BC来构造三线八角，发二是通过作平行线构造三线八角.
例2-1-2 （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠BPD，∠B，∠D
的数量关系是________________；
（2）如图2，AB∥CD，则∠BPD，∠B，∠D的数量是关系为__________________；
（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（直接写出，不需证明）；
（4）根据（3）的结论，求图4中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F六个角的和．
交流分享：前三同造三线八角、找内外角关系，第四问最重要的是：在图4中找出类图3的凹四边形（裤衩形），再“用结论！”.
体验与感悟2-1
1．如图2-1-3，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3=（）.
A．50°B．60°C．70°D．80°
图2-1-1 图2-1-4
2．如图2-1-4，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）.
A．20°B．25°C．30°D．35°
3．如图2-1-5，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠AEF，过点F作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF=30°，则∠PFC= ．
图2-1-5 图2-1-6
4、如图2-1-6，五边形ABCDE中，AB//CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）
5、如图2-1-7，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）
A、30°
B、20°
C、15°
D、14°
图2-1-7 图2-1-8
6、如图2-1-8，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（）A．23°B．16°C．20°D．26°
7、如图2-1-9，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、
②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接P A、PB，构成∠P AC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）
（1）当动点P落在第①部分时（如图1），求证：∠APB=∠P AC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时（如图2），∠APB=∠P AC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠P AC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应结论，选择其中一个结论并加以说明．
图2-1-9 备用图1 备用图2
提醒：请回味与感悟一下已知平行线求角的一般方法，哪个题目需要再看看.
二、找（或造）平行进行等积转换
联想融通：同形状改变，面积不变的题目怎么做呢？
解法归一：见到图形的等积转换题目用平行.即：在背景图形中，找到（或作出）平行线，再构造同底等高的三角形进行等积转化.
注意：在大题中，常常是“照着做、用结论！”即：（1）前面怎么做，后面就怎么做；（2）化成前面问题中的图形或和前面问题类似的图形，再按前面的方法做；（3）后面用前面的结论.
例2-2-1 （老梁原创）
探究规律
如图2-2-1①，已知AB//MN,点C在MN上，请在直线AB的上方，找出一个不同于C的点D，画出△ABD，并使得△ABC使与△ABD的面积相等。
（1）点D在____________，AB与CD的位置关系：________________；
（2）△ABC与△ABD的面积相等的理由___________________________；
解决问题
（3）如图2-2-1②中，点B在线段FC上，在线段FC同侧作正方形ABCD 及正方形EFBG，连接AC、EC、AE得到△AEC，如果设FB=a,BC=b,则△AEC的面积等于_____________;
（4）你在图2-2-1③中作出一个和四边形ABCD面积相等的三角形，作法是：
交流分享：本题的（1）知平行，直接根据同底等高面积相等找等积三角形；（2）③连BE后AC//BE，即可得△ABC与△ACE等积；④连BD分割出三角形，然后利用同底等高进行等积转换．
3、已知正方形ABCD的边长为4，E是射线CD上的一个动点，以CE为一条直角边在正方形ABCD的右侧作等腰Rt△CEF．连接BF、FD、BD.
观察计算
（1）①如图2-2-4①，当CE=4时，S△BDF=____；
（2）如图2-2 -4②．当CE=2时，S△BDF=____；
（3）如图2-2- 4③，当CE=8时，S△BDF=____．
图2-2-4①图2-2 -4②图2-2-4③
探索发现
（4）BD与CF的位置关系是_____________；
（5）△BDF的面积与正方形ABCD的面积关系是__________________；
2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 2 π 是 数，不是 数， 7 22 是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）
中考数学总复习资料大全 第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 实数 无理数(无限不循环小数) 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数 │a │ 2 a a (a ≥0) (a 为一切实数) a(a≥0) -a(a<0) │a │=
几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、 实数的运算 1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷5 1×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、 应用举例（略） 附：典型例题 1． 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │=b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， x x 2=x,2x =│x │等。 4.系数与指数 区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 a x b 单项式 多项式 整式 分式样 有理式 无理式 代数式
垂直（直角）类 联想融通：试试看，与垂直（直角）相关的知识与题型能想起多少？ 与垂直（直角）相关的知识极多，如：三线合一、角平分线性质及其逆、三角的比中大数等于两小数之和的三角形形是Rt △、勾股定理、勾股数与特殊三角形（3:4:5，5:12:13，2:1:1，2:3:1，5:2:1，10:3:1等）、见特殊角与三角函数构造直角三角形、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形，正八边形可拼成一个直角、HL 判全等、等腰三角形两腰上高相等、垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、摄影定理及其逆、面积公式可建立方程、轴对称、绕直角顶点旋转三角形形连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90°与自身重合、垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦......还有很多，随便写出30条. 本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类。勾股定理”五个方面进行研究. 一、见过直角顶点的直线 解法归一：见过直角顶点的直线l ，从直角两边上的点分别向直线l 作垂线，必得全等或相似；然后再利用全等或相似进行转换. 例5-1-1 已知△ABC 是直角三角形，AC =BC ，直线MN 经过直角顶点C ，分别过A 、B 作直线MN 的垂线AD 、BE 分别交MN 于D 、E . 图5-1-1① 图5-1-1② （2）如图5-1-1②，当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧时，试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间的关系，并给予证明.
y x O 课时17．二次函数及其图象 【课前热身】 1．将抛物线y =-3x 2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是___________. 2.如图所示的抛物线是二次函数y =ax 2-3x +a 2-1的 图象， 那么a 的值是______. 3.二次函数y =(x -1)2+2的最小值是() A.-2B.2C.-1D.1 4.二次函数y =2(x -5)2+3的图象的顶点坐标是() A.(5，3) B.(-5，3) C.(5，-3) D.(-5，-3) 5.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.a ＞0，b ＜0，c ＞0B.a ＜0，b ＜0，c ＞0 C.a ＜0，b ＞0，c ＜0D.a ＜0，b ＞0，c ＞0 【知识整理】 1.解析式： (1)一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) (2)顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)，其图象顶点坐标(h ，k ). (3)两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)，其图象与x 轴的两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0). 注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得.若已知抛物线的顶点和
y x O 对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式. 2.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质 a ＞0 a ＜0 图象 开口 对称轴 顶点坐标 最值 当x =_______时，y 有最 _____值为________. 当x =_______时，y 有最 _____值________. 增 减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 在对称轴右侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 3.二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________. 4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成y =a (x -h )2+k 的形式，其中 h =____，k =________. 5.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和y =ax 2图象的关系.
中考数学总复习资料---代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ???? ?? ?? ????????????? ???? ?????????????????? ??无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成 q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是 a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?? ????==0 ,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ± 叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2020年中考数学总复习二十个专题知识复习讲 义（精华版） 中考总复习1 有理数 知识要点 1、有理数的基本概念 (1)正数和负数 定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。 2、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 3、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。
4、绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a |=a ； 如果a =0，那么|a |=0； 如果a <0，那么|a |=-a 。 a =|a |所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a ≥0。 5、倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 1a a =所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 6、数的比较大小 法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：43421Λa n n a a a a 个???=读作a 的n 次方（幂），在a n 中，a 叫做底数，n 叫 做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 8、科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式(其中a 大于或等于1且
中考数学高频考点专题突破与提升策略（二次函数） 考点一：二次函数图像信息题 一.解决函数图象问题的一般步骤: 1.弄清题意,分析函数自变量的取值范围及分段. 2.分析各段上的函数的变化趋势. 3.确定函数表达式,根据函数的图象与性质作出判断. 二．典型题专练 1. 如图,下列各曲线中能够表示y是x的函数的是( ) 2. 小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校.小明从家到学校行驶路程s(m)与时间 t(min)的大致图象是( ) 3.如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度运动,到达点C运动终止,连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( )
4. 如图,在正方形ABCD中,AB=3 cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm 的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2 cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是 ( ) 考点二：二次函数的图象和性质 =ax2+bx 1.已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y 1 与一次函数y =ax+b的大致图象不可能是( ) 2 2.抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到的( ) A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位 B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位 C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位 D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位
中考数学专题复习 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：2π是 数，不是 数，2 π 是 数，不是 数。 2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、 b 互为相反数2π 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数2π 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 2π = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 无限不循环小数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）
2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。 1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±2π ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。 2、若x 3=a,则x 叫做a 的 ，记做2π ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。 【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】 【重点考点例析】 考点一：无理数的识别。 例1 （2012?六盘水）实数2 π 中是无理数的个数有（ ）个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解：2π，所以数字2 π 中无理数的有：2π ，共3个． 故选C ． 点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。 对应训练 1．（2012?盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ B ） A ．0 B ．2π C ．﹣2 D ． 2 π 考点二、实数的有关概念。 例2 （2012?乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ） A ．﹣500元 B ． ﹣237元 C ． 237元 D ． 500元 解：根据题意，支出237元应记作﹣237元． 故选B ． 点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 例3 （2012?遵义）﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 4 解：∵﹣（﹣2）是﹣2的相反数，﹣2＜0，∴﹣（﹣2）=2． 故选B ． 点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 例4 （2012?扬州）﹣3的绝对值是（ ） A ．3 B ． ﹣3 C ． ﹣3 D ． 2 π 解：﹣3的绝对值是3． 故选：A ． 点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2019 届中考数学专题复习讲义方程（组）与不等式（组） 方程（组）与不等式（组）是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识， 应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程（组）与不 等式（组）的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定 理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组）来解决，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 近几年中考注重对学生“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分 析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问 题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。 方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，有的已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组） 的试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确． 类型之一根据图表信息列方程 ( 组 ) 或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于 得到数量之间的关系。 1.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也 相等，则一块巧克力的质量是g． 2.教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献 一束鲜花，每束由 4 支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征 尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、 二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格． 3.某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶ 20~12∶ 00，下午 14∶ 00~16∶ 00，每月25 元； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60 件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数 ( 件 ) 所用总时间生产乙产品件数 ( 件 ) ( 分 ) 1010350 3020850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得 1.50 元，每生产一件乙产品可得 2.80 元．根据以上信息，回答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
专题33 最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式 二次函数y ax bx c =++2 （a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。y ac b a max =-442。 2.一次函数的增减性 一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。 3. 判别式法 根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得?≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质 在实数范围内，显然有a b k k 2 2 ++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 2 2 ++的最小值为k 。 6. 零点区间讨论法 用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解 在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。 8. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。 专题知识回顾 专题典型题考法及解析
2011年中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点: 一、实数的分类: ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 １、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式,其中ｐ、ｑ是互质的整数,这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数,如１.10100100010000１……；特定意义的数,如π、45sin °等。 ３、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1）实数a 的相反数是 -a; (2）a 和ｂ互为相反数?ａ+b ＝０ 2、倒数: (１）实数a(a ≠０）的倒数是a 1;(2)a 和b 互为倒数?1=ab ；(3）注意0没有倒数 ３、绝对值: (1）一个数ａ 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a (2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认,再去掉绝对值符号。 ４、n 次方根 （1)平方根，算术平方根:设a ≥0,称a ±叫ａ的平方根，a 叫a 的算术平方根。 (2）正数的平方根有两个,它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。 (3)立方根:3a 叫实数ａ的立方根。
中考数学复习建议 1 中考数学复习 经过本人对成都历年中考的分析以及解剖觉得，若要在中考数学轻松的高分，以及对高中数学打下牢实的基础，一下几个过程不可少。 无论你来自成都市还是成都附近的，都有自己的梦想的高中学校：四七九中、成外、实外、新都实验一中、新津一中、棠湖中学。。。。。。希望这个小小的总结能帮你实现梦想。 一、近年成都市中考试题分析 为了更好地做好中考复习，首先应对近年成都市中考试题作必要的分析. 1．整体特点 （1）主要考查重点知识点，无偏题怪题； （2）试卷结构、题型保持较平稳，但在不断寻求变化，推陈出新； （3）A卷除最后一题（20题）外，整体较简单、运算量也较小；B卷难度较大，区分度明显，充分体现选拔功能. 2．考点分布及分值统计 按国家初中数学学业考试命题指导研究组的要求：初中数学学业考试整卷应涉及全部二级知识点，即数与式、方程与不等式、函数、图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明、统计、概率．三级知识点（共45个）的覆盖率不能低于85%．下表是近三年成都市中考数学试题中，“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”三大板块分值占比情况的统计：
3、考点分析 从上表不难看出很多考点每年都考，且题型大体不变 ●选择、填空题常见考点： (1)科学计数法； (2)整式（幂）的运算； (3)函数自变量取值范围； (4)三视图； (5)几何变换与坐标； (6)与圆有关的角度或长度计算； (7)与圆锥有关的计算； (8)众数与中位数. ●计算题常见类型： (1)实数运算(含特殊角三角函数)； (2)分式运算； (3)整式运算； (4)解不等式组； (5)解方程. ●解答题常见题型： (1)一次函数与反比例函数的综合； (2)用列表法或树状图求概率； (3)解直角三角形的应用； (4)以四边形为基架，结合全等或相似的证明与计算； (5)现实情景应用题； (6)以圆为基架的综合题； (7)以二次函数为基架的综合题. 4．命题趋势 （1）淡化纯概念和文字命题的考查（2）渗透参数思想，强化符号运算
中 考 总 复 习 专 题 汇 总 反比例函数 【反比例函数的性质——增减性】 1．点A(2,1)在反比例函数x k y 的图象上，当1
9.如图,一次函数y=-x+b 与反比例函数x k y (x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1). (1)填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 ；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围. 10.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上,点B 的坐标为(2,3).双曲线x k y (x>0)的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE.(1)求k 的值及点E 的坐标；(2)若点F 是OC 边上一点,且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 的解析式 11．如图,一次函数y 1=k 1x+2与反比例函数x k y 22 的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2)，与y 轴交于点C 。(1)k 1= ,k 2= ；(2)根据函数图象可知,当y 1>y 2时，x 的取值范围是；(3)过点A 作AD ⊥x 轴于点D,点P 是反比例函数在第一象限的图象 上一点.设直线OP 与线段AD 交于点E,当S 四边形ODAC :S △ODE =3:1时，求点P 的坐标. 12.如图,反比例函数x k y (k ≠0,x>0)的图象与直线y=3x 相交于点C, 过直线上点A(1,3)作AB ⊥x 轴于点B,交反比例函数图象于点 D,且AB=3BD.(1)求k 的值；(2)求点C 的坐标；(3)在y 轴上确定一点M ， 使点M 到C. D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标.
中点类 联想融通：试试看，与中点有关的知识与题目能想起多少？ 中点等分线段，是线段的对称中心、是线段中垂线的垂足，进而得到等腰三角形三线合一、垂径定理、中点加平行可出现全等三角形、相似三角形，过中点的中线等分该三角形面积、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、由两条同圆直径共中点得矩形；由圆弧中点可得相等的圆心角、圆周角、角平分线...... 本单元只对“中线等分三角形面积、等腰三角形底边上中线、直角三角形斜边上中线、见中点造全等、见中点作中位线”五个方面进行研究. 一、中线等分三角形面积 我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法. 解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决. 例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l-1③中△ABC的面积四等分． 图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③ 交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分. （2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分. 图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥ 交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.
例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO 与△FHO面积相等的理由； （3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法． 图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③ 交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线. 体验与感悟03-1 1、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．” （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________； （2）平行四边形的一条面积等分线是________； （3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线．
2020年中考数学考点提分专题二十四 计算能力提升（解析版） （时间：90分钟 满分120分） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（2019· x 的取值范围是（ ） A ．x≥4 B ．x ＞4 C ．x≤4 D ．x ＜4 2．（2019·湖北初二期中）已知3y =，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．15 2 - D ． 152 3．（2019·四川中考真题）若:3:4a b =，且14a b +=，则2a b -的值是（ ） A ．4 B ．2 C ．20 D ．14 4．（2019·湖北中考真题）已知二元一次方程组1249x y x y +=??+=? ，则2222 2x xy y x y -+-的值是（ ） A ．5- B ．5 C ．6- D ．6 5．（2019·甘肃中考真题）1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2- B ．3- C ．4 D ．6- 6．（2019·湖南中考真题）下列运算正确的是（ ） A = B = C 2=- D 3= 7．（2019·重庆中考真题）估计( ） A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间 8．（2019·陕西初三期中）关于x 的一元二次方程2 (2)210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m < C ．3m <且2m ≠ D ．3m ≤且2m ≠ 9．（2019·湖北中考真题）若方程2240x x --=的两个实数根为α,β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．-4 10．（2019·重庆市万州第二高级中学初三期中）在△ABC 中，若21 cos (1tan )2 A B - +-=0，则∠C 的度数
2019-2020 年中考数学二轮专题复习：信息题教学资料 【简要分析】 信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题． 解答信息题时， 首先要仔细观阅读题目所提供的材料， 从中捕捉有关信息 （如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等） ，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解． 【典型考题例析】 例 1：长沙市某公司的门票价格如下表所示． 购票人数， 1~50 人 51~100 人 100 人以上 票价 10 元 /人 8 元 /人 5 元 / 人 某校初三年级甲、乙两个班共 100 多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有 50 多 人，乙班不足 50 人．如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付 920 元；如果两个班 联合起来作为一个团体购票，一共只付 515 元．问甲、乙班分别有多少人？ （ 2005 年湖南省长沙市中考题） 分析与解答 通过阅读题中文字和力表信息可知， 门票的价格是根据人数多少分段定价 的甲班人数超过 50 人，门票的价格是 8 元 /人，乙班人数不足 50 人，门票价格是 10 元 /人． 设甲、乙两班分别有 x 人和 y 人，依题目意，得 8x 10y 920 x 55 5x 5 y ．解得 515 y 48 答：甲班有 55 人，乙班有 48 人． 说明： 本题书籍条件由图表给出， 题型新颖，是近年来的热点题型． 解这类问题要学 会读懂图表信息，分析题设与图表信息的联系，巧设未知数，建立方程或方程组求解． 例 2：张欣和李明相约到图书城去买书，请你根据全心全意的对话内容（图 2-4-4 ），， 图出李明上次买书籍的原价． 分析与解答 本题是一道图形信息题， 懂图中两人对话的内容，理清其中的数量关系． （ 2005 年安徽省中考题） 所有有都是以漫画形式给出的， 解题的关键是读 设李明上次购书的原价是 x 元，根据图中的信息，可得 0.8x 20 x 12 ．
状元廊数学思维方法讲义之六 年级：九年级 2019-2020 年中考数学第一轮思维方法复习讲义：第 6 讲中期专题训练 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 21．如果 a 、 b 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 a 3 a 2 b ab 2 b 3 的值为 ． 22．已知 x 关于的方程 x 2 3x 2k 1 0 有实数根，反比例函数 y 1 2k 的图像在各自象限内 y x 随 x 增大而减小，则满足上述条件的 k 的整数值为 ． 23．如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ C=90o ， D 是 BC 的中点，将 △ABC 折叠，使 A 点与 D 点重合， EF 为折痕，则若 sin ∠ BED 的值为 ， DE 的值为 。 DF C F D A E B 23 小题图 24 小题图 25 小题图 二、（共 8 分） 26．建设北路街道改建工程指挥部， 要对该路段工程进行招标， 接到了甲、 乙两个工程队的投标书 . 从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 2 ； 3 若由甲队先做 10 天，则剩下的工程由甲、乙两队合作 30 天就可以完成 . （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （ 2）已知甲队每天的施工费用为 0.84 万元，乙队每天的施工费用为 0.56 万元 .工程预算的施工 费用为 50 万元 .为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工 程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由 . 24．Rt △ABC 中， AB =AC ，点 D 为 BC 中点．∠ MDN =90 °，∠ MDN 绕点 D 旋转， DM 、DN 分别与 边 AB 、AC 交于 E 、F 两点．下列结论：① BE+CF = 2 1 AD ·EF ， BC ，② S AEF S ABC ，③ S 四边形AEDF 2 4 ④ AD ≥EF ，⑤ AD 与 EF 可能互相平分。其中正确的结论是 （填番号） 25．如图， 点 A ，B 为直线 y=x 上的两点， 过 A ，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y k （ x ＞ 0） x 于 C ，D 两点．若 BD =2AC ，则 4OC 2－ OD 2的值为 _________.
2018 中考数学考点专题提升训练 目录： 专题提升（一）数形结合与实数的运算2——4 专题提升（二）代数式的化简与求值5——7 专题提升（三）数式规律型问题8——12 专题提升（四）整式方程（组）的应用13——18 专题提升（五）一次函数的图象与性质的应用19——25 专题提升（六）一次函数与反比例函数的综合26——32 专题提升（七）二次函数的图象和性质的综合运用33——36 专题提升（八）二次函数在实际生活中的应用37——41 专题提升（九）以全等为背景的计算与证明42——46 专题提升（十）等腰或直角三角形为背景的计算与证明47——53 专题提升（十一）以平行四边形为背景的计算与证明54——60 专题提升（十二）与圆的切线有关的计算与证明61——65 专题提升（十三）以圆为背景的相似三角形的计算与证明66——72专题提升（十四）利用解直角三角形测量物体高度或宽度73——78专题提升（十五）巧用旋转进行证明与计算79——83 专题提升（十六）统计与概率的综合运用84——89
专题提升（一）数形结合与实数的运算 类型之一数轴与实数 【经典母题】 如图Z1—1,通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把二和—?二表示在数轴上. 图Z1 — 1 【中考变形】 1. ［北市区一模］如图Z1 —2,矩形ABCD的边AD长为2, AB长为1,点A在数 轴上对应的数是一1,以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E,则这个点E表示的实数是（）
图Z1 — 2 A. 5+ 1 B. 5 C. 5—1 D . 1—,5 2. ［娄底］已知点M , N, P, Q在数轴上的位置如图Z1 —3,则其中对应的数的 绝对值最大的点是（） 图Z1 —3 A. M B. N C. P D. Q 3. ［天津］实数a, b在数轴上的对应点的位置如图Z1 —4所示，把一a,—b, 0
数学中考总复习 数学中考总复习YOUXUE ZHONGKAO ZONGFUXI 数 学专题训练1 三角板与作图
1. 如图Z1-1，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°，则∠2= .2.将一副直角三角板按如图Z1-2的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠a= .3. 已知a//b，某学生将一直角三角板按如图Z1-3放置，如果∠1=40°，那么∠2= .4. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）.55° 75° 50°B
5. 已知△ABC（AC
8.如图Z1一5，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E， 5 连接DE.若BC=10cm，则DE= cm. 10.如图Z1-7，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于。AC长为 半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则AC= .
11.如图Z1-8，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的 顶点上. （1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2/2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长. 解：（1）如图Z1-8T，矩形ABCD即为所求； （2）如图Z1一8T，△ABE即为所求，CE=4.
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