数学物理方法习题集解答(完整编辑版)

数学物理方法习题解答

一、复变函数部分习题解答

第一章习题解答

1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。Re z x =Q ，,0u x v ∴==。

1u

x

?=?，0v y ?=?，

u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2

f z z

=

仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。()2

2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。

2,2u u x y x y ??= =??。v v

x y

?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而

,,u u v v

x y x y

???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()00

00x x y y u v v u f i i x x y y ====????????

'=+=-= ? ?????????。

或：()()()2

*

00

0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z

?

→?→?=?=?'==?=?-?=?。

2

2

***0*

00lim

lim lim()0z z z z z z z

zz z z z z z z z z

=?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z

z z

??==??】

3、设333322

()z 0()z=0

0x y i x y f z x y ?+++≠?

=+???

，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不

可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则

()33

2222

2

2

0,=0

0x y x y u x y x y x y ?-+≠?

=+?+??，

332222

2

2

0(,)=0

0x y x y v x y x y x y ?++≠?

=+?+??

。

3

300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y

y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =-

()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)()

lim lim ()()z z f z f x y i x y z

x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则

333333434322222

0()1(1)1(1)

lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。

4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

必为常数。

（1）()z f 在区域D 上为实函数； （2）()*z f 在区域D 上解析； （3）()Re z f 在区域D 上是常数。 证明：（1）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。

由于()z f 在区域D 上为实函数，所以在区域D 上(,)0v x y =。 ()f z Q 在区域D 上解析。由C －R 条件得

0u v x y

??==??，0u v

y x ??=-=??。 ∴在区域D 上(,)u x y 为常数。从而()z f 在区域D 上为常数。

（2）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则*()(,)(,)f z u x y iv x y =-。 ()f z Q 在区域D 上解析。由C －R 条件得

,u v u v

x y y x

????= =-????。 （1） 又*()f z 在区域D 上解析，由C －R 条件得

,u v u v x y y x

????=- =????。 （2） 联立（1）和（2），得

0u u v v x y x y

????====????。 ,u v ∴在区域D 上均为常数，从而()f z 在区域D 上为常数。

（3）令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()Re (),f z u x y =。 由题设知(),u x y 在区域D 上为常数，0u u x y

??∴

==??。

又由C －R 条件得，在区域D 上

0,0v u v u x y y x

????=-= ==????，于是v 在区域D 上为常数。 ,u v ∴在区域D 上均为常数，从而在区域D 上()f z 为常数。 5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数的实部。

证明：令2

u xy =，2222022u u

x x x y

??+=+=??。

u ∴ 不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z 的一个解析函数的实

部。

6、若z x iy =+，试证：

（1）sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+； （2）cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-； （3）2

22sin sin sinh z x y +＝； （4）222cos cos sinh z x y =+。

证明：（1）sin sin()sin cos()cos sin()z x iy x iy x iy =+=+

cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =Q ， sin sin cosh cos sinh z x y i x y ∴=+。

（2）cos cos()cos cos()sin sin()z x iy x iy x iy =+=- cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =Q ， cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-。

（3）2

22sin (sin cosh )(cos sinh )z x y x y =+2222sin cosh cos sinh x y x y =+ 2222sin (1sinh )cos sinh x y x y =++

222222sin (sin cos )sinh sin sinh x x x y x y =++=+。

（4）2

222222cos (cos cosh )(sin sinh )cos cosh sin sinh z x y x y x y x y =+=+ 2222cos (1sinh )sin sinh x y x y =++ 22222cos cos sinh sin sinh x x y x y =++

222222cos (cos sin )sinh cos sinh x x x y x y =++=+。 7、试证若函数()f z 和()z ?在0z 解析。()()()0000,0f z z z ??'==≠，

则()()()()

000lim z z z f z f z z ??→'='。（复变函数的洛必达法则） 证明：

00000000000000000

()()()()lim

()()()()

lim lim lim ()()()()()()()()

lim z z z z z z z z z z f z f z f z f z f z z z z z f z f z f z z z z z z z z z z z z z ????????→→→→→--'---====--'---。 或倒过来做。 8、求证：0

sin lim 1z z

z →=。 证明：000sin (sin )lim lim limcos 1z z z z z z z z

→→→'

==='。 第二章习题解答 9、利用积分估值，证明

a ．()22i

i x iy dz π-+≤? 积分路径是从i -到i 的 右半圆周。 b ．证明222i

i

dz

z

+≤?积分路径是直线段。 证明：a ．（方法一）

()()2

22

2

44i

i

i

i

i

i

x

iy dz x

iy

dz x y dz ---+≤+=+??

?

4

2

2

4

2222()i

i

i

i

x x y y dz x y dz π--≤++=+=?

?

。

（方法二）在半圆周221x y +=上，221,1x y ≤ ≤，从而

42424422x x y y x y x y ≤ , ≤?+≤+

在半圆周221x y +=上，2244221x iy x y x y +=+≤+=，44max 1c

x y +=，

()2

2

2

2

2

2

i

i i

i

i

i

i

i

x

iy dz x iy dz x y dz dz π----+≤+≤+==???

?。

或：()2244max i

i c

x iy dz x y ππ-+≤+=?。 b ．证:2

22

111

max

max

max

11

z x i

z x i

z x z =+=+===+ 222

1max 22i

i

z x i

dz z z +=+∴ ≤?=?

。

10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c 均为圆心在原点，

半径为1的单位圆周。

a ．cos c dz z ??；

b ．256z

c e dz z z ++??

。 证明：a ．

1

cos z 的奇点为1,0,1,2n z n n π??=+=± ???

L ，由于1n z >，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。

1

cos z

∴

在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。 由柯西定理:

0cos c

dz

z =??。 b ．256(2)(3)

z z

e e z z z z =++++的奇点为12z =-，23z =-，它们均不在以

原点为圆心的单位圆内。

256z

e z z ∴ ++在以原点为圆心的单位圆内处处解析。 由柯西定理:2056z c e dz

z z =++??。

11、计算

a ．()221:21c z z dz

c z z -+=-??；b ．()

()22

21

:21c

z z dz

c z z -+=-?

?。

解: a ．221z z -+在2z =所围区域内解析，且1z =在2z =所围区域内。

由柯西积分公式得

221212(21)2241z c z z dz i z z i i z πππ=-+=-+=?=-??。

b ．221z z -+ 在2z =所围区域内解析，且1z =在2z =所围区域内。

由推广的柯西积分公式得

()

()()222

11

21

2212412361z c

z z z dz i z z i z i i z ππππ==-+'

=-+=-=?=-??。

12、求积分z c e dz z

??（:1c z =），从而证明()cos 0cos sin e d πθ

θθπ=?。 解: z e 在1z =所围区域内解析，且0z =在1z =所围区域内。

由柯西积分公式得0

22z z

z c e dz i e i z

ππ===??。 （1）

在c 上令i z e θ=，πθπ-≤≤，则

cos sin i z e i c e dz i e d i e d z θ

ππθθππθθ+--==????()()cos cos sin sin sin i e i d π

θπ

θθθ-=+????? ()()cos cos cos sin sin sin i e

d e

d π

π

θ

θ

π

π

θθθθ--=-

??()cos 0

2cos sin i e d π

θθθ=?，

其中利用了，由于()cos sin sin e θθ是θ的奇函数，而()cos cos sin e θθ是θ 的偶函数，所以

()cos sin sin 0e

d π

θ

π

θθ-=?，

()()cos cos 0

cos sin 2cos sin e

d e d π

π

θ

θπ

θθθθ-=??。

()cos 0

2cos sin z c e dz i e d z π

θ

θθθ∴=???。 （2） 从而，联立（1）和（2），得

()cos 0

cos sin e d π

θ

θθπ=?。 13、由积分2c dz

z +?之值，证明012cos 054cos

d πθθ+=+?，c 为单位圆周1z =。 证明：

1

2z +在单位圆周1z =所围区域内解析。由柯西定理: 02c dz z =+??。 （1）

另一方面，在c 上i z e θ=，πθπ-≤<，

()()()()2222222i i i i c c dz z e dz ie d z z z e e θπθ

θθπθ---++==+++++???蜒 ()1212cos 2sin 54cos 124

i i i e i i d i d e e θ

π

πθθππθθθθθ---+++==++++?? 12cos sin 254cos 54cos i d d π

πππθθ

θθθθ

--+=-++?

? （2） sin 54cos θ

θ+Q

为θ的奇函数， sin 054cos d ππθθθ

-∴=+? （3） 由（1）、（2）及（3）得

12cos 054cos d π

πθ

θθ-+=+?。

（4） 又12cos 54cos θθθ++为的偶函数， 012cos 12cos 254cos 54cos d d πππθθθθθθ

-++∴=++??。（5） 于是由（4）和（5）得

012cos 054cos d π

θ

θθ+=+?。

14、设()26

4

z F z z +=-，证明积分()c F z dz ?? a.当c 是圆周221x y +=时，等于0；

b.当c 是圆周()2

221x y -+=时，等于4i π； c.当c 是圆周()2

221x y ++=时，等于2i π-。 证明：()()()

2

66

422z z F z z z z ++=

=-+-的奇点为12z =及22z =-。 a.当c 是圆周221x y +=时，12z =及22z =-均在圆外，()F z 在圆内 解析。由柯西定理:

()()6022c z dz z z + =+-??。

b.当c 是圆周()2

221x y -+=时，仅12z =在圆内。由柯西积分公式 得()()2

662224222c

z z z dz i i i z z z πππ=++ ==?=+-+??。

c.当c 是圆周()2

221x y ++=时，仅22z =-在圆内。由柯西积分公式 得()()

()266

2212222c

z z z dz i i i z z z πππ=-++ ==?-=-+--??。

第三章习题解答

15、求下列级数的收敛半径，并对c 讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。

a.11n n n z n ∞

=∑；b.1n n

n n z ∞=∑；c.0

k n n n z ∞

=∑（0k >为常数）。 解:

a. 1

lim lim 1n n n R n n →∞→∞====∞。

b. 1

lim

0n n R n

→∞===。 c. ()

lim

lim 111k

k

k

n n n n R n n →∞

→∞??=== ?+??

+。

或1lim

1k n n n

R n

→∞

===。

11ln lim lim 1x x x

x x x e

→∞

→∞

==【ln 1

lim

lim 0x x x x x

→∞→∞==（洛必达法则）】 在收敛圆周1z =上，i z e θ

=，级数成为0

k in n n e θ∞

=∑。

0k >Q ，∴它的通项k in n e θ在n →∞时，不趋于0。

故级数0

k in n n e θ∞

=∑发散。

16、试求下列级数的收敛半径。

a.!

0n n z ∞

=∑；b.0!n

n n n z n

∞

=∑；c. ()00,0n n

n n z a b a ib ∞

=>>+∑。 解: a.当()()

1

!1!

!!

!

lim

lim

lim 1n n n n n

n n n n n z z

z

z

z

++→∞

→∞

→∞

==<时，级数收敛。

当!lim 1n n

n z →∞

>时，级数发散。

亦即当1z <时，级数收敛。而当1z >时，级数发散。 于是收敛半径1R =。 b.()()

()()()11

!11!1lim

lim lim lim 11!1!1n n

n

n

n n n n n n n n n n n n

R e n n n n n n ++→∞

→∞→∞→∞++??====+= ?+??

++。

c.n R =Q

，()

1

222lim n

n n

n n R a b →∞

==+。

又因为{}()

{}112222max ,2max ,n n n

n

a b a b a b ≤+≤，且12lim 2

1n

n →∞

=，

故()

{}1

222lim max ,n

n n

n a b a b →∞

+=。

于是所求级数的收敛半径{}max ,R a b =。

或：1

lim n n n a R a →∞+=

Q ，n R ∴=。

当a b >

时，n n R a ===， 当a b <

时，n n R b ===， {}max ,R a b ∴=

17、将下列函数按z 的幂展开，并指明收敛范围。

a.

2

z

z e dz ?

；b. 2cos z 。

解: a.2

20!

n

z n z e n ∞

==∑，z <∞，

()2

2221

000000!!!21n n n z

z z z n n n z z z e dz dz dz n n n n +∞

∞∞===∴===+∑∑∑??? z <∞。 b. ()21

cos 1cos 22z z =+，()()()()()2220

1212cos 22!2!n n

n

n n n n z z z n n ∞

∞

==--==∑

∑ z <∞，

()()

2122

0121cos 22!n

n n n z z z n -∞=-∴ =+ <∞∑

。 18、将下列函数按1z -的幂展开，并指出收敛范围。

a. cos z ；

b.

2

z

z +；c. 225z z z -+。

解: a.()()()cos cos 11cos1cos 1sin1sin 1z z z z =+-=---????。

()()()()2011cos 12!n

n

n z z n ∞

=---=∑，()()()()21

11sin 121!n

n n z z n +∞

=---=+∑，

()()()()()()221

1111cos cos1sin12!21!n n

n n n n z z z n n +∞

∞

==----=-+∑

∑

1z -<∞。

()21cos1cos 12n n π??-=+ ???Q ，()211sin1cos 12n n π+??

-=-+ ???

。

()()()()22100

221cos 1cos 122cos 112!21!n n n n n n z z z n n ππ∞∞

+==+????++ ? ?????∴=-+-+∑∑ ()0

cos 121!n n n z n π∞

=??

+ ??? =-∑ 1z -<∞。 或：令()cos f z z =，则()()cos 2

n n f z z π

??=+

??

?，()

()1cos 12n n f π??=+

??

?

， 所以()

()()()0

cos 112cos 11!!n n n n n n f z z z n n π∞

∞

==??+ ???=-=-∑

∑ 1z -<∞。 b.

221

11122313

z z z z =-=-?-+++ ()()()100

12111121333n

n

n n n n n z z ∞

∞

+==--??=--=-- ???∑∑ 13z -< c.

()()()2222

1111

25141414

z z z z z z z z -+-==+-+-+-+-+ 22

1

1

11

4

4111122z z z -=

?+?--????++ ? ?????

令2

12z t -??

= ???，()0

1111n n n t t t ∞= =- <+∑Q ()()()222

00111

1124112n n

n n

n n n z z z ∞

∞

==---??

∴ =-= ???-??

+ ???

∑∑，11122z z -

n n

n n z z z z z z ∞∞==-----=+-+∑∑

()()()()21

2110

111144n n n n

n n n n z z +∞

∞

++==----=+∑

∑

()

()()2211

1114n

n n n n z z ∞

++=-??=-+-??

∑

12z -<

进一步，()()

()()21

21

1

111144

n n n n

n n n n z z +∞

∞++==----+∑

∑ ()

()()

()()

()()()111

12

2

221

2

310

2

111111222

n

n

n n n n

n

n n n n n n n z z z ??---??-∞

∞

∞

????

+++-+

===---=

-+

-=-∑

∑

∑

奇数

偶数

所以()()()()1112223102

11252

n

n

n n

n n z

z z z ??--??-∞

???

?

+-+

=-=--+∑

12z -<。

19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。

a.21(1)z z z +-,01,1z z <<<<∞；

b.()()

22

25,1221z z z z z -+<<-+。 解: a.

222211212

(1)(1)(1)

z z z z z z z z z +-+==+---。

在01z <<内,0

1111n n z z z ∞

==-=---∑， 22

222021

1111222(1)n n

n n n n z z z z z z z z z ∞∞∞

-==-=-+∴=-=-=---∑∑∑。 在1z <<∞内,1

1z <，

01111111111n n n n z z z z z

z ∞∞

=====--∑∑， 2

2221311111

22(1)n n n n z z z z z z z

∞∞

+==+∴=+=+-∑∑。 b. ()()222

2512

21

21z z z z z z -+=--+-+ 在12z <<内，

12

z <，且211

11z z

100111122222

12

n

n n n n z z z z ∞∞

+==??∴=-?=-=- ?-??-∑∑。

()()1222

2201

2

2212

11121111n

n n n

n n z z z z z z ∞

∞

+===?=-=-++∑∑， ()()()21122

01

25121221n n n n n n z z z z z z ∞∞

++==-+∴=----+∑∑。 20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立范

围。 a.

()

2

21

,1z i z =+【

()n n n a z i ∞

=-∞

-∑

】；b.()1

2

11,1z

z e

z --=【

()1n

n n a z ∞

=-∞

-∑

】。

解: a. z i = 的无心邻域为0z i R <-<，

()

()()

2

2

2

21

1

1z i z i z =

-++，且()

2

1

1d dz z i z i ??

=-

?+??

+， ()()()

0111111222212n

n

n n z i z i z i i z i i i i i

∞=--==?=-++-+∑ 【()1

21i =-】 ()()

12

1

12

n n

n n z i -∞

+=--=∑

22z i i -<=。

()

()()()()1

11

2

2

2

11

01

111

22n n n

n n n n n z i n z i d

dz z i ---∞∞

++==----=-=-+∑∑，

()

()

()

()()

()111

3

2

2

2

2

1

1

2

1

1

111

1

221n n n n n n n n n z i n z i z i z

-+--∞

∞

++==----∴

=-

=-+∑

∑

()()()

2

4

2

132n n

n n n z i ∞

+=--+-= ∑

02z i <-<。

b.Q 当<∞z 时，0!

n

z

n z e n ∞

==∑，

()()()

110011

!1!1n

z

n n

n n e

n z n z ∞

∞

-==-∴==--∑∑ 01z <-<∞，

()()()

()()()

12

12

02111!12!1n

n

z

n n

n n z e

n z n z ∞

∞

--==---∴-==-+-∑∑ 01z <-<∞。

21、把()1

1f z z

=

-展成下列级数。 （1）在1z <上展成z 的泰勒级数； （2）在1z >上展成z 的罗朗级数； （3）在12z +<上展成(1)z +的泰勒级数； （4）在12z +>上展成()1z +的罗朗级数。

解:（1）在1z <上，011n n z z ∞

==-∑，【11z

-在1z <上解析】。 （2）在1z >上，01111111111n

n n n z z z z z

z

∞∞==??=-?=-=- ?-??-∑∑。 （3）

1

1z

-在12z +<上解析，且112z +<，所以 ()()1

0011111111121222212

n

n

n n n z z z z z ∞∞

+==++??

==?== ?+--+??-∑∑。 （4）在12z +>上，

2

11

z <+，所以 ()()()1

0111111222121111111

n n n n

n n z z z z z z z -∞∞

====-?=-=---+++++-+∑∑。 第四章习题解答

22、确定下列各函数的孤立奇点，并指出它们是什么样的类型（对于极点，

要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论： （1）

()

2

211z z z -+；（2）1cos z i +；（3）1

sin cos z z

+。

解: （1）0,,z z i z i ===-是

()

2

2

11z z z -+的孤立奇点且是极点。

()()()2222220

114110z z z z z z z =='????+=+++=≠??????

??Q ， 0z ∴=是()2

21z z +的一阶零点，从而是

()

2

2

11z z z -+的一阶极点；

()()()22222211410z i

z i

z z z z z =±=±'????+=+++=??????

??Q ， ()()()2222221141z i

z i

z z z z z =±=±''

'????+=+++??????

?

?

()()()3

223

4181880z i

z z z z z i =±??=++++=±≠??

，

z i ∴=±是()2

21z z +的二阶零点，从而是

()

2

211z z z -+的二阶极点。

()

22

11z z z -+Q

在<∞1

2

2

1lim 01z z z z →∞

-=+，z ∴=∞是可去奇点，

四阶零点。

（2）1

cos z i

+Q 在z i =-的罗朗展开式()()()2011cos 2!n

n n z i n z i ∞

=-=++∑的主要 部分有无穷多项，

z i ∴=-是1

cos

z i

+的本性奇点。 1cos

z i +Q 在1z <<∞内解析，1lim cos 1z z i →∞=+， ∴∞是1

cos z i +的可去奇点。

（3

）

1

1

1

sin cos 4z z

z z z π=

=

+?

?

?+ ?

?

?

??

， sin 4z π?

?+ ??

?的零点,0,1,2,4n z n n ππ=-=±±L ，是1sin cos z z +的极点。

又()4

4

sin cos 1044n n n z z n z z n z z ππππππ==-==-??'??????+=+=-≠ ? ??????

???，

,0,1,2,,4

n z n n π

π∴=-

=±±L 是sin cos z z +的一阶零点，

从而是1

sin cos z z

+的

一阶极点。

z =∞是

1

sin cos z z

+的奇点，但不是孤立奇点，因为在无穷远点的的任

何邻域r z <<∞内,总有其它奇点。

23、求()11z

z

e f z e

-=+在孤立奇点处的留数。 解:10z

e +=的解()21.0,1,2n z i n n π=+ =±±L ，是11z

z

e e -+的奇点。

由于()211lim 1z z z i n e e π→+-=∞+，()21n z i n π∴=+是11z

z e e

-+的极点。又 ()()()

()

()2

212111111n n z z z z z

z z z z i n z z i n e e e e e e

e π

π

==+==+'-++??+=

?-??

-

()

()2

221221022

1n z

z z z i n e e π

==+-=

=

=-≠-， ()21,0,1,2,,n z i n n π∴=+=±±L 是11z z e e +-的一阶零点，从而是11z z e e -+的一阶极点。 z =∞不是11z

z

e e

-+的孤立奇点，因为在它的任一邻域r z <<∞内,总有其它的奇点。

由推论2：()()()()21211111

Re 2121

1n n z

z

z

z

z z i n z z i n e e sf i n e

e π

π

π==+==+--++=

==

=-????-'

+。 【()()0

41

12Re 2122281z

z z n e dz i sf i n i i e ππππ==--=+=?--=-????+∑??】

24、求下列函数在指定点处的留数。

（1）

()()

2

11z

z z -+ 在1,z =±∞；

（2）241z

e z

-在0z =，∞。

解:（1）1z =为()()()

2

11z

f z z z =

-+的一阶级点.， 1z =-为()()()

2

11z

f z z z =

-+的二阶极点。

()()

()()

()

2

2

1

1

1Re 1lim 1lim

4

111z z z z

sf z z z z →→∴=-==

-++， ()()()()2

2111Re 1lim 1lim 1411z z d z d z sf z dz dz z z z →-→-????-=+==-?? ?-??-+????

。 由于1z =±已是()f z 的所有有限孤立奇点，

()()()Re Re 1Re 10sf sf sf ∴∞=-+-=????。

（2）()241z

e f z z

-=在0z =的罗朗展开式为

()()

()441

4

13222!!4!

n

n n n n

n n n z z z n f z z n n ∞

-+∞

∞

===--=

=-=-+∑

∑∑

()31244

Re 03!33

a sf -∴=-=-?=-。

由于0z =是()f z 的仅有的一个有限孤立奇点，

()()4

Re Re 03

sf sf ∴∞=-=

。 【()231z

e f z z

-=在0z =的罗朗展开式为

()()

()331

3

12222!!3!

n

n n n n

n n n z z z n f z z n n ∞

-+∞

∞

===--=

=-=-+∑

∑∑

()2

122Re 022!

a sf -∴=-=-?=-】

25、求下列函数在其奇点（包括无穷远点）处的留数，（m 是自然数）

（1）1

sin m z z

（m 是自然数）； （2）

()

2

1z

e z -；

（3）31

sin z e z

-。

解: （1）0z =是()1

sin m f z z z

=的有限远孤立奇点。在0z =,()f z 的罗朗展开

式为()()()()(

)2121001121!21!n

n

m

n n m

n n f z z n z n z ∞

∞

++-==--==++∑∑。 令211n m +-=,则2

m n =

。 n Q 为非负整数，∴只有m 为偶数时上式才成立。

而当m 为奇数时,211n m +-≠，即()f z 在0z =的罗朗展开式中没有1-次幂项，即10a -=。

∴当m 为奇数时, ()Re 00sf =。

当m 为偶数时,2m

n =

的项是1-次幂项，()()2

111!

m

a m --=+，所以，此时()()()2

1Re 01!

m sf m -=

+。

总之，不管m 为偶数或奇数，都有()()()()2

111Re 01!

2m

m

sf m -+-=

?+。

（2）1z =是()()

2

1z

e f z z =

-的唯一的有限奇点,且是二阶极点。

()()()2

21Re 1lim 11z z d e sf z e dz z →??∴=-=??-????

， ()()Re Re 1sf sf e ∴∞=-=-

（3）z n π=，0,1,n =±L ，是()1

3sin z e f z z

-=的孤立奇点。

()f z 在z n π=点的罗朗展开式为

()()

()

3

1

1sin n z n n

e e

f z z n πππ--=

--

()()()()()()()23

335

12!3!13!5!n n n z n z n e e z n z n z n z n ππππππππ??

---+-+++??????=-??----++??

????

L

L

()()()()()()()23

33

2412!3!1165!n n n

z n z n e e z n z n z n z n π

π

ππππππ??

---+-+++??-????=?-??

---

++??????

L L

()()3

24

165!z n z n ππ-??

---

++?????

?

L 在z n π=解析，且为()z n π-的偶函数,所以它在z n π

=处的泰勒展开式中只有()z n π-的偶次项。而

数学物理方法第八章作业答案

P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑

数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -

数学物理方法期末考试规范标准答案

天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线

于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数

数学物理方法第二次作业答案解析

第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

北邮数学物理方法18-19期末试题B

北京邮电大学2018-2019学年第一学期 《数学物理方法》期末试题（B ） 注意：本试卷共5 道大题。答题时不必抄题，要注明题号，所有答案一律写在答题纸上，否则不计成绩。 一、 解答下列各题（每题6分，共36分） 1、 写出三类基本方程的最简单形式。 2、求解下列本征值问题的本征值和本征函数 ()()()()()() 02,2?λ??π??π?''Φ+Φ=???''Φ+=ΦΦ+=Φ??3、将Bessel 方程 222()0x y xy x m y λ'''++-= 化成Sturm-Liouville 型方程，并指出其核函数和权函数。 4、用达朗贝尔公式求下列定解问题的解 ()()()20,0,,0cos ,,0. tt xx x t u a u x t u x x u x e ?-=-∞<<∞>??==??5、设()f x 在区间[-1,1]上的有界且连续，并设 ()()()0Legendre n n n n f x f P x P x ∞ ==∑其中是多项式 试证明 ()()11 212n n n f P x f x dx -+= ?. 6、已知Bessel 函数的递推公式1[()]()m m m m d x J x x J x dx -=，试计算30()x J x dx ?。

二、研究细杆上的热传导问题。设杆上的初始温度是均匀的为0,u 然后保持杆的一端的温度为不变的0,u 而另一端则有强度为恒定的热流0q 进入，即求解定解问题 22200000,,,.x x x l t u u a t x q u u u k u u ===???=?????==???=?? （25分） 三、 求解下列定解问题 ()222220001,0,0,,,0.b t t u u u a b t u u u u f t ρρρρρρρ====??????=+<

第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼

第七章 数学物理定解问题 1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。 3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 .0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、 95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。 7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一

数学物理方法典型习题

典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数学物理方法试题

数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分）

1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解：

北京航空航天大学 数学物理方法 模拟试题

数理试卷 1． 设有半径为a 的导体球壳被一过球心的水平绝缘层分割成两个半球壳，若上下各半球壳 各充电到V 1、V 2，则球壳内的电势所满足的定解问题是 2． 初值问题 U tt -a 2U xx =0（-∞<<=-===0|0||0) t l,x (0 sin 002t t l x x x x xx t U U U wt A U a U

数学物理方法第08章习题

第八章 习题答案 8.1-1 证明递推公式： （1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得 （目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得 （目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得： （目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+

【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)

福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

数学物理方法习题及解答

2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求

数理方程试题

2013-2014 1 数学物理方程（A ） 数理学院 信计101-2、应数 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一．填空题（每小题3分，共15分） 1．已知非齐次波动方程22 222(,)(0,0) (0,)(,)0 (0)(,0)(,0)0(0) u u a f x t t x l t x u u t l t t x x u u x x x l t ???=+><? ????? ==<<? ??? ?? ==<

济南大学数学物理方法试题

济南大学2009 ～2010 学年第一学期课程考试试卷（补考卷） 课 程 数学物理方法 授课教师 任妙娟 考试时间 2010 年 月 日 考试班级 学 号 姓 名 一、 判断题（每小题2分，共20分） [对者画√，错者画×] [ ] 1.在复数域内，负数也有对数。 [ ]2.可去奇点的留数一定是零。 [ ]3.复变指数函数z e 是无界的周期函数。 [ ]4.实部和虚部都是调和函数的复变函数一定是解析函数。 [ ]5.定义在区域G 上的函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，若 ,u v v u x y x y ????==-???? ，则()f z 是G 上的解析函数。 [ ]6.()n J x 在0x =的值总是零。 [ ]7.格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。 [ ]8.函数2 ()(0,)f x x l =，因为2x 是偶函数，所以只能开拓为周期性偶函数， 展开为Fourier 余弦级数。 [ ]9.只有齐次边界条件才能和相应的方程构成本征值问题。 [ ]10.行波法适用于无界区域的波动方程。 二、选择题(每小题3分，共30分） [ ]1. 复数i 25 8-2516z =的辐角为 A ． arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 21 [ ]2．设z=cosi ，则[ ] A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π [ ]3. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分? +-c n i z dz 1)(等于 A ． 1 B ．2πi C ．0 D ．i π21 [ ]4. 3z π=是函数f(z)= π π-3z )3-sin(z 的 A 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 [ ]5．方程0u 2=?-u a t 是 A 波动方程 B ．输运方程 C ．分布方程 D ．以上都不是 [ ]6.可以用分离变量法求解的必要条件是： A 泛定方程和初始条件为齐次 B ．泛定方程和边界条件为齐次 C ．边界条件和初始条件为齐次 D ．泛定方程、边界条件和初始条件均为齐次 [ ]7. 级数的收敛半径是 A . 2 B. k C k 2 D. 1 [ ]8.本征值问题?? ? ??===+==00' 0' 'l x x X X X X λ 的本征函数是 A . x l n π)21(cos + B. x l n π)21(sin + C x l n πsin D. x l n πcos [ ]9．00=x 是方程02 ''=+y w y 的 A 常点 B ．正则奇点 C ．非正则奇点 D ．以上都不是 …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………… …… … … … 答 ……… …… 题…… … … …不…… … …… 要 ………… … 超 …… … ……过…………… 此………… …线… … …… ……

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数学物理方法试题汇总

12届真题 1． 求下列各小题（2*5=10分）： （1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-< ； （2）给出序列(1/)sin 6 n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解； （4）给出二阶偏微分方程的基本类型； （5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。 2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）： （1）320Re i zdz +?，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线； （2 ）11,==?积分路径由z=1出发的。 3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）： （1）2 41x dx x +∞ -∞+?； （2）3||1z z e dz z =?。 4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。 5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y ??-=-??（15分）。 6．利用分离变量法求解：（20分） 2222000 (),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====???-=-?????==????==??? 7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）

220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0. x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞???-=>>?????=>??=>??? 有界，

2005级 一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分） 1. 三维泊松方程是______________________________ 2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。 3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 4. 定解问题20 02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞???==??， ，的解__________________________。 5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx ????=__________________。 8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为： 二、（10分）求解定解问题： 200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>?==≥??=≤≤? ， ，，，，， ， ，0，

数学物理方法考题汇总

第一章 一维波动方程的付氏解 一．简述偏微分方程，阶，线性非线性，齐次非齐次的概念 答：（1）含有未知函数关于自变量的偏导数的等式称为偏微分方程，简称PDE(Partial Differential Equation) （2）偏微分方程的阶：出现在偏微分方程中未知函数偏导数的最大阶数。 （3）方程中各项关于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，称为线性；否则称为非线性方程。 （4）不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项，自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。 二．P24(8) 指出下列微分方程的阶、线性、齐次性： ①(Tricomi 方程): 0xx yy yu u += （2阶线性齐次） ②(Klein-Gordon 方程): 22 0tt u y u c u -?+=（2阶线性齐次） ③(激波方程): 0t x u uu += （1阶非线性齐次） ④(KdV 方程 ): 60t x xxx u uu u -+= （3阶非线性齐次） ⑤(多空介质方程): m t u k u =? （2阶非线性齐次） 三．简述二阶线性偏微分方程的分类方法，P24(9) 对方程111222122+++++=xx xy yy x y a u a u a u b u b u cu f 2 1211220 ()=0 ()<(Laplace,Poisson)a a a >???≡-??? 双曲型弦振动抛物型热传导0 椭圆型

（1）43260+-++=xx xy yy x y u u u u u ：双曲线型 （2）22 (1)(1)0+++++=xx yy x y x u y u xu yu ：椭圆型 四．何谓发展方程？何谓位势方程？何谓叠加原理？ (1) 发展方程: 所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、 热传导方程等； (2) 位势方程：所描述的自然现象是稳恒的，即与时间无关， 如：静电场、引力场等。 (3) 几种不同原因综合产生的效果等于这些原因单独产生效果 的累加.叠加原理适用于线性方程所描述的物理现象. 五．试推导一维波动方程。 （1） 设(,)u x t 表示弦上x 点在时刻t 沿垂直于x 方向的位 移 （2） 弦上任取一小段? NM 2. 基本假设 (1) 弦为曲线,线密度为常数