对量子力学中态叠加原理的探讨
对量子力学中态叠加原理的探讨
摘要：量子力学对于现在的我们来说是一门新兴的学科，在这门学科中我们还有很多的前沿领域需要我们去探索发现，量子力学中态叠加原理就是我们要探讨的一小部分。在量子力学中我们主要探讨的是态叠加原理的推导、几种不同的表述、以及它在量子力学中的作用，在讨论中我们运用了一些物理学家的结论，也便于我们对态叠加原理的推导。
关键词：量子力学的发展史、态叠加原理的表述推导、综合性论述、量子态
1.量子力学的发展史 .................................... 错误！未定义书签。
1．1量子力学的起源 ................................ 错误！未定义书签。
1．2量子力学的发展 ................................ 错误！未定义书签。
2.态叠加原理得出的过程 ................................ 错误！未定义书签。
2．1在量子力学中对态叠加原理的诸多推导 ............ 错误！未定义书签。
2．2不同学者对叠加原理的表述的差异 ................ 错误！未定义书签。
2．3态叠加原理有什么作用 .......................... 错误！未定义书签。
3.对态叠加原理的综合性论述 ............................ 错误！未定义书签。
3．1对于以上学者不同论述的分析 .................... 错误！未定义书签。
3．2对态叠加原理的总结性论述 ...................... 错误！未定义书签。参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。
1. 量子力学的发展史
1．1量子力学的起源
量子力学的发展是一段错综复杂史，在这段历史中，成功与失败并存，喜悦与困惑相伴，可以说是“百年风雨相伴”。[]1
文艺复兴时期迎来了近代自然科学的黎明，“物理学家摒弃了哲学的思想，通过运用实验等科学性的方法探索大自然”。而通过这种形式获得的第一次成功就是推翻了当时的托勒密体系并建立了哥白尼体系，经过多位科学家的努力初步完成了对天体运动的探索。另一方面，以比利时布鲁日的史特芬发展起来的静力学，由伽利略发现的动力学，共同形成了静动两种力学体系。在17世纪，由英国的物理学家牛顿将天体运动学与地上运动通过万有引力定律和牛顿三定律结合在一起，在当时这在物理学的发展史中具有划时代的意义。
19世纪中叶，在实验和理论上都为建立经典电磁理论做好了充分的准备。并且，随着库伦、高斯、安培和法拉第等物理学家们先后建立了自己的物理理论，这几个定律和场的概括已为电磁学理论取得突破性进展奠定了重要基础。在19世纪60年代中期，麦克斯韦站在巨人的肩上研究与总结出了电磁场理论，得出了麦克斯韦方程组，这一结论的得出在当时又是一次很大的飞跃。
经典物理学的成功把人们带到了物理学的理想大厦，认为物理学体系完美无缺，已不需要任何的突破了。然而，19世纪末20世纪初，这种美妙的感觉一下子被打破，随着黑体辐射，光电效应等物理问题的解决出现了瓶颈，曾经让人遐想已久的物理学城堡，已经摇摇欲坠，摆在当时学者面前的是实实在在的两座大山，其中的一座在后来就引入了量子力学的诞生。
1．2量子力学的发展
在两朵乌云的笼罩下，物理学家们开始了他们继续的探索，在光电效应、黑体辐射、固体在低温下得比热等物理现象中，用经典物理学无法解释。科学家们才恍然大悟，原来现阶段所发现的物理学还存在许多的局限性，于是在历史条件的局限
下，物理学家们通过他们的聪明才智，发现了光的波粒二象性，原子结构的量子论等等，这些成果都未能真正反映微观世界的本质，直到，20世纪20年代，量子理论才真正的走入正轨。而后，普朗克提出的辐射量子假说，得出普朗克常数；爱因斯坦引进光量子，得出光电效应：卢瑟福在核原子模型的基础上建立了原子的量子理论；薛定谔总结出薛定谔方程，这样就把经典力学与量子力学紧密的联系在一起……以及在20世纪后半叶以来，量子力学的理论与应用都有了很大的进展，如在与霍尔效应有关的朗道能级问题，两种相位，与电磁场矢势有关的啊哈罗诺夫-波姆相位和含时缓变场中的贝利相位等等，一些新的研究成果，量子力学就这样在不断的摸索中前进。[]2
2. 态叠加原理得出的过程
在物理学中态叠加原理存在于各种应用中，电磁学中有场的叠加原理，光学中有光波的叠加原理，电路中有电流的叠加原理。那么，在物理学的前沿领域的量子物理学中是否也存在叠加原理呢？
图1 光的波形图
从图1中我们可以看到，波的每一个状态中的图形，在n=4，n=3,n=2各个图形的
累计叠加我们可以得出n=1时的图形，这就是关于波函数的一种叠加原理。那么，它的叠加原理是如何推导出来的呢？它的表述又是怎么来用文字表达的，等等的这些问题需要我们后人站在前人的肩膀上去探讨发现。现在让我们带着这些问题去探讨物理学的这些未知的情况。
2．1在量子力学中对态叠加原理的诸多推导
态的叠加的概念，也是从具体沿线相中综合概括出来的。
电子双缝实验
在双缝后的干涉区域，既可测到来自缝1的态|A>，也可测到来自缝2的态|B>，而电子在此区域的态|C>是这两个态的叠加，可以写成 |C>=|B>+|A>。
Rutherford 散射实验
在散射实验中可以看到向各个方向散射的а粒子，这样出射态︱а>就是每个方向的散射态|p>的叠加，即可以写成 |a>=∫|p>dp公式。
偏振光实验
偏振光实验是运用了光学中的实验方法，来对态叠加原理进行推导，实验如下“对于偏振方向在x y平面上某一方向的偏振态|p>，我们可一用偏振片来测量，我们既可测得在x轴方向的偏振态|x>，也可测得在y轴方向的偏振态|y>，偏振态|p>是这两个态的叠加，可以写成 |p>=|x>+|y>”。
极化原子束的Stern-Gerlach实验
用自旋投影取某一方向的银原子束射入不均匀磁场，设射入前的自旋态为|S>，其自旋与磁场梯度方向成一角度。出射束一般会分成自旋向上和自旋向下的两束，所以自旋态是这两个态的叠加，可以写成 |S>=|↑>+|↓>
态的叠加
我们可以把态的叠加定义为：已知物理系统的两个态|A>和|B>，如果在系统中存在这么一个态|R>，在测量过程中，测得|A>的结果呈一定的概率，测得|B>的结果呈一定的概率，除此上述两种结果外再无其他结果，则我们就称|R>态为|A>与|B>
态的线性叠加，记为 |R>=|A>+|B>。[]3
2．2不同学者对叠加原理的表述的差异
在量子力学发展历史中，尤其是在现在的一些书籍论著和文献中，不同的研究者对态叠加原理的描述有所不同。
⑴狄拉克的表述
最先发现态叠加原理的是狄拉克,他在20世纪30年代初出版的第一版《量子力学》中就得出了在研究对象中的态受许多条件或数据的制约而未受到干扰的运动。[]4在实践中，对于上述条件可以通过恰当的系统作用上去，态有两种定义，其一可以用于指某一特定时刻的态，其二也可以为作用以后的全部时间的态，为了区别这两种含义，在不容易产生混淆的前提下，我们将把后一种态叫做运动态，态叠加原理这一理论的表述，狄拉克则总结出了“当一个系统处于一个量子态时，则我们可以把它看成在这个态中的每一块可以存在两个态、三个态或者更多的态中的每一个小的单元”。[]5这是狄拉克认为的态叠加原理的表述。
⑵布洛欣采夫的表述
如果任何一个体系即可以在由波函数1ψ表示的态中找到，又能在2ψ表示的态中找到，则它也可能在波函数2211ψ+ψ=ψc c 所表示的态中找到，这是布洛欣采夫对态叠加原理的一种表述。[]6
⑶曾谨言的表述
曾谨言在他的《量子力学》一书中讲到：“让学生们理解态叠加原理的理论，更加简单明了的讲，就是如果一个体系处于1ψ所描写的状态，测量力学量A 得到一个确切的结果为a ，而在2ψ描述的状态下，测量A 的结果是另外一个确切的值b ，则在2211ψ+ψ=ψc c （其中c 1和c 2是两个常数）状态下，a 、b 是都有可能是所测
值为A 的结果（但不会是另外的值），并且测得的a 、b 的概率是确定的。‘那么ψ态就是1ψ态和2ψ态的线性叠加，如果按此要求，波函数随时间演化的方程，即波动方程，表现在Schrodinger 方程中，要求哈密顿算符为线性算符。曾谨言教授对态叠加原理的理解为：“波的相干叠加与用波函数完全描述一个微观体系的状态，这两个理论的概括总结”。[]7
⑷喀兴林的表述
“假设ψ态和Φ态都是粒子的可能状态，则Φ+ψ=ψb a 也是粒子的可能状态”。这是喀兴林对态叠加原理表述的理解。[]8
2．3态叠加原理有什么作用
态叠加原理在量子力学中的作用不容小视，它对于量子力学初学者们是很容易引起困惑的。人们可能会问，既然态叠加原理这么重要，为什么在量子力学中没有作为第六个基本假设被提出来呢。这个问题很少有人讨论，在这里，我把我自己的一些看法与意见与大家进行分享，并且我们共同探讨，共同进步。
一般认为，量子力学的理论体系是由五个基本假设构成的：（1）首先，波函数具有单值性、有限性与连续性这三个条件时才能成为波函数；其次，可用波函数描述体系的性质，可以永波函数作为体系的数学方程的形式；（2）从
σd c c s s n
n n n Φ+Φ=ψ?∑=0公式中，可以看出，在ψ态中测量力学量F
?得到结果为σ的概率是2c ，得到结果在σσσd +→范围内的概率是σd c 2
；（3）力学量可以用算符来表示；（4）体系的波函数满足薛定谔方程：ψ=ψH dt d ih ?；（5）粒子的全同性原理。[]2对于一般的思维的人们，通过量子力学的五大假设以及薛定谔方程等量子力学理论体系，态叠加原理才能总结出来，下面我给大家列出一些证明。首先要说明的是量子力学中的力学量算符是线性的。
设算符F 为某一力学量算符，则它是厄米算符，即有
()
σσd F d F ψΦ=ψΦ**???? 其中Φ，ψ是任意函数。令函数 ψ=c 1ψ1+c 2ψ2，并代入以上的积分，则有
()()()σσd c c F d c c F 22112211??ψ+ψΦ=ψ+ψΦ?? (1) ()()σσσσd F c F c d F c d F c d c c F ????ψ+ψΦ=ψΦ+ψΦ=ψ+ψΦ2
21122112211????? (2) 由于Φ为任意函数由（1）（2）可得
()22112211???ψ+ψ=ψ+ψF c F c c c F
由此可得，表示力学量的算符是线性的，即力学量算符是否线性叠加原理有
关系，而在一些教科书上认为力学量算符的线性特性是态叠加原理直接结果，我
们认为这种说法是不妥当的。由于H 是厄米算符，若1ψ及2ψ是薛定谔方程
t
iE H σσψ=ψ?的解，可以导出2211ψ+ψc c 也是薛定谔方程的解，即1ψ及2ψ瑟吉欧体系的可能态。那么2211ψ+ψc c 也是体系的一个可能态。因此，态叠加原理是由波函数假设、薛定谔方程等得出的自然结果，所以它没有作为量子力学的基本假设而得出。事实上，在一些经典的书籍上也没有说道这一原理。
在当时的学者们中就有人把薛定谔方程
的得出是游态叠加原理线性来决定的。而且，态叠加原理和薛定谔方程的关系与经典力学中的态叠加原理和牛顿运动定律在某种程度上有一定的联系。对于这个结论，我们可以给出其依据来，由于在经典力学中，波动方程是通过牛顿定律推导出，因此，经典力学的态叠加原理是牛顿运动定律的直接结果。同样的，在量子力学中薛定谔方程通过波函数假设以及算符假设可以推导出态叠加原理。虽然在量子力学中我们经常用的是薛定谔方程来计算诸多问题，可见他在量子力学中占得比重是多么的重要，但是如果没有态叠加原理的推导薛定谔方程是不会拥有现在的地位的。因此，说态叠加原理在量子力学中甚至整个物理学中的地位是相当重要的，这是无可厚非的事实。
3. 对态叠加原理的综合性论述
3．1对于以上学者不同论述的分析
在上面我们的列举、讨论中可以看出，物理学家们对于态叠加原理的认识存在着很多的分歧。这对于我个人认为原因不外乎两点：其一，由于经典物理学对我们的影响特别的深，我们的思想观念中或多或少都会存在着它们的影子，发现这一问题的科学家中就有狄拉克，他认为量子力学中的态叠加在性质上不同于其他情况下的叠加，在量子力学中的这种叠加是非常抽象的概念，他与人们的日常思维往往背道而驰，难以让人们一下就能接受。就正如上面我们讲到的，对态叠加原理的不同表述，各有千秋，各有道理，分歧出现在哪呢？分歧其实就是由于有的学者把经典力学中的一些思想，全部灌输到量子力学这一门深奥的学科中来。因此，这是物理学家们对态叠加原理的认识出现分歧的一个原因，好在随着科学知识的不断丰富，学者们也越来越认识到了事情的真理，对一些过去的谬论也就一一推翻了；再一个就是，文章起初我们就给大家讲到，量子力学跟其他物理学科相比，他应该是一门最近几十年才兴起来的科目，新兴科目要想有所突破，就不免存在一些还未解决的问题，它的结论主要是以一些基本的假设为前提，通过实验与推理而总结出来的理论体系。然而对于这些基本的假设的物理基础，我们现在还不是特别的确定。这就是我们说的存在分歧的两个方面。不过量子力学并不是它的终极理论，他还需要我们一代一代的努力的去探索，随着科学的发展人类知识的丰富，我们还需要建立加完善的理论体系，为更进一步的研究铺垫道路。[]9
3．2对态叠加原理的总结性论述[]10
在以上我们对于量子力学的讲解中，我们学到了量子力学的发展史，；我们在总结前人的经验与教训的基础上，我们总结出了态叠加原理。并且，在我们上文讲到的，对于态叠加原理表述的不同形式，我们从中学习到了引起这种分歧的两大问题，通过对本篇文章的阅读，能让我们对量子力学有了更进一步的了解，对态叠加原理有了更深入的认识，对以后在量子力学方面的研究会有更高的突破，有更高的造就。
参考文献：
[1]王正行.量子力学原理[J].北京大学出版社，2004，3：15-17.
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[4]Dirac. The principle of quantum mechanics [J]. Beijing Science Press，2004，24：142.
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[6]Blokhince J. quantum mechanics [J]. principle of people’s Education press,1956:75.
[7]曾谨言.量子力学[J].北京科技出版社，2008，2：123-131.
[8]喀兴林.谈谈量子力学的状态叠加原理.大学物理，2006，25（6）.
[9]关洪.关于量子力学中态叠加原理的讨论.大学物理，2007，26（1）.
[10]刘汉平，刘汉法.关于量子力学态叠加原理的讨论.自然科学报，2005，19（4）.
Discussion on The Principle of Superposition of States
in Quantum Mechanics
Summary:Quantum mechanics for us now, is an emerging discipline, we have
a lot of the frontier areas we need to explore in this subject, in quantum mechanics. This is the principle of superposition of States and I'll have a small part to explain. Although, in this discipline is not the Schrodinger equation as important, however, it is the basis of knowledge of these important knowledge point, in this paper I mainly explain for everybody is the principle of superposition of the expression of several derivation, a variety of different ways, and it has been in the course of action, finally, general summary of it, so that people can be concise and comprehensive understand of the knowledge points.
Keyword:The development history of the quantum mechanics,Principle of superposition of states，L quantum state,wave-particle dualism, Schrdinger equation.
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ
称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ
《量子力学》课程教学大纲
《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射
量子力学 第一章 态矢量
序章基本背景知识 1、量子力学得基本要素就是:「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」(简单解说:粒子在任一时刻都具有一个「状态」,粒子具有得某些可测量得性质(位置、动量、角动量、自旋,etc)称为「可观测量」,而测量粒子得这些性质得过程就就是「观测行为」,俗称“做实验”) 2、初等量子力学得任务就是: (1)预测「对一个系统(“态”)进行实验(“观测”)得到得实验结果(观测结果)」 (2)寻找“态”随时间得「演化」规律 3、从旧量子论到现代量子力学: (1)普朗克能量量子化假设(1900年) (2)爱因斯坦光量子假说(1905年) (3)光得波粒二象性(1909年) (4)玻尔模型(1913年) (5)斯特恩-盖拉赫实验(1922年) (6)德布罗意假设:物质波假说,粒子动量(1924年) (7)乌伦贝克-古兹米特自旋假说;泡利不相容原理;海森堡-矩阵力学(1925年) (8)薛定谔-波动力学(1926年) 波函数统计诠释:就是概率密度函数,(1926年) (9)海森堡不确定性原理;玻尔得互补原理:观测影响状态(1927年) (10)态叠加原理;《量子力学原理》(狄拉克,1930年) 4、量子力学与经典力学得比较: 量子力学经典力学 研究对象在t时刻得位置 无法确定 只能确定在得出现概率 可以确定 t时刻得动量与速度 无法确定,速度无意义 只能确定具有得概率 且不可同时确定位置与动量 位置、动量与速度 同时确定 研究对象得状态得描述波函数(复函数) 或态矢量(复矢量) (实矢量函数) 状态得 演化方程 薛定谔方程(复系数方程) 牛顿第二定律(实系数方程)
简述建立量子力学基本原理的思想方法
简述建立量子力学基本原理的思想方法 摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。 关键词：量子力学；力学量；电子；函数 作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设 玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性 它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的
量子力学期末考试知识点+计算题证明题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
量子力学的基本概念
一、量子力学及其意义和作用 量子力学：是研究微观粒子运动、变化基本规律的科学。 由于宏观物质全部是由微观物质组成的，宏观世界全部建立在微观世界之上，量子力学便无处不在、普遍适用。“整个世界是量子力学的！” 物理学四大力学（理论力学、热力学与统计物理、电动力学、量子力学）之一。 自从量子理论诞生以来（1900年12月14日），它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和触发人类物质文明的大飞跃。例如，可以把所有学科名称前面冠以“量子”————quantum二字，就会发现：已经形成或将要形成一门新的理论、新的学科。 光学—量子光学化学—量子化学 电子学—量子电子学生物学—量子生物学 电动力学—量子电动力学宇宙学—量子宇宙学 统计力学—量子统计力学网络—量子网络 经典场论—量子场论信息论—量子信息论 计算机—量子计算机 就连投机家所罗斯的基金会也时髦的冠以“量子”二字：“量子基金会”一百年（1901—2002）来总共颁发Nobel Prize 96 次（其中1916,1931,1934,1940,1941,1942共6年未颁奖）单就物理奖而言：直接由量子理论得奖或与量子理论密切相关而得奖的次数有57 次（直接由量子理论得奖25次 量子力学自20世纪20年代创立以来，直到现在，已逐步成为核物理、粒子物理、凝聚态物理、超流和超导物理、半导体物理、激光物理等众多物理分支学科的共同理论基础。自20世纪80年代以来，量子力学又有很大发展：量子信息科学（量子计算、量子通信）目前，它正在向材料科学、化学、生物学、信息科学、计算机科学大规模渗透。不久的将来它将会成为整个近代科学共同的理论基础。国家中长期科学技术发展规划：量子调控计划二、历史的回顾 19世纪末，一些物理学家认为：辉煌的物理学大厦已经建成！ Kelvin勋爵：物理学的天空上漂浮着两朵乌云： 麦克尔逊—莫雷实验相对论 黑体辐射的“紫外灾难”量子力学 经典物理、近代物理 相对论：平地起高楼，伟大的头脑 量子力学：一点一滴的积累，Plank, Einstein, Bohr, Heisenberg, Born, Pauli, de Broglie, Schrodinger, Dirac 领袖：Niels Bohr, 哥本哈根学派
量子力学 第一章 态矢量
序章基本背景知识 1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是： （1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学： （1）普朗克能量量子化假设（1900年）（2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年）（4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年） （6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量k p =（1924年） （7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年） 波函数统计诠释：2 ψ是概率密度函数， 12 =ψ? ∞ ∞ -dx （1926年） （9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年）
4.量子力学与经典力学的比较： *量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态ψ的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章 *不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节
量子力学-束缚态和散射态概念比较
) ()(x x V γδ-=束缚态和散射态 量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态 束缚态：在势阱中E )0(2)0(')0('2 ψγ ψψ m - =--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγ ψψ m =--+ 在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为 0)(''2=-ψβψx 其中02>-= mE β，)0( 量子力学讲义 一、量子力学是什么？ 量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。 研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。 二、量子力学的基础与逻辑框架 1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性： 光原本是波 ——现在发现它有粒子性； 电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。 2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，h p λ = de Broglie 关系（对粒子）： E =ω， p k = 总之，),(),(k p E ω? 3.（派生出的）三大基本特征： 几率幅描述 ——(,)r t ψ 量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2 ≥ ???p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设 ?=r d r A r A )(?)(* ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设 三、作用 四、课程教学的基本要求 教 材：《量子力学教程》周世勋， 高等教育出版社 参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿， 复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言， 科学出版社 第一章 绪论 §1.1 辐射的微粒性 1.黑体辐射 所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 )T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。 辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。在t ?时间，从s ?面积上发射出频率在 ν?+ν-ν 范围内的能量为： ν???νs t )T ,(E )T ,(E ν的单位为2 /米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 )T ,(u 4 c )T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米 焦耳3 ） 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领 )T ,(f )T ,(E ν=ν 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以)T ,(E λ来描述。 ????λ λ ν=λλλν=λλ νν=ννd c )T ,(E d d c d ) T ,(E d d d ) T ,(E d )T ,(E 2 )T ,(E c )T ,(E 2 νν = λ (秒米焦耳?3 ) A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领 T ,(E λ与λ的变化关系在理论上， ① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 h 32 e c h 2)T ,(E ν-νπ= ν ?? ?=π=k h c c h 2c 22 1（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123 焦耳-?） 量子力学原理及其应用 师燕光电8班2012059080029 量子力学是近代自然科学的最重要的成就之一.在量子力学的世界里，一个 量子微观体系的状态是由一个波函数来描述的,而非由粒子的位置和动量描述， 这就是它与经典力学最根本的区别。这是被爱因斯坦和玻尔用“上帝跟宇宙玩掷骰子”来形容的学科，也是研究“极度微观领域物质”的物理学分支，它带来了许许多多令人震惊不已的结论——例如科学家们发现，电子的行为同时带有波和粒子的双重特征（波粒二象性），但仅仅是加入了人类的观察活动，就足以立刻改变它们的特性；此外还有相隔千里的粒子可以瞬间联系（量子纠缠）：不确定的光子可以同时去向两个方向（海森堡测不准原理）；更别提那只理论假设的猫既死了又活着（薛定谔的猫）?? 诸如以上，这些研究结果往往是颠覆性的，因为它们基本与人们习惯的逻辑思维相违背。以至于爱因斯坦不得不感叹道：“量子力学越是取得成功，它自身就越显得荒诞。” 直到现在，与一个世纪之前人类刚刚涉足量子领域的时候相比，爱因斯坦的观点似乎得到了更为广泛的共鸣。量子力学越是在数理上不断得到完美评分，就越显得我们的本能直觉竟是如此粗陋不堪。人们不得不承认，虽然它依然看起来奇异而陌生，但量子力学在过去的一百年里，已经为人类带来了太多革命性的发明创造。正像詹姆斯·卡卡廖斯在《量子力学的奇妙故事》一书引言中的所述：“量子力学在哪？你不正沉浸于其中吗。” 一、量子计算机 量子力学的海森堡测不准原理决定了粒子的位置和动量是不能同时确定的( )。当计算机芯片的密度很大时（即很小）将导致很大, 电子不再被束缚, 产生 量子干涉效应，而这种干涉效应会完全破坏芯片的功能。为了克服量子力学对计算机发展的限制,计算机的发展方向必然和量子力学相结合，这样不仅可以越过 量子力学的障碍,而且可以开辟新的方向。量子计算机就是以量子力学原理直接 进行计算的计算机.保罗·贝尼奥夫在1981 年第一次提出了制造量子计算机的理论。量子计算机的存储和读写头都以量子态存在的，这意味着存储符号可以是0、1 以及它们的叠加。 近年来的种种试验表明，量子计算机的计算和分析能力都超越了经典计算机。它具有如此优越的性质正在于它的存储读取方式量子化。对量子计算机的原理分析可知，以下两个个特性是令量子计算机优越性的根源所在：存储量大，速度高；可以实现量子平行态。 随着现代科学技术的发展，量子计算机也会逐渐走向现实研制和现实运用。量子计算机不但于未来的计算机产业的发展紧密相关,更重要的是它与国家的保密、电子银行、军事和通讯等重要领域密切相关。实现量子计算机是21 世纪科学技术的最重要的目标之一。 二、晶体管 美国《探索》杂志在线版给出的真实世界中量子力学的一大应用，就是人们早已不陌生的晶体管。1945 年的秋天，美国军方成功地制造出世界上第一台真空管计算机ENIAC。据当时的记载，这台庞然大物总重量超过30 吨，占地面积接近一个小型住宅，总花费高达100 万美元。如此巨额的投入，注定了真空管这种 第一章矩阵 1.1矩阵的由来、定义和运算方法 1.矩阵的由来 2.矩阵的定义 3.矩阵的相等 4.矩阵的加减法 5.矩阵和数的乘法 6.矩阵和矩阵的乘法 7.转置矩阵 8.零矩阵 9.矩阵的分块 1.2行矩阵和列矩阵 1.行矩阵和列矩阵 2.行矢和列矢 3.Dirac符号 4.矢量的标积和矢量的正交 5.矢量的长度或模 6.右矢与左矢的乘积 1.3方阵 1.方阵和对角阵 2.三对角阵 3.单位矩阵和纯量矩阵 4.Hermite矩阵 5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵 6.方阵的迹 7.方阵之逆 8.酉阵和正交阵 9.酉阵的性质 10.准对角方阵 11.下三角阵和上三角阵 12.对称方阵的平方根 13.正定方阵 14.Jordan块和Jordan标准型 1.4行列式求值和矩阵求逆 1.行列式的展开 https://www.wendangku.net/doc/e04165475.html,place展开定理 3.三角阵的行列式 4.行列式的初等变换及其性质 5.利用三角化求行列式的值 6.对称正定方阵的平方根 7.平方根法求对称正定方阵的行列之值 8.平方根法求方阵之逆 9.解方程组法求方阵之逆 10.伴随矩阵 11.伴随矩阵法求方阵之逆 1.5线性代数方程组求解 1.线性代数方程组的矩阵表示 2.用Cramer法则求解线性代数方程组 3.Gauss消元法解线性代数方程组 4.平方根法解线性代数方程组 1.6本征值和本征矢量的计算 1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量 2.GayleyHamilton定理及其应用 3.本征矢量的主定理 4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换 1.线性变换的矩阵表示 2.矢量的酉变换 3.相似变换 4.等价矩阵 5.二次型 6.标准型 7.方阵的对角化 参考文献 习题 第二章量子力学基础 2.1波动和微粒的矛盾统一 1.从经典力学到量子力学 2.光的波粒二象性 3.驻波的波动方程 4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式 5.de Broglie波的实验根据 6.de Broglie波的统计意义 7.态叠加原理 8.动量的几率——以动量为自变量的波函数 2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程 1.Schrdinger方程第一式 2.Schrdinger方程第一式的算符表示 3.Schrdinger方程第二式 4.波函数的物理意义 5.力学量的平均值(由坐标波函数计算) 6.力学量的平均值(由动量波函数计算) 2.3算符 1.算符的加法和乘法 2.算符的对易 3.算符的平方 4.线性算符 5.本征函数、本征值和本征方程 量子力学中状态叠加原理的表述 发表时间：2017-03-15T15:26:33.883Z 来源：《科技中国》2016年12期作者：宋书玮 [导读] 状态叠加原理属于量子力学中的重要知识点，其中包括两种表述，第一种表述是物理叠加型的状态叠加原理。成都七中万达学校 610037 摘要：状态叠加原理属于量子力学中的重要知识点，其中包括两种表述，第一种表述是物理叠加型的状态叠加原理，第二种表述则是数学叠加型的表述，本文主要针对量子力学中的状态叠加原理的表述进行重点分析。 关键词：量子力学；状态叠加原理；分析 关于量子力学中的叠加状态原理，总的来说有两种表述：以布洛欣采夫为代表的第一种表述和以狄拉克和郎道为代表的第二种表述。第一种表述是物理叠加型的状态叠加原理，而在一些教材中并没有把这种类型的叠加原理作为一条独立的基本原理。第二种表述则是数学叠加型的表述，在许多的教材中，一般将这种表述归于算符的基本原理。这两种状态叠加原理的表述完全不一样，本文将对这两种表述方式进行分析探讨。 1.第一种表述 第一种表述：“如果任何一个系统(粒子或粒子的集合)既能处在由波函数ψ1所表示的态中,又能处在另一个态ψ2中,则它必定也能处在由如下波函数ψ所表示的态中:ψ=c1ψ1+c2ψ2，式中c1和c2一般是任意的复数。” ψ1和ψ2都是粒子能处在其中的状态,才是真实的状态，假如两者是胡乱编的数字，粒子是不会处在其中的，这样的表述也就不是原理。 这个表述也是有错误的，它的意思是随意两个真实的态都可以叠加，然而这是不严谨的，任何一个原理都有其限制条件或者说其环境范围，所以这个表述之前要加上在相同的环境之内。不仅如此，即使加上了这个限制条件，这个表述也是不对的，例如两个定态加在一起不满足定态薛定谔函数也是不会叠加成一个定态的。 由此可见，虽然这个表述的立意是好的，但是错误太多，不能成为一个真正的状态叠加原理的表述。 物理叠加型的状态叠加原理的作用，是向我们展示了粒子的波粒二象性的主要特征，这才是它的重要意义。其代表了粒子之间的波函数可以相互叠加，是可以发生干涉现象的，这是量子力学的核心。作为一个基本原理，突出其物理性质比突出它的数学性质更好一些。 2.第二种表述 这个表述就是数学性质的表述了，没有考虑物理方面，也不考虑其结果是否能够实现。 狄拉克的表述和朗道的表述是一样的，朗道和栗弗席茨的书对状态叠加原理的表述是:“设在波函数为ψ1(q)的态中进行某种测量,可以获得可靠的肯定结果(称为结果1),而在ψ2(q)的态中进行这种测量也可以获得可靠的肯定结果，那么可以假定,在ψ1和ψ2的任一线性组合所给出的态中,即在任一具有c1ψ1+c2ψ2函数形式(其中c1和c2为常数)的态中,进行该种测量所得结果或者是1,或者是2.此外,还可进一步假定只要以上两个态的时间依赖关系是已知的,也就是一个由函数ψ1(q,t)给出,另一个由函数ψ2(q,t)给出,那么,它们的任一线性组合也给出了这个组合态的可能的时间依赖关系.以上这些假定,构成了量子力学的一个首要原理,称为状态叠加原理.” 这讲的是一个物理状态的数学分解。并且狄拉克明确的说明，这是数学的叠加。这跟上面的第一种表述内容完全不同。这是一个新的量子力学的基本原理。所以不能用经典物理体系的概念来解释和判断。 3.分析与结论 叠加原理表明，线性方程式的任意几个解所组成的线性组合，也是这方程式的解。由于薛定谔方程式是线性方程式，所以叠加原理也适用于量子力学，这在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 { f{1} } 或 { f{2} } ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程式。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合 {f=c{1}|f{1} +c{2}|f{2} } ，也满足同样的薛定谔方程式；其中，{ c{1}} 、 { c{2}} 是复值系数，为了归一化 { |f } ，必须让 { |c{1}|^{2}+|c{2}|^{2}=1}。 从以上可以看出，很多的学者关于状态叠加原理的认识有许多的不同。量子力学是用一些基本假设建立起来的理论体系，其错误与否是由推测结果和观察到的结果是否一致来判断的。但是这些基本假设是怎么来的，它的基础是什么，这些问题还不清楚。关于态叠加原理方面的很多差异，都依赖于量子力学基本问题的答案，现如今在教材上还没有一个明确的答案，但是随着科学的进步，我相信今天遇到的难题，必将得到完善的解决，所以我认为在这个阶段，对于这些问题的分歧和争议不妨更保守一些。 4.结语 以上是对于量子力学中的状态叠加原理的一些理解，如今的量子力学理论已经非常成熟，但是还是很明显带着经典物理体系的影子。如果有一天不再使用经典物理的概念来解释量子力学，相信当时关于状态叠加原理的差异将不再存在。 参考文献： [1] 朱光平,刘忠良,刘亲壮. 量子力学态叠加原理及教学的几点看法[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版). 2010(03) [2] 陈念陔,杨蕾. 关于量子态叠加原理表述方式的讨论与建议[J]. 黑龙江大学自然科学学报. 2008(06) [3] 黄亦斌. 为什么量子力学中力学量要用厄米算符表示[J]. 大学物理. 2008(04) [4] 陈念陔,杨蕾. 量子态叠加原理有关问题的实质分析[J]. 黑龙江大学自然科学学报. 2008(04) 中国石油大学学报(社会科学版) 2011年7月 Journal of China University of Petroleum (Edition of Social Sciences ) Jul.2011 [收稿日期]2011?01?28 [基金项目]国家自然科学基金专项基金项目(11047137)二中央高校基本科研业务费专项资金项目(10CX03004A )二中国石油大学(华东)高等教育研究重点项目(Y091311W )二教学研究与改革重点项目(JY-A201011) [作者简介]曹贞斌(1981-),男,山东东营人,中国石油大学(华东)理学院讲师,博士三 对量子力学教学体系的思考 曹贞斌,闫向宏 (中国石油大学理学院,山东东营257061) [摘 要] 现行量子力学的经典教学体系在国内各高校的教学实践中取得了巨大的成功,但随着近年来各学科(尤其是一些新兴学科)的不断发展,其逐渐显现出进行改革的必要性三结合当前学科发展的特点,对量子力学的教学适当进行公理化的改革,对优化量子力学的结构并减轻学生的学习负担是十分有益的三 [关键词] 量子力学;教学体系;公理化 [中图分类号]O413.1 [文献标识码]A [文章编号]1673-5595(2011)-0088-03 一二引言 作为物理学本科各专业的一门必修课,量子力 学的教学及相关教材建设历来为国内各高校的物理学院(系)所重视三经过多年发展,国内量子力学的教材已有很多,但纵观各高校量子力学的教学体系,大多数采用的都是曾谨言和钱伯初的书中所给出的体系,或者与其大致相同三多年来的教学实践证明,对量子力学的初学者而言,这套体系确实是非常成功的,堪称经典三 但近些年来,理论物理学二凝聚态物理学二量子光学等一些传统学科的不断深入发展,以及一些新兴学科如量子通信与量子计算等的逐渐成长,对量子力学的教学提出了更高的要求;另一方面,由于课程的增多,学生的学习负担也在不断地加大三笔者经过长期的研究思考,同时也是作为丰富教学手段的一种尝试,结合笔者所在学校偏重工科的实际教学情况,认为对量子力学的教学在现行体系基础上进行一些有益的尝试性改革,以优化量子力学的教学结构,减轻学生负担,是十分必要的三 二二经典教学体系的优缺点 概略地讲,现行量子力学的经典教学体系(以下简称经典体系)就是曾谨言和钱伯初的教材所给出的体系三其大体结构为:量子力学初期发展简史;波函数与薛定谔方程;一维定态问题;力学量算符与 表象变换;对称与守恒;中心力场;自旋(及代数解法);定态微扰论与变分法;量子跃迁与弹性散射三 如此体系,对于初学者而言,的确有着极大的好处三首先,它和量子力学的几门先行课程可以有效地衔接,对学生的基础要求较低,学生学起来感觉相对容易三其次,此体系在很大程度上是面向应用的,即为了让学生相信量子力学的正确性和有效性,它非常重视对量子力学诸多应用问题的讨论,如方势阱二谐振子二中心力场二磁场和自旋等问题,一定程度上有助于学生解决实际问题三再次,它同时也相对开放,为学生进一步深入学习研究提供了便利三多年来各高校的教学实践证明,这的确是一套行之有效的体系,为量子力学在中国的传播应用和发展做出了巨大贡献三 但凡事皆有两面三经典体系也存在着相当的不足三首先,此体系前半部分的很多内容学生在先行课程原子物理学中已经有所接触,尤其是与杨福家教授的‘原子物理学“教材有着相当的重复三考虑到杨先生的教材使用面非常广,这一部分内容可以简化三其次,此体系过于重视对薛定谔波动力学的讲授,而对海森堡矩阵力学的强调则相对不够三虽然说波动力学由于主要使用微分方程而为学生所熟悉且容易接受,但从进一步应用来看,矩阵力学则更加重要三比如算符的表象变换和狄拉克符号的相关 序章 基本背景知识 1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是： （1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学： （1）普朗克能量量子化假设（1900年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年） （4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年） （6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量k p （1924年） （7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年） 波函数统计诠释：2 是概率密度函数， 12 dx （1926年） （9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年） 4.量子力学与经典力学的比较： 量子力学经典力学 研究对象在t时刻的位置 无法确定 只能确定在dx x x ~的出现概率 可以确定 t时刻的动量和速度 无法确定，速度无意义 只能确定具有dp p p ~的概率 且不可同时确定位置和动量 位置、动量和速度 同时确定 研究对象的状态的描述 波函数（复函数） 或态矢量 （复矢量） t p t r ,（实矢量函数） 状态的 演化方程 薛定谔方程（复系数方程）牛顿第二定律（实系数方程）观测行为 会影响对象 （只有时间测量不影响） 不会影响对象 测量精度 受不确定性原理限制 且“某些”量无法同时测定 可达到任意高 可以同时测定所有物理量 预测的 测量结果 某个结果出现的概率确定的值 实际的测量结果 确定的值 或可能取值的统计平均 确定的值 *量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态 的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章 *不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节 量子力学第一性原理：仅需五个物理基本常数——电子质量、电子电量、普郎克常数、光速和玻耳兹曼常数，通过求薛定谔方程得到材料的电子结构，而不依赖于任何经验常数即可以预测微观体系的状态和性质，预测材料的组分、结构、性能之间的关系，进一步设计具有特定性能的新材料。 作为评价事物的依据，第一性原理和经验参数是两个极端。第一性原理是某些硬性规定或推演得出的结论，而经验参数则是通过大量实例得出的规律性的数据，这些数据可以来自第一性原理(称为理论统计数据)，也可以来自实验(称为实验统计数据)。如果某些原理或数据来源于第一性原理，但推演过程中加入了一些假设(这些假设当然是很有说服力的)，那么这些原理或数据就称为“半经验的”。 量子化学的第一性原理是指多电子体系的Schr?dinger方程，但是光有这个方程是无法解决任何问题的，量子力学能够准确的解决的问题很少很少，绝大多数都是有各种各样的近似，为此计算量子力学提出一个称为“从头计算”的原理作为第一性原理，除了Schr?dinger 方程外还允许使用下列参数和原理： (1) 物理常数，包括光速c、Planck常数h、电子电量e、电子质量me以及原子的各种同位素的质量，尽管这些常数也是通过实验获得的。(在国际单位值中，光速是定义值，Planck 常数是测量值，在原子单位制中则相反。) (2) 各种数学和物理的近似，最基本的近似是“非相对论近似”(Schr?dinger方程本来就是非相对论的原理)、“绝热近似”(由于原子核质量比电子大得多，而把原子核当成静止的点处理)和“轨道近似”(用一个独立函数来描述一个独立电子的运动)。 量子化学的从头计算方法就是在各种近似上作的研究。如果只考虑一个电子，而把其他电子对它的作用近似的处理成某种形式的势场，这样就可以把多电子问题简化成单电子问题，这种近似称为单电子近似，也称为平均场近似，例如最基本的从头计算方法哈特里－富克（Hartree-Fock）方法，是平均场近似的一种，它把所有讨论的电子视为在离子势场和其他电子的平均势场中的运动。但是哈特里－富克近似程度过大，忽略了电子之间的交换和相关效应，使得计算的精度受到一定的限制，为了解决这一问题，P Hohenberg和W Kohn于1964年提出密度泛函理论（density functional theory, DFT），这一理论将电子之间的交换相关势表示为密度泛函，然后使薛定谔方程在考虑了电子之间的复杂相互作用后利用建立在自洽场近似的方法求解，DFT认为：粒子的哈密顿量取决于电子密度的局域值，由此可以得出局域密度近似（local density approximation）方法。 由于诸多近似方法的使用，“从头计算”方法并不是真正意义上的第一性原理，但是其近似方法的运用使得量子计算得以实现。从头计算的结果具有相当的可靠程度，某些精确的从头计算产生的误差甚至比实验误差还小。 话说第一性原理的基本感念是指不采用经验参数……（此后省略若干千字） 不采用经验参数，但也得有近似才能计算。在处理原子的时候就采用了波恩-奥本海默近似（既绝热近似）这个近似的主要内容就是电子运动速度远远大于原子核，于是近似原子核不动，只考虑电子运动。于是，这个近似带来的效果就是体系在绝对零度时候的性质。 @@@什么是第一性原理呢？其实就是指从最基本的原理出发，不掺杂任何经验参数，而得出所有的现象。其实这个是很难的。但是能验证规律的正确性。而本文所提到的第一性原理， 量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ，其中|i>为彼此正交的空间基矢， 为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。量子力学教程-周世勋-课程教案(轻松学量子力学)
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