2020-2021学年山东省寿光现代中学高一6月月考数学试卷 答案和解析
【最新】山东省寿光现代中学高一6月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简AC BD CD AB -+-=（ ） A ．AB B ．BC C ．DA
D ．0
2．下列函数中，最小正周期T π=的是（ ） A ．sin y x = B ．tan 2y x = C ．cos 2
x
y = D ．sin y x = 3．sin160sin10cos20cos10-的值是（ ）
A ．
12 B ．1
2
- C ．2- D ．2
4．函数tan 24y x π?
?
=-
??
?
的定义域是（ ） A ．3+,28k x x k Z ππ??≠
∈???? B ．3+,24k x x k Z ππ??≠∈????
C ．3+
,8x x k k Z ππ??≠∈???
? D ．3+,4x x k k Z ππ??
≠∈????
5．下列命题正确的是（ ） A ．若a b a c ?=?，则b c = B ．若
，则0a b ?=
C ．若a //,b b //c ，则a //c
D ．若a 与b 是单位向量，则1a b ?=
6．ABC ?中，角90C =，若()(),1,2,2AB t AC ==，则t =（ ） A ．3 B ．1 C ．-3 D ．-1
7．已知()()2,34,7a b =-=，，则b 在a 方向上的射影的数量为（ ）
A ．
5 B C ．5
D 8．函数cos y x x =-的部分图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知()()1212121,0,0,1,2,e e a e e b ke e ===-=+，若a b ，则实数k =（ ） A ．
12 B ．2 C ．1
2
- D ．-2
10．为了得到函数sin 2cos2y x x =+的图象，可以将函数2y x =
的图象（ ）
A ．向右平移
4π
个单位 B ．向左平移
4π
个单位 C ．向右平移8
π
个单位
D ．向左平移8
π
个单位
11．在ABC ?中， 1
4
AD AB =
，E 为BC 边的中点，
设,AB a AC b ==，则DE =（ ） A ．11+42a b B ．31+42a b C ．1142a b - D ．3142
a b -
12．()1sin 222323f x x x ππ???
?=
-+- ? ????
?是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数
二、填空题
13．若,αβ均为锐角，54
sin ,cos 135
αβ=
=，则()sin αβ+=_____________． 14．已知四边形ABCD 的三个顶点()()()0,2,1,2,3,1A B C --，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为_____________． 15．已知平面向量a 与b 的夹角为3
π
，且1,223b a b =+=，则a =____.
三、解答题 16．给出下列命题： ①函数2
cos 3
2y x π??=+
???是奇函数；
①函数sin 23y x π??
=+
??
?的图象关于点,012π??
???
成中心对称； ①若,αβ是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ< ①8
x π
=
是函数5sin 24
y x π??
=+
??
?
的一条对称轴； 其中正确命题的序号为 ．（用数字作答） 17．已知4cos 52πααπ??=-
<< ???，求cos ,cos 66ππαα????
-+ ? ?????
18．ABC ?中， 1,2,3
AB BC B π
==∠=，记,AB a BC b ==
（1）求()()
234a b a b -?+的值； （2）求2a b -的值； 19．已知函数()1
3sin 2
4f x x x R π??=-∈
???，
（1）列表并画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）求()f x 的单调递减区间
20．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5
||b =
，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 21．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ω?ω?π=+>><<，，若函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π，当3
x π
=时，函数()y f x =取得最大
值2
（1）求函数()f x 的解析式； （2）若,32x ππ??
∈-
????
，求函数()f x 的值域 22．已知向量()25
cos ,sin ,(cos ,sin ),a b a b ααββ==-=
. （1）求cos()αβ-的值；
ππ
αβ
<<-<<，且
5
sin
13
β=-，求sinα.
（2）若0,0
22
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
根据向量的加法与减法的运算法则，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据向量的运算法则，
可得AC BD CD AB -+-=(AC +)CD -(AB +)BD =–AD AD =0，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了向量的加法与减法的运算法则，其中解答中熟记向量的加法与减法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2．A 【解析】
试题分析：sin y x =最小正周期为π，tan 2y x =最小正周期为2
π
，cos 2x y =最小正周
期为4π，sin y x =最小正周期为2π，选A. 考点：周期
【方法点睛】求三角函数的周期主要有三种方法： （1）周期定义；
（2）利用正（余）弦型函数周期公式； （3）借助函数的图象． 3．C 【解析】 试
题
分
析
：
3
sin160sin10cos20cos10sin 20sin10cos20cos10cos(2010)cos30.-=-=-+=-=-
选C.
考点：两角和余弦公式 4．A 【解析】
试题分析：因为3k 2+k (z)(z)4
2
82
x k x k π
π
πππ-
≠
∈?≠
+∈，所以选A. 考点：正切函数定义域 5．B 【详解】 试题分析：
0()0()a b a c a b a c a b c a b c ?=???-?=??-=?⊥-；
故b c =，不一定成立，所以A 错
22
400a b a b a b a b a b a b +=-?+=-??=??=，
故B 正确
当0b =时，a //,b b //c ?a //c ，故C 错
a 与
b 是单位向量1a b ?==，由于a 与b 夹角不知，
所以1a b ?=不一定成立，故D 错 选B.
考点：向量性质 6．A 【解析】 试
题
分
析
：
()()()0()02,2(2,2,1)042t 20 3.
AC BC AC AB AC t t ?=??-+=??-=?-+=?= 选A.
考点：向量数量积 7．B 【解析】
试题分析：b 在a 方向上的射影为2,34,7
||a b a ?-?==选B. 考点：向量投影
【方法点睛】向量的投影：设θ为a 与b 的夹角，则向量a 在b 方向上的投影是|a|cos θ；向
量b 在a 方向上的投影是|b|cos θ.
数量积的几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 8．D 【分析】
根据函数cos y x x =-的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】
①cos y x x =-是奇函数，其图像关于原点对称，①排除A,C 项；当0,
2x π??
∈ ??
?
时，cos 0y x x =-<，①排除B 项.
故选D. 【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题. 9．C 【解析】
试题分析：因为a b ，所以11:(2):1.2
k k -=?=-选C. 考点：向量共线
【方法点睛】 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a①b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；（2）若a①b （a≠0），则b ＝λa.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 10．D 【解析】
试题分析：
因为sin 2cos 2)4
y x x x π
=+=+，
所以将函数2y x =的图象向
左平移428
π
π=
个单位，选D.
考点：三角函数图像变换
【易错点睛】对y ＝Asin （ωx ＋φ）进行图象变换时应注意以下两点：
（1）平移变换时，x 变为x±a （a ＞0），变换后的函数解析式为y ＝Asin[ω（x±a ）＋φ]；
（2）伸缩变换时，x 变为x
k
（横坐标变为原来的k 倍），变换后的函数解析式为y ＝Asin （k
ω
x ＋φ）． 11．A 【解析】
试题分析：331+++1144422242
AB AC AD AB AC AB
DB DC DE a b --====
+，选A.
考点：向量表示
【方法点睛】（1）利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题． （2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用． 12．C 【解析】
试题分析：()1sin 22sin 2sin 223333f x x x x x ππππ??????=
--=-+= ? ? ??????
?，是最小正周期为π的奇函数，选C. 考点：三角函数图像与性质
【方法点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，帮助我们找到变形的方向． 13．
56
65
【解析】
试题分析：因为,αβ均为锐角，54sin ,cos 135αβ=
=，所以123
cos ,sin 135αβ==，从而()5412356
sin sin cos cos sin 13513565
αβαβαβ+=+=?+?=
考点：三角函数求值
【方法点睛】给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示．
（1）当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式．
（2）当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角．
（3）注意根据角的象限确定三角函数值的符号． 14．722?? ???
， 【解析】
试题分析：设(,)D x y ，则7
2(4,3)2(,2)2,2
BC AD x y x y =?=-?==，即顶点D 的坐标为722?? ???
， 考点：向量坐标
【方法点睛】1.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用．
2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 15．2 【解析】
试题分析：由1b =，将223a b +=的两边同时平方可得，
22
4cos
4123a a b b π
+?+=，即2
144122
a a +?+=，解得2a =. 考点：向量数量积及模长的运算. 16．①① 【解析】
试题分析：2
2cos sin 3
23y x x π??=+=-
???是奇函数，函数sin 23y x π??=+ ???的图象关于直
线12
x π
=
对称，取24
π
αβπ=-=
，tan tan αβ=，8
x π
=
时5sin 214
y x π??
=+
=- ??
?
，8
x π
=
是函数5sin 24
y x π??
=+
??
?
的一条对称轴，因此选①①
考点：三角函数性质
【方法点睛】判断三角函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数对称轴及对称中心取法、三角函数图像、三角函数的周期公式求解．
17．3cos 610πα-??-=
???，3cos 610πα+??+=- ???
【解析】
试题分析：先根据诱导公式得3
sin 5
α=
，再利用两角和与差余弦公式展开即可
试题解析：解：4cos 5α=-，且2παπ<<，所以3sin 5α==
413cos cos cos sin sin 666525πππααα????-=+=-+?= ? ???
??
413cos cos cos sin sin 666525πππααα????+=-=--?= ? ???
?? 考点：诱导公式，两角和与差余弦公式
【方法点睛】给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示． （1）当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式．
（2）当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角．
（3）注意根据角的象限确定三角函数值的符号． 18．（1）6（2）223a b -= 【解析】
试题分析：（1）直接根据向量数量积定义得21=cos
=12132a b a b π??
?????-=- ???
，再根据多项式运算法则得()()
22
234=81036a b a b a a b b -?+-?-=（2）求向量的模，一般先平方转化为向量数量积：2
2
2
24412a b a a b b -=-?+=，再开方 试题解析：解：依据题意得向量a 与b 的夹角是
23
π
=1,=2
a b，
21
=cos=121
32
a b a b
π??
?????-=-
?
??
（1）()()22
234=81036
a b a b a a b b
-?+-?-=
（2）
222
24412
a b a a b b
-=-?+=
所以223
a b
-=
考点：向量数量积
19．（1）详见解析（2）()
37
+4+4,
22
k k k Z
ππ
ππ
??
∈
??
??
，
【解析】
试题分析：（1）五点作图法，先确定五点横坐标：由
13
0,,,,2
2422
x
πππ
ππ
-=解得
3579
,,,,
22222
x
πππππ
=，再描点，连线（2）由正弦函数性质确定不等式：
3
+2+2,
2242
x
k k k Z
πππ
ππ
≤-≤∈，解
37
+4+4,
22
k x k k Z
ππ
ππ
≤≤∈，得单调减区间试题解析：解：（1）函数()
f x的周期
2
4
1
2
T
π
π
==,由
13
0,,,,2
2422
x
πππ
ππ
-=，解得
3579
,,,,
22222
x
πππππ
=，列表如下：
x
2
π3
2
π5
2
π7
2
π9
2
π
1
24
x
π
-0
2
ππ3
2
π2π
1
3sin
24
x
π
??
-
?
??
030-30
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图，图像如下：
（2）函数()1
3sin 2
4f x x π??=-
???的单调递减区间
3+2+2,2242x k k k Z π
ππ
ππ≤
-≤∈
37+4+4,22k x k k Z ππππ≤≤∈ 所以，函数的单调递减区间为：()37+4+4,22k k k Z ππππ??
∈?
???
，
考点：五点作图法，三角函数单调区间
【易错点睛】用“五点法”作图应注意四点：（1）将原函数化为y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）或y ＝Acos （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的形式；（2）求出周期T ＝
2π
ω
；（3）求出振幅
A ；（4）列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．
20．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π. 【分析】
（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解； （2）由向量垂直及数量积的运算性质可得5
2
a b ?=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】
（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ，
222020
x y x y ?+=∴?-=?，解得24x y =??=?或24x y =-??=-?，
(2,4)c ∴=或(2,4)c =--；
（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+?-= ，
即22
5
2320,253204
a a
b b a b +?-=∴?+?-?
=， 整理得52
a b ?=-
，cos 1||||a b
a b θ?∴=
=-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=. 【点睛】
本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 21．（1）()2sin 6f x x π?
?
=+ ??
?
（2）[]1,2- 【解析】
试题分析：（1）求三角函数解析式，一般分类求解：由任意两个相邻交点间的距离为π，得周期2T π=，解出1ω=；由最大值2得2A =；最后将点23π??
???
，代入()()2sin f x x ?=+，得sin =13π???+
???，解出6π?=（2）先由,32x ππ??
∈-????得2,663x πππ??+∈-????
，1sin ,162x π?
???+∈- ????
???，从而求出函数()f x 的值域是[]1,2-
试题解析：解：（1）因为当3
x π
=
时，函数()y f x =取得最大值2，所以2A =
因为函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π，所以2T π=，即
22π
πω
=
1ω=
将点23π??
???
，代入()()2sin f x x ?=+，得sin =13π???+ ???
因为0?π<<，所以6
π
?=
，所以()2sin 6f x x π??
=+
??
?
（2）当,32x ππ??∈-
????时，2,663x πππ??+∈-????，1sin ,162x π?
???+∈- ????
???
所以，函数()f x 的值域是[]1,2- 考点：三角函数解析式，三角函数性质
【方法点睛】 1.求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
2．用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）时ωx ＋φ＝0.“第二点”（即图象的“峰点”）时，ωx ＋φ＝
2
π
；“第三点”
（即图象下降时与x 轴的交点）时ωx ＋φ＝π；“第四点”（即图象的“谷点”）时ωx ＋φ＝32
π
；“第五点”时ωx ＋φ＝2π. 22．（1）
35；（2）
33
65
. 【分析】
（1）对等式25
a b -=
进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；
（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出sin()αβ-的值，再由同角三角函数关系式结合sin β的值求出cos β的值，最后利用两角和的正弦公式求出sin α的值即可. 【详解】 （1）222
25443()2555
a b a b a b a b a b -=
?-=?+-?=??= 33
cos cos sin sin cos()55
αβαβαβ?+=
?-=； （2）因为0,02
2π
π
αβ<<
-
<<，所以0αβπ<-<，而3cos()5
αβ-=，
所以4sin()5αβ-==
，因为02π
β-<<，5sin 13
β=-，所以
12
cos 13
β==
. 因此有33sin sin[()]sin()cos cos()sin 65
ααββαββαββ=-+=-+-=. 【点睛】
本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.