天津南开中学2020届高三第三次统一考试数学试题及答案详解(21页)
天津南开中学2020届高三第三次统一考试数学试题
数学试题
一、选择题
1.设命题2:,2n
P n N n ?∈>，则P ?（ ）
A. 2,2n
n N n ?∈> B. 2,2n
n N n ?∈≤ C. 2,2n
n N n ?∈≤
D. 2,2n
n N n ?∈=
【答案】C 【解析】
【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ?∈≤，即本题的正确选项为C. 【此处有视频，请去附件查看】
2.设x、y、z 为正数，且235x y z ==，则 A. 2x <3y <5z B. 5z <2x <3y C. 3y <5z <2x D. 3y <2x <5z
【答案】D 【解析】
令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k
∴22lg lg 3lg 9
13lg 23lg lg8x k y k =?=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32
x k z k =?=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运
算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A. ax by cz ++ B. az by cx ++ C. ay bz cx ++
D. ay bx cz ++
【答案】B 【解析】
由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-
()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为
()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.
故最低费用为az by cx ++.故选B. 【此处有视频，请去附件查看】
4.已知函数3
2()1f x x ax bx =+++，函数(1)1y f x =+-为奇函数，则函数()f x 的零点
个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B 【解析】
试题分析：
32(1)1(3)(32)1f x x a x a b x a b +-=++++++++Q 为奇函数，3a ∴=-，2b =，32()321f x x x x ∴=-++，2()362f x x x '∴=-+，则()0f x '=的两根为
13
13
x =-
，
21x =+
()f x 的极小值为2()0f x >．又(0)10f =>Q ，(1)50f -=-<，∴存在0(1,0)x ∈-，使0()0f x =．综上，函数()f x 的零点个数为1,故应选B ． 考点：函数的零点和导数的有关知识的运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的(1)1y f x =+-是奇函数，求出函
数解析式中的参数
的值，进而运用导数求得函数
的两个极值
点
，通过计算分析算得2()0f x >和，(1)50f -=-<，从而判定函数
的零点在区间
内．从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的
重要作用．
5.设函数()(21)x
f x e x ax a =--+，
其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）
A. 3,12e ??
-????
B.
33,2e 4??
-????
C.
33,2e 4??
????
D. 3,12e ??
????
【答案】D 【解析】 【分析】
设()()21x
g x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数
0x 使得满足
()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且
()3
12g a e
-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.
【详解】设()()21x
g x e x =-，()1y a x =-，
由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整
数，
()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当1
2x >-时，()0g x '>.
所以，函数()y g x =的最小值为11222g e ??
-=-- ???
. 又()01g =-，()10g e =>.
直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，
故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得3
12a e
≤<，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
6.设函数()f x 满足()()()2
2
2,2,8
x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值也无极小值
【答案】D 【解析】
【详解】Q 函数()f x 满足2
'()2()x
e
x f x xf x x
+=，
()2
'x e x f x x
??∴=??，令()()2
F x x f x =， 则()()()2
',24?22
x e e F x F f x ===，
由()()2
'2x e x f x xf x x +=，得()()3
2'x e F x f x x
-=，令()()2x
x e F x ?=-， 则()()()2'2',x x
e x x e F x x
?-=-=
()x ?∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ?∴的最小值为()()()22220,0e F x ??=-=∴≥.
又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，
()f x ∴既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构
造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2
F x x f x =，再结合
条件判断出其单调性，进而得出正确结论. 【此处有视频，请去附件查看】
7.若函数()22log 2ax
f x x x +=---为奇函数，则使不等式21lo
g 60f m ??
+< ???成立的m 的
取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. （0,1） C. ()(),00,1-∞U
D. ()1,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】 利用()22log 2ax
f x x x
+=---为奇函数，求出a ，不等式21log 60f m ??
+< ???
，即1(1)f f m ??
< ???
，由()2
2log 2x
f x x x
+=---在区间(2,2)-递减，可得m 的取值范围. 【详解】解：由函数()22log 2ax
f x x x
+=---为奇函数，可得()()f x f x =--；
即：2222log log 22ax ax x x x x +---=-+-+，可得1a =，()22log 2x
f x x x
+=---， 不等式21log 60f m ??+< ???
，即1(1)f f m ??
< ???
，易得
()22log 2x f x x x +=---区间(2,2)-递减，
可得1
m
＞1，01m ＜＜
， 故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.
8.定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个
【答案】C 【解析】
【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14个
【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 【此处有视频，请去附件查看】
9.已知f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，满足不等式()10f x -<的x 取值范围是（ ） A. ()1,3-
B. ()3,1-
C. ()(),13,-∞-+∞U
D. ()(),31,-∞-?+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式()10f x -<转化为()1(2)f x f -<，即可得到结论.
【详解】解：由题意：f (x )偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，可得f (x ) 在(0,)+∞上为减函数，且()20f -=，()10f x -<等价于()10f x -<，即()1(2)f x f -<，
则12x -＞，解得：3x ＞或1x <-， 故选：C.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.
二、填空题（共6小题：共30分） 10.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，若2i
i 12i
z -+=+，则b =__________， 【答案】2- 【解析】
()()2i 12i 2i i i 12i 5
z ---+===-+，2i=z ∴=- a bi +，2b ?=-故答案为2-. 11.
在二项式5(x -
的展开式中，2x 的系数为__________．
【答案】5
2
.
【解析】 【分析】
由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r 的值，然后求解2x 的系数即可.
【详解】结合二项式定理的通项公式有：3552
155
12r
r
r r r r r T C x C x --+???==- ? ?
??， 令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：2
2511510242C ??
-=?= ???
.
【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n 、r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
12.已知()3
31f x x x =+-，()33f a -=-，()31f b -=，则+a b 的值为______.
【答案】6. 【解析】 【分析】
令()3
3h x x x =+，可得()h x 为奇函数, ()()1f x h x =-,且()()330h a h b -+-=，可得+a b
的值.
【详解】解：令()3
3h x x x =+，可得()h x 为奇函数，且()()1f x h x =-，
由()33f a -=-，可得()3(3)12h a f a -=-+=-，
()31f b -=，可得()3(3)12h b f b -=-+=，可得()()330h a h b -+-=，
由()h x 为奇函数，可得330a b -+-=，故6a b +=， 故答案为：6.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难.
13.已知函数()()2
ln 21f x x x ax a x =-+-，若函数f (x )在1x =处取得极大值，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,2??+∞ ???
. 【解析】 【分析】
求出函数的导数，讨论a 的取值范围，得到函数()f x 的单调区间，结合函数的最大值，可得a 的取值范围.
【详解】解：由()()2
ln 21f x x x ax a x =-+-，可得'()22f x Inx ax a =-+， 设()22()g x Inx ax a x =-+＜0，'
112()2ax
g x a x x
-=-=
，
当0a ≤，(0,)x ∈+∞，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增， 当0a ＞，1
(0,
)2x a
∈，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增； 1
(
,)2x a
∈+∞，'()0g x ＜，函数()g x 单调递减； 由f (x )在1x =处取得极大值，可得'(1)0f =，
当0a ≤时，'()f x 单调递增，当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，()f x 单调递减；
当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＞，()f x 单调递增，所以f (x )在1x =处取得极小值，与题意不符；
当1
a 2
0＜＜时，即
12a
1＞，可得：'()f x 在1
(0,)2x a ∈单调递增，所以当(0,1)x ∈，
'()0f x ＜，当1(1)2x a
∈，，'()0f x ＞，即f (x )在(0,1)x ∈单调递减，在1
(1,)2x a ∈单调
递增，所以f (x )在1x =处取得极小值，与题意不符；
当1a=2时，即1=2a
1，'()f x 在(0,1)x ∈单调递增，在(1,+)x ∈∞单调递减， 所以当(0,+)x ∈∞，'()0f x ≤，()f x 单调递减，与题意不符；
当12a ＞，即可1012a
＜＜，当
1
(,1)2x a ∈，'()0f x ＞，函数()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＜，函数()f x 单调递减，所以f (x )在1x =处取得极大值，符合题意，
故答案为：1,2??
+∞ ???
. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题. 14.给出下列结论：
①已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()()12,31f f -=-=-，则()()31f f <-；
②函数
()
2
12
log 2y x x =-的单调递减区间是(,0)-∞； ③已知函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，()2
f x x =，则当0x <时，()2
f x x =-；
④若函数()y f x =的图象与函数x y e =的图象关于直线y x =对称，则对任意实数
,x y 都有()()()f xy f x f y =+.
则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③ 【解析】
①正确，根据函数是奇函数，可得()()331f f =--= ，而()12f -=，所以
()()31f f <- ；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为()2,+∞；
③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据0x >的解析式，求得0x < 的解析式；④()ln f x x =，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需,0x y >，由
()()()f xy f x f y =+，所以正确的序号是①③.
【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视. 15.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3
f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43
a = 【解析】 【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型
考题.从研究()2
(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使
问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】使得()222
(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=?[++++-=++-，
使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在1
1,|1|3
m am ≥-≤，由折线函数，如图
只需1
1133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43
【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 三、解答题（共5小题：共65分）
16.设ABC ?的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2
B A π
-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）9
]28
. 【解析】
试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将
角用表示,换元法求函数
的值域即可.
试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a A
A b B
==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2
B A π
=+，
又B 为钝角，因此(,)2
2
A ππ
π+∈，
故2
B A π
=
+，即2
B A π
-=
；
(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+
(2)202
2
A A πππ-+=->，∴(0,)4
A π
∈，
于是sin sin sin sin(2)2
A C A A π
+=+-
2219
sin cos 22sin sin 12(sin )48
A A A A A =+=-++=--+，
∵04
A π
<<
，∴0sin 2
A <<
，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的
取值范围是9
]28
． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用. 【此处有视频，请去附件查看】
17.如图,ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，//AF DE ，
AD DE ⊥,AF =DE =
，1，求证：面ACE ⊥面BED ，
，2，求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；
，3）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60o ？若存在，
求出AM
AF
的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2，，3，14.
【解析】
【详解】试题分析：（1）
由平面ADEF ⊥平面ABCD ，AD DE ⊥可推出DE ABCD ⊥面，再根据ABCD 是正方形，可推出AC ⊥平面BDE ，从而可证AC ⊥平面BDE ；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面BEF 的法向量，即可求出直线CA 与
平面BEF 所成角的正弦值；（3）点M 在线段AF 上，设()3,0,M t ，0t ≤≤，，平面MBE 的法向量，根据二面角M BE D --的大小为60o ，即可求出t .