(完整版)四年级奥数第二讲余数问题
第二讲余数问题
带余除法的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当0
r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
在除法中，当被除数除以除数（除数不等于0）出现了余数（余数要比除数小），就称为有余数的除法。在有余数的除法中，我们要记得：
1、被除数=除数×商＋余数
2、被除数－余数=除数×商
由此得到：除数=_________________________；商=__________________________。
例题1、两个整数相除，商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个数。分析：这是一个差倍问题，画线段图可以分析得出：
除数为：（822-8）÷（12-1）=74，被除数为：822+74=896
例题2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）在1到100这100个数中，被2,3,5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。
分析：被2除余数为1，被3除余数为2，被5除余数为3或者4,
用枚举法，利用5的倍数进行枚举：5+4=9,10+3=13,15+4=19,20+3=23等
有23,29,53,59,83,89共6个。
186，被3除余2，被5除余3，例题3、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）五位数ab
被11除余0，则ab＝。
分析：用除法算式，先满足被11除余0，得出ab可能取值为：01,12,23,34,45,56,67,78,89，再满足被5除余3，末尾为3或者8，只能取23,78；最后满足被3除余2，所以只有78.
练习：
1、（第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛）一个除法算式，若被除数比除数大2016，商是15，余数是0，则被除数是。
2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）过元旦时，班委会用730元为全班同学每人买了一份价值17元的纪念品，剩余16元，那么，这个班级共有名。
3、两个数的和是444，较大的数除以较小的数所得的商是4余24，这两个数各是多少？
例题4、有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的
商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5） 因为111337÷=，所以这个数除以6后余数的末位数字是3；
因为(1111)336-÷=…2，所以这个数除以6后商的末位数字是8．
例题5、 2000年的“元旦”是星期六，这年的6月1日是星期_______。
解：① 以“元旦”（1月1日）到“六一”，共有31＋29＋31＋30＋31＋1=153（天）；
② ∵“星期”是以7天为一个周期，依次循环的，∴153÷7=21（周）……6（天）。 ③∵（如表所示）余数为6的是星期四，∴这年的6月1日星期 四 。
练习：
1、（第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛决赛）规定，n 个a 相乘，记为n
n a
a a a a ???=L 14243
个
观察下面的计算：
81=8, 82=64, 83=512, 84=4096, 85=32768, 86=262144, 87=2097152, 88=16777216……
则82017除以10，得到的余数是__________
2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）已知2013年12月31日是星期二，那么2014年6月1日是 。（用数字作答：星期一用1表示，星期二用2表示，星期三用3表示，
星期四用4表示，星期五用5表示，星期六用6表示，星期日用7表示。）
3、（第十四届“希望杯”数学四年级）王华每星期二、六学书法，已知2016年的元旦是星期五，那么在2016年8月，王华学书法的天数是。
练习：
1、被除数、除数、商与余数的总和是100，已知商是12，余数是5，求被除数
与除数。
2、（华罗庚金杯赛试题）已知被除数比除数大78，并且商是6，余数是3，则被除数与除数之积是___________
3、2017年的“元旦”是星期日，这年的“五一”节是星期______。
4、4×4×4×……×4的积除以10所得的余数是( )
5、（全国小学数学竞赛）某年的二月份有五个星期四，这年六月一日是星期_______。解：∵7×4=28（天），∴二月份有五个星期四必须是29天（闰月），且2月1日就是星期四。而从2月1日至6月1日共经过了（29＋31＋30＋31＋1）=122天，122÷7=17（周）……3日，3日（号）是星期二，故六月一日也是星期二。
6、下列所示，第一组是（1，A，我），第二组是（3，B，们），第三组是（4，C，爱），……
问第94组是________。
数字134********……
字母A B C A B C A B C A B……
汉字我们爱数学我们爱数学我……
7、8把椅子排成一个正方形，依次编号（如下图），张华坐在3号椅子上，他顺时针前进了245个座位后又倒退了一个座位，这时他应该坐在第几号椅子上？
8、如图所示，原先甲、乙、丙、丁四人分别坐在1，2，3，4号位子上，后来不停地调换
位子。第一次上、下两排交换，第二次再左右两排交换，第三次再上、下两排交换，
第四次再左右两排交换，…这样一直交换下去，第33次交换后，甲坐在第几号位子上？
开 始 第一次 第二次 第三次 第四次
第二十讲 <练习巩固与拓展>答案
1、解：① 100÷6=16（周期）……4（个）；②∵1个周期里有1个△，∴1×16＋1=17（个）， 故第100个图形是△；前100个图形中共有17个△。
2、解：94÷4=23……2，所以数字是3； 94÷3=31……1，所以字母是A ； 94÷5=18……4，所以汉字是数； 这样就可得第94组是（3，A ，数） 51÷4=12……3，所以数字是2； 51÷3=17，所以字母是B ； 51÷5=10……1，所以汉字是学； 这样就可得2000是（2，B ，学）。
3、解：如图所示：
几个8连乘 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 积的个位数
8
4
2
6
8
4
2
6
8
4
……
1993÷4=498……1，
若干个8连乘，积的个位按8，4，2，6循环，所以1993年8连乘，积的个位数是8。 4、解：如图所示：
钱数（元） 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 …… 5元本数 2 1 3 2 1 3 2 4 3 2 4 3 5 …… 3元本数
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
……
35÷5=7 （1＋3＋0＋2＋4）×7=70（本） 所以买3元一本课外书的总数是70本。 5、解：1993÷5=398……3，所以第1993个数是8. （4＋2＋8＋5＋7）×398＋（4＋2＋8）
1甲 2乙 3丙 4丁 1丙 2丁 3甲 4乙 1丁 2丙 3乙 4甲 1乙 2甲 3丁 4丙 1甲 2乙 3丙 4丁
=26×398＋14 =10362
所以这1993个数的和是10362。
6、解：2000年是闰年：（31＋29＋31＋30＋1）÷7
=122÷7 =17 (3)
所以这年的劳动节是星期一。
7、解：245÷8=30 (5)
张华原坐在3号椅子上，顺时针前进245个座位应在8号椅子上。又倒退了一个座位，所以他应该坐在第7号椅子上。
8、解：33÷4=8……1 所以甲应坐在3号位子上。
9、解：（1）489÷6=81……3 所以489应排在C行上。
（2）2×81＋1=163 所以排到489时，A行共有163个数。
（3）500÷6=83……2 2×83＋1=167 所以500应在B行的第167个数。
10、解：（2000－5）÷8=249 (3)
所以数到2000时正好数到食指上。
11、解：（1000－4）÷6=166
所以第1000个数字是2
1＋9＋9＋2=21
8＋6＋8＋8＋4＋2=36
21＋36×166
=21＋5976 =5997
所以这1000个数字的和是5997。
12、解：若干个4连乘，积的个位数字按4，6循环。
1900÷2=950
所以1900个4连乘积的个位数是6.
13、解：若干个2连乘，积的个位数字按2，4，8，6循环。
2222÷4=555 (2)
所以2222个2222相乘，所得结果的个位数是4。
14、解：24－9－9=7，三个相邻数字为9、8、7
经尝试X=8
15、解：把钱数和可买粘贴纸的张数列表：
2角一张的张数变化规律是1，0，2这三个数循环。
46÷3=15 (1)
（1＋0＋2）×15＋1==46（张）
所以所买2角一张的粘贴纸共有46张。
16、解：如下表可知：
4张做一朵花的朵数变化规律是1，2，0这三个数循环。
40÷3=13 (1)
（1＋2＋0）×13＋1=40（朵）
所以用4张纸做的花共40朵。