华罗庚学校数学教材(五年级上)第13讲 染色中的抽屉原理

本系列共15讲

第十三讲染色中的抽屉原理

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文档贡献者：与你的缘

根据抽屉原理可以解决许多有趣的问题，关键在于根据不同的问题制造抽屉。如研究整除问题时常用剩余类当作抽屉，研究长度和面积时用图形制造抽屉等等。在这一讲中将研究如何用颜色当作抽屉来解决一些问题。

例1：平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个同色的三角形。

分析与解答连彩线的方式很多，如果一一画图验证结论，显然是不可取的。这个问题如果利用抽屉原理去解决，就不是难事了。

从任意一点比如点A出发，要向B、C、D、E、F连5条线段。因为只有两种颜色，所以根据抽屉原理，至少有3条线段同色。不妨设AB、AD、AE三线同色（如下图）。如果B、D、E这三点之间所连的三条线段中有一条是红色的，则出现一个三边为红色的三角形。如果这三点之间所连线段都不是红色，那么就是蓝色的，这样，三角形BDE就是一个蓝色的三角形。因此，不管如何连彩线，总可以找到一个三边同色的三角形。

如果我们把上面例题中的点换成人，把红蓝两种颜色连线换成人与人之间的关系，又可以解决某些实际问题。如：证明在任意的6个人之间，或者有3个人互相认识，或者有3个人互相都不认识。

我们只需要把互相认识的两人用红线连接，互相不认识的用蓝线连接，那么所要证明的结论就变成证明存在一个红色或蓝色的三角形了。

例2：从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级：关系密切、一般关系、毫无关系。请你证明在这个学校的17名校友中，至少有三个人，他们之间的关系是同一个等级的。

分析与解答把17个人看成平面上的17个点，用红、蓝、白三种颜色的连线表示同学之间三种不同等级关系，那么这个实际问题就转化为：证明用红、蓝、白三种颜色的线段连接平面上的17个点（没有三点共线），一定存在一个同色的三角形。

因为一个点要与其他16个点连线，只有三种颜色，所以根据抽屉原理，从一点至少引出6条同色的线段。不妨设点A与B、C、D、

E、F、G六点是用白色线段连接的。如果B、C、D、E、F、G这六点之间有一条白色连线，那么就会出现一个三边为白色的三角形。否则，这六个点只能用红、蓝两种颜色连接了。根据例1的证明可得，这六个点之间必有一个红色边或蓝色边的三角形存在。

从例2的证明看出，它的论证方法与例1是相似的，只不过比例1多用了一次抽屉原理。

例3：用黑、白两种颜色把一个2×5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色，证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。

分析与解答因为每列只有两格，而这两格的染法只有（下图）四种，将4种染色方式当作4个抽屉，题中所有的方格共有5列，根据抽屉原理，至少有两列的染色方式完全相同。

例4：如果有一个3×n的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同。

分析与解答每一列都从4种颜色中选出三种分别染上这列中的三个小格，染色的方式共有4×3×2=24（种）。若要保证至少

有3列的染色方式完全相同，那么n至少是24×2＋1=49。

下面研究另一类长方形阵列小格的染色的问题。

例5：对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。

证法1：每一列的三个格用黑、白两种颜色染色，所有可能的染法只有如下图中的八种。

如果在所染色的3行7列阵列中某一列是第（1）种方式，即三格均为白色，则其余6列中只要再有第（1）（2）（3）（4）种方式之一（即该列中至少有两个白格），那么显然存在一个四角格都是白色的长方形。若第（1）（2）（3）（4）种方式均未出现，那么其余6列就只能是（5）（6）（7）（8）这四种方式，根据抽屉原理，其中至少有两列染色方式完全一样。又（5）~（8）中每一列至少有两格染黑色，所以一定存在一个长方形，它的四角格颜色都是黑色。

同理可知，如果有一列是第（8）种方式，即三格均为黑色，

那么也存在四角同色的长方形。

如果在7列中（1）（8）两种方式都未出现，则只有（2）（3）（4）（5）（6）（7）这六种方式染这7列，根据抽屉原理，至少有两列染色方式完全一样。所以仍然存在四角同色的长方形。

证法2：第一行有7个小方格，用黑白两种颜色去染，根据抽屉原理，至少有四个方格所染颜色相同，不妨设第一行有4个黑方格。再看第二行，如果在第一行的四个黑方格下面的四格中有两格是黑色，则结论显然成立。否则第二行这四个格中至少有3个白色方格。

再看第三行，根据抽屉原理，在第三行的位于第二行的3个白格下面的3个格中必至少有两格同色。如果有两格为白色，则与第二行构成四角白色的长方形；如果没有两格白色，那么必有两格为黑色，则与第一行构成四角黑色的长方形。

例6：用黑、白两种颜色将一个5×5的长方形中的小方格任意染色，求证：在这个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。

分析与解答第一行中的3个小方格用黑、白两种颜色去染，根据抽屉原理，至少有3个小方格同色。不妨设第一行的前3个为白格。现在考虑位于这3个白格下面的那个3×4的长方形（如下

图），用黑、白两种颜色去染这个3×4的长方形，有以下两种情况：

（1）若在某一行的3个方格中出现两个白格，则它们与上方第一行相应的两个白格可组成四角同为白色的长方形；

（2）若在4×3的长方形的任意一行的3个小方格中都不含两个白格，也就是每一行的3个小方格所佟的颜色只有一白二黑或三黑，则只有下面（1）（2）（3）（4）共4种可能。如果（4）出现在某一行中，那么不管其他三行为（1）（2）（3）（4）中的哪种情况，必有一个四角为黑色小方格的长方形。如果（4）未出现，则在这四行中只能出现（1）（2）（3）这3种情况，由抽屉原理可知，必有两行染色方式完全相同，显然这两行中的4个黑色小方格可构成四角同黑的长方形。

习题十三

1．天，颐和园知春亭中有6位游客。请证明：他们之间必有三名互相认识或者互相不认识。

2．用红、黑两种颜色将一个2×9的长方形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，证明：至少有3列小方格中染的颜色完全相同。

3．用红、白、黑三种颜色给一个3×n的长方形中的每一个小方格随意染上一种颜色。n至少为多少时，才能保证至少有两列染色方式完全一样？

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华罗庚学校数学课本：二年级 上册 第一讲速算与巧算 一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11）

=（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把 31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84

这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9

抽屉原理在数学中的运用

抽屉原理在初等数学中的运用 摘要：抽屉原理也称为鸽巢原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.也是数学中的一个重要原理，抽屉原理的简单形式可以描述为：“如果把1+n 个球或者更多的球放进n 个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果. 运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。在解决数学问题时有非常重要的作用. 抽屉原理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等. 各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处. 关键词：抽屉原理；初等数学；应用 一、 抽屉原理（鸽巢原理） 什么是抽屉原理？先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，当鸽子飞回巢中，那么一定至少有一个鸽笼里有两只鸽子，这就是著名的鸽巢原理. 除了这种比较普遍的形式外，抽屉原理还经许多学者推广出其他的形式.比如陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式: 原理1 把多于n 个的元素按任一确定的方式分成n 个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.

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华罗庚学校数学课本电子版 第一讲认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。 用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。 沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。 从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。 沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。 两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。 两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。 角是由从一点引出的两条射线构成的。这点叫角的顶点，射线叫角的边。角分锐角、直角和钝角三种。 直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。教室里天花板上的角都是直角。 锐角比直角小，钝角比直角大。

习题一 1．点（1）看，这些点排列得多好！ （2）看，这个带箭头的线上画了点。 2．线段下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！ （1）一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。 （2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。 （3）三根小棍。可以像下面这样摆。 3．两条直线 哪两条直线相交？哪两条直线垂直？哪两条直线平行？

4．你能在自己的周围发现这样的角吗？ 第二讲认识图形（二） 一、认识三角形 1．这叫“三角形”。 三角形有三条边，三个角，三个顶点。 2．这叫“直角三角形”。 直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边。 3．这叫“等腰三角形”。 它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等），相等的两条边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。 4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。它既是直角三角形，又是等腰三角形。

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华罗庚学校数学课本：二年级 上册 第一讲速算与巧算 一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11）

=（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6

=30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9

华罗庚学校数学课本(6年级下册)第01讲 列方程解应用题

第一讲列方程解应用题 这一讲学习列方程解应用题． 例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数． 分析被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出方程． 解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65． 答：甲数是65，乙数是24． 例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？ 思路1： 分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效x所需的天数=剩下台数． 解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×1.25x=1600-400 100x=1200 x=12．

答：完成计划还需12天． 思路2： 分析“思路1”是从具体数量入手列出方程的．还可以从“率”入手列方程．已知“效率提高25％”是指比原效率提高25％．把原来效率看成 解：设完成计划还要x天． 答：完成计划还需12天． 例3有一项工程，由甲单独做，需12天完成，丙单独做需20天完成．甲、乙、丙合作，需5天完成．如果这项工程由乙单独做，需几天完成？ 工作总量． 解：设乙单独做，需x天完成这项工程．

复杂抽屉原理

1．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有4个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：2 2．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有7个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：3 3．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有10个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：4 4．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级35名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习

难度：中等 类型：填空题 答案：4 5．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：6 6．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级60名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：7 7．幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有________个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：4 8．幼儿园买来许多牛、马、羊、狗玩具，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少有

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华罗庚学校数学课本 一年级 上册 刘彭芝主编子悦爸整理

目录 第一讲认识图形（一） (1) 习题一 (2) 第二讲认识图形（二） (4) 习题二 (7) 第三讲认识图形（三） (8) 习题三 (9) 第四讲数一数（一） (11) 习题四 (12) 习题四解答 (14) 第五讲数一数（二） (15) 习题五 (16) 习题五解答 (18) 第六讲动手画画 (20) 习题六 (21) 第七讲摆摆看看 (23) 习题七 (24) 习题七解答 (25) 第八讲做做想想 (27) 习题八 (27) 习题八解答 (29) 第九讲区分图形 (31) 习题九 (32) 习题九解答 (33) 第十讲立体平面展开 (35) 习题十 (36) 第十一讲做立体模型 (37) 习题十一 (38) 第十二讲图形的整体与部分 (39)

习题十二 (40) 习题十二解答 (42) 第十三讲折叠描痕法 (43) 习题十三 (44) 习题十三解答 (44) 第十四讲多个图形的组拼 (46) 习题十四 (47) 习题十四解答 (48) 第十五讲一个图形的等积变换 (50) 习题十五 (51) 习题十五解答 (52) 第十六讲一个图形的等份分划 (54) 习题十六 (55) 习题十六解答 (56) 第十七讲发现图形的变化规律 (58) 习题十七 (59) 习题十七解答 (61)

第一讲认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。 用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。 沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。 从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。 沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。 两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。 两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。

华罗庚学校数学教材(五年级上)第11讲 简单的抽屉原理

本系列共15讲 第十一讲简单的抽屉原理 . 文档贡献者：与你的缘 把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里。尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果。由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了。由此得到： 抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理。不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。 比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔…等十二种生肖）相同。怎样证明

这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚。事实上，由于人数（13）比属相（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13个人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。 应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。 例1：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉，由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。 例2：一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？ 分析与解答扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，

小学三年级华罗庚学校数学课本(奥数)[doc]

上册华罗庚学校数学课本：三年级 下册 第一讲速算与巧算（一）第二讲速算与巧算（二） 第三讲上楼梯问题 第四讲植树与方阵问题 第五讲找几何图形的规律 第六讲找简单数列的规律 第七讲填算式（一） 第八讲填算式（二） 第九讲数字谜（一） 第十讲数字谜（二） 第十一讲巧填算符（一） 第十二讲巧填算符（二） 第十三讲火柴棍游戏（一）第十四讲火柴棍游戏（二）第十五讲综合练习题第一讲从数表中找规律 第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起第三讲多笔画及应用问题 第四讲最短路线问题 第五讲归一问题 第六讲平均数问题 第七讲和倍问题 第八讲差倍问题 第九讲和差问题 第十讲年龄问题 第十一讲鸡兔同笼问题 第十二讲盈亏问题 第十三讲巧求周长 第十四讲从数的二进制谈起 第十五讲综合练习

上册 第一讲速算与巧算（一） 一、加法中的巧算 1.什么叫“补数”？ 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。 又如：11+89=100，33＋67=100， 22+78=100，44+56=100， 55+45=100， 在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89 的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一 般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加 得9，到最后个位数字相加得10。 如：87655→12345，46802→53198， 87362→12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例1巧算下面各题： ①36+87+64 99+136＋101 ③1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187 ②式=（99＋101）＋136 =200+136=336 ③式=（1361＋639）＋（972＋28） =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。 例2 ①188＋873 ②548＋996 9898＋203 解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）＝200+861=1061 ②式=（548-4）＋（996＋4） =544+1000=1544 ③式=（9898＋102）＋（203-102） =10000+101=10101 4.竖式运算中互补数先加。 如： 二、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例 3 300-73-27 ②1000-90-80-20-10 解：①式= 300-（73＋27） ＝300-100=200 ②式=1000-（90＋80＋20＋10） ＝1000-200＝800 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4 4723-（723＋189） ②2356-159-256 解：①式=4723-723-189 ＝4000-189=3811 ②式=2356-256-159 ＝2100-159 =1941 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。 例5 ①506-397 ②323-189 ③467＋997 ④987-178-222-390 解：①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上） =109 ②式=323-200+11（把多减的11再加上） =123+11＝134 ③式=467＋1000-3（把多加的3再减去） ＝1464 ④式=987-（178＋222）-390 ＝987-400-400+10=197 三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则 在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即： a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d a-（b-c）＝a-b+c 例6①100＋（10＋20＋30） ②100-（10＋20+3O） ③100-（30-10） 解：①式=100＋10＋20＋30 =160 ②式=100-10-20-30 =40 ③式=100-30＋10 ＝80 例7计算下面各题： ①100＋10＋20＋30 ②100-10-20-30 ③100-30＋10 解：①式=100＋（10+20+30） =100＋60=160 ②式=100-（10＋20+30） ＝100-60=40

小学五年级-抽屉原理

第24讲抽屉原理二 内容概述 抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子． 典型问题 兴趣篇 1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？ 答案：7 详解：60÷（8＋1）=6……6,6＋1=7个。 2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？ 答案：3 详解：答案的结果有23=8种情况，即8个抽屉。17÷8=2……1，2＋1=3名。 3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等． 详解：两位数的情况共4种：12,21,11,22。六位数可以截取出5个两位数，所以必有重复。 4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和 不小于8。 详解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=21,21÷3=7，图形总共有3行，第一行只有一个数，最大填6，那么后两行至少有一行是大于7的整数，即不小于8。 5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明： (1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50； 详解：构造差为50的抽屉：（1,51）、（2,52）、……、（50,100），共50个抽屉。选出51个数，必有两数来自一组，即差为50. (2)在这51个数中，一定有两个数差1． 详解：构造差为1的抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（99,100），共50个抽屉。必有两数来自一组，即差为1.

华罗庚学校数学教材(五年级下)第10讲 逻辑推理(一)

本系列共15讲 第十讲逻辑推理（一） . 文档贡献者：与你的缘 由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径。为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有根有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。 解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。 例1公路上按一路纵队排列着五辆大客车，每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志。每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志。调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断。他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的。这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”。第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道。第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，

说出了自己的目的地。 请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的？他又是怎样分析出来的？ 解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A市，说明第一、二辆车不可能都开往A市（否则，如果第一、二辆车都开往A市，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市）。 再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A 市的（否则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定开往B市）。 运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B 市。 例2李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛。事先规定，兄妹二人不许搭伴。 第一盘：李明和小华对张虎和小红； 第二盘：张虎和小林对李明和王宁的妹妹； 请你判断：小华、小红和小林各是谁的妹妹？ 解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹

抽屉原理基本介绍

基本介绍 应用抽屉原理解题 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。 解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。 “从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少. 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。 制造抽屉是运用原则的一大关键 例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉： 此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。 例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。

华罗庚学校数学教材(五年级上)第07讲 行程问题

本系列共15讲 第七讲行程问题 .文档贡献者：与你的缘 在这一讲中，我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目。为此，我们需要先回顾一下已学过的基本数量关系： 路程=速度×时间 总路程=速度和×时间 路程差=速度差×追击时间 例1：小华在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好成一直线，解完题时两针正好第一次重合。问：小华解这道题用了多长时间？ 分析：这道题实际上是一个行程问题。开始时两针成一直线，最后两针第一次重合。因此，在我们所考察的这段时间内，两针的路程差为30分格，又因为时针每小时走5分格，即它的速度为12 1 分格/分钟，而分针的速度为1分格/分钟，所以，当它们第一次重合时，一定是分针从后面追上时针。这是一个追击问题追及时间就是小明的解题时间。 解：30÷（1－）=30÷=32（分钟）121121111 8例2：甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，

丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇。求A、B两地间的距离。 画图如下： 分析：结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500米。 又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50－40=10（米/分），这样可求出乙从B到C的时间为1500÷10=150分钟，也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。 解：（1）甲和乙15分钟的相遇路程： （40＋60）×15=1500米 （2）乙和丙的速度差： 50－40=10（米/分）

小学六年级奥数 抽屉原理(含答案)

抽屉原理 知识要点 1.抽屉原理的一般表述 (1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为： 第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。 (2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为： 第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。 2.构造抽屉的方法 常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，……13点牌各一张)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取张牌。点拨对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。 点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。 解(1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)

例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？ 点拨可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。 解 (1)因为37÷12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。 (2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人) 不保证有6人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。 例3有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？ 点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，再取1张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。 解 (1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张) 例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？ 点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：解借球有6种情况，看做6个抽屉， 所以至少要来7名学生借球，才能保证。 例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个

华罗庚学校数学教材(五年级下)第03讲 巧求表面积

本系列共15讲 第三讲巧求表面积 . 文档贡献者：与你的缘 我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积。如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么，长方体的表面积=（ab＋ah ＋bh）×2。如果正方体的棱长用a表示，则正方体的表面积=6a2。对于由几个长方体或正方体组合而成的几何体，或者是一个长方体或正方体组合而成的几何形体，它们的表面积又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看图能力和空间想象能力。小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、前三个方向）的平面图形的面积的总和。有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。 例1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。

分析我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面。这样这个立体图形有表面积就可以分成这样两部分： 上下方向：大正方体的两个底面；侧面：小正方体的四个侧面 大正方体的四个侧面。 解：上下方向：5×5×2=50（平方分米） 侧面：5×5×4=100（平方分米） 4×4×4=64（平方分米） 这个立体图形的表面积为： 50＋100＋64=214（平方分米） 答：这个立体图形的表面积为214平方分米。 例2下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方体小洞，第三个正方体小洞的1 2

华罗庚学校数学教材六年级上比和比例

华罗庚学校数学教材六年级上比和比例 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

本系列共14讲 第二讲比和比例 . 文档贡献者：与你的缘 在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。 成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x 变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两 个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例． 下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始． 例1下列各题中的两种量是否成比例成什么比例 ①速度一定，路程与时间． ②路程一定，速度与时间． ③路程一定，已走的路程与未走的路程． ④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间． ⑤总产量一定，亩产量和播种面积． ⑥整除情况下被除数一定，除数和商． ⑦同时同地，竿高和影长． ⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．

⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数． ⑩圆的半径和面积． (11)长方体体积一定，底面积和高． (12)正方形的边长和它的面积． (13)乘公共汽车的站数和票价． (14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数． (15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量． 分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例． 解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15) 成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14) 不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)． 例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小

2019年上海数学·自招(中考)第15讲 抽屉原理、染色问题与逻辑问题

第15讲抽屉原理、染色问题与逻辑问题 例1用红、黄两种颜色将一个25 的矩形小方格随意染色，每个方格染一种颜色，证明：必有两列它们的小方格染的颜色完全相同. 例2 将一个等边三角形分成25个全等的小三角形，至多可以不重叠地铺多少个由两个小三角形组成的菱形？说明理由 例3 用颜色染一个正五边形的5条边和它的5条对角线（每条线段用一种颜色），至少要用几种颜色才能使任意一个三角形的三条边颜色均不相同？ 例4有50个女孩，她们的肤色是白色或黑色的，眼睛是蓝色或褐色的，若有14个蓝眼睛白皮肤，31个黑肤色，18个褐眼睛，求褐色眼睛黑色肤色的女生人数.

超越自我 例5 从三位数100、101、102、……499、500，中任取n个不同的数，使得总能找到其中3个数，它们的数字和相同，试确定n的最小值，并说明理由 例6 在1,2,3，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？ 例7在5行7列棋盘中挖去第4列第1格，能否用12 的转头铺满余下34个格子且没有重叠？ 例8 证明任意6个人中，一定存在3个人或者互相都认识，或者互相都不认识 例9 甲乙丙三个学生分别带着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服，去参加一项公益活动，已知：（1）帽子和衣服的颜色都只有红黄蓝3种；（2）甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；（3）戴红帽子的学生没有穿蓝衣服；（4）戴黄帽子的学生穿着红衣服；（5）乙没有穿黄衣服.试问：甲乙丙三人各戴着什么颜色的帽子，各穿什么颜色的衣服？ 例10 华罗庚曾提出这样的问题：一位老师让三位聪明学生看了一下事先准备好的五顶帽子，三顶白色，两顶黑色，然后请三位学生闭上眼睛给没人戴上一顶帽子，将其余帽子藏起来，随后请三位学生睁开眼睛后说出自己头上所戴帽子的颜色，三人睁开眼睛互相看了一下，踌躇了一会儿，觉得为难，而后三人几乎同时说出自己头上的帽子. 请问：他们是如何判定自己头上帽子的颜色的？他们各戴什么颜色的帽子？

华罗庚学校数学教材(六年级下)第14讲-关于空间想象力的综合训练题

本系列共14 讲 第十四讲关于空间想象力的综合训练题 . 文档贡献者：WINNER 1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？ 2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积. 3.有一个正方体，边长是 5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？ 4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成下图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积. 5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？

6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为 628 立方厘米 的圆柱体（下图）.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为 3.14）. 7.一个高为 30 厘米，底面为边长是 10 厘米的正方形的长方体水 桶，其中装有 1 容积的水。现在向桶中投入边长为 2 厘米×2 厘米×3 2 厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高 相齐？ 8，有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形 的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是 1∶2。用这些纸 板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。问在所做的纸 盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 9.如下图，在棱长为 3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到 后，有三个底面积是 1 的正方形高为 3 的长方体的洞，求所得形体的 表面积是多少？ 10.将边长为 10 的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为

中国华罗庚学校数学课本习题

（ “方法为上”六年级数学学习辅导 ）中国华罗庚学校数学课本习题. 第一章分数应用题 第一节 分数应用题的基本类型 例1、一桶油，第一次用去1/3,正好是4升，第二次又用去这桶油的1/4，还剩多少升？ 例2、某工厂计划生产一批零件，第一次完成计划的1/2, 第二次完成计划的3/7,第三次生产450个，结果超出计划的1/4，计划生产零件多少个？ 例3、王师傅四天完成一批零件，第一天和第二天共做了54个，第二，第三和第四天共做了90个。已知第二天做的个数占这批零件的1/5.这批零件一共有多少个？ 例4、六（1）班男生的一半和女生的1/4共16人，女生的一半和男生的1/4共16人。六一班学生共有学生多少人？ 同步精练 1、一个粮食仓库，原来存有一批粮食，运走2/3后，又运来5.6吨，这时现有存粮是原来存粮的4/5，粮仓现有存粮多少吨？ 2、一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的8/15后，超过终点1又1/5千米，甲乙两地全程是多少千米？ 3、两袋大米，乙袋比甲袋重12千克。如果从甲袋倒入乙袋6千克，这时甲袋大米重量是乙袋大米的5/8.两袋大米原来共有多少千克？ 4、两堆煤，从甲堆煤运走1/4，乙堆煤运走一部分后剩下3/5，这这时甲堆重量是乙队重量的3/5，甲队原有120吨，乙队原有多少吨？ 5、一条水渠，第一天挖了25米，第二天挖了余下的2/5，这这时剩下的与挖好的正好相等。这条水渠有多长？ 6、一个粮仓，原来存有一批粮食，运走 32后，又运来5.6吨，这是现有存粮是原来存粮的54，粮库原有存粮多少吨？ 7、一种石英表，先涨价 101，然后降价101，这时售价49.5元，原价是多少元？ 8、小红读一本书，第一天读了全书的 32，第二天读了余下的4 1，两天共读30页，这本书共有多少页？

华罗庚学校数学课本6上

华罗庚学校数学课本（六年级·修订版） 上册 第一讲工程问题 第二讲比和比例 第三讲分数、百分数应用题（一） 第四讲分数、百分数应用题（二） 第五讲长方体和正方体 第六讲立体图形的计算 第七讲旋转体的计算 第八讲应用同余解题 第九讲二进制小数 第十讲棋盘中的数学（一） 第十一讲棋盘中的数学（二） 第十二讲棋盘中的数学（三） 第十三讲棋盘中的数学（四） 第十四讲典型试题分析

第一讲工程问题 工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）． 这三个量之间有下述一些关系式： 工作效率×工作时间＝工作总量， 工作总量÷工作时间＝工作效率， 工作总量÷工作效率＝工作时间． 为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效． 例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？ 答：甲、乙、丙三队合作需10天完成． 说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位．这样，工效就用工

例2师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5 天 批零件各需几天？ 工 效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天． 答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天． 例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？ 分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。 解：设甲做了x天．那么， 两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，