二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标;

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;

解：（1）令0y =，得2

10x -= 解得1x =±

令0x =，得1y =-

∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分

（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45

∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45

过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形

令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +

∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）

∴P E =3……………………………………………………………………………5分

∴四边形ACB P 的面积S =

12AB ?O C +12

AB ?P E =112123422??+??=………………………………6分 2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）…………………1分

∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （-1，0）B(4,5)

∴101645b c b c -+=??++=?

…………………………………………………2分 解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分

（2）如２６题图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5)

∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分

∵二次函数223y x x =--

∴设点E(t ， t+1),则F （t ，223t t --）………………………5分 ∴EF= 2(1)(23)t t t +---………………………………………6分 =2325

()24t --+ ∴当32t =时，EF 的最大值=25

4

∴点E 的坐标为（32，5

2）………………………………7分