人教版数学必修二圆与方程知识点总结

第四章圆与方程

4．1 圆的方程

4．1.1 圆的标准方程

1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )

A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4

B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4

C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16

D．(x＋3)2＋(y－1)2＝16

2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为( )

A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2

C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 2

3．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．

4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．

5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．

6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )

A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．x2＋(y－3)2＝1

7．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．

8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )

A．|a|＜1

B．a＜1 13

C．|a|＜1 5

D．|a|＜1 13

9．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为 2 3，求a的值．

4.1.2 圆的一般方程

1．圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．

2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半

径的圆，则F＝________.

3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是( ) A．k>1 B．k<1

C．k≥1 D．k≤1

4．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是( )

A．3x＋2y＋1＝0

B．3x＋2y＝0

C．3x－2y＝0

D．3x－2y＋1＝0

5．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．

6．点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0的内部，则a的取值范围是( ) A．－1

B．0

C．－1

D．－1

5

7．求下列圆的圆心和半径．

(1)x2＋y2－x＝0；

(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；

(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.

8．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( )

A．16条 B．17条 C．32条 D．34条

9．已知点A在直线2x－3y＋5＝0上移动，点P为连接M(4，－3)和点A的线段的中点，求P的轨迹方程．

10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求圆的圆心和半径；

(3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程．

4．2 直线、圆的位置关系

4．2.1 直线与圆的位置关系

1．直线y＝x＋3与圆x2＋y2＝4的位置关系为( )

A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心

D．相离

2．下列说法中正确的是( )

A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切

B．与半径垂直的直线与圆相切

C．过半径外端的直线与圆相切

D．过圆心且与切线垂直的直线过切点

3．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为( )

A.1

2

B.

2

2

C. 2 D．2

4．(2013年陕西)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )

A．相切 B．相交

C．相离 D．不确定

5．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )

A.2x＋y＝5

B.2x＋y＋5＝0

C．2x＋y＝5 D．2x＋y＋5＝0

6．(2013年浙江)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．

7．已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．

8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )

A．1 B．2 2 C.7 D．3

9．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.

(1)证明：无论m为何值，直线l与圆C恒相交；

(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．

10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2 2时，求直线l的方程．

4.2.2 圆与圆的位置关系

1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是( )

A．外离 B．外切

C．相交 D．内切

2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为( )

A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0

C．2x－y＝0 D．2x＋y＝0

3．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是( ) A．2 B．3

C．4 D．5

4．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x －y＋c＝0上，则m＋c的值是( )

A．－1 B．2

C．3 D．0

6．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为( )

A．x＋y－1＝0

B．2x－y＋1＝0

C．x－2y＋1＝0

D．x－y＋1＝0

7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2 3，求实数a的值．

8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r ＝____________.

9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；

(2)公共弦长．

10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.

(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；

(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．

4.2.3 直线与圆的方程的应用

1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆( )

A．关于x轴对称

B．关于y轴对称

C．关于直线x－y＝0对称

D．关于直线x＋y＝0对称

2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )

A．0或2 B．2

C. 2 D．无解

3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )

A．y＝3x

B．y＝－3x

C．y＝

3 3 x

D．y＝－

3 3 x

4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )

A．在圆上 B．在圆外

C．在圆内 D．都有可能

5．圆x2＋y2－4x－4y－1＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为( )

A．1 B．0

C．2 2 D．2 2－3

6．过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线只有一条，则a的取值是( )

A．a＝－3 B．a＝3

C．a＝2 D．a＝－2

7．与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )

A．4条 B．3条

C．2条 D．1条

8．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点P(3，1)，则直线AB的方程为____________．

9．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么y

x

的最大值为( )

A.1

2

B.

3

3

C.

3

2

D.3

10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)．

(1)若点P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；

(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；

(3)若实数m，n满足m2＋n2－4m－14n＋45＝0，求k＝n－3

m＋2

的最大值

和最小值．

4.3 空间直角坐标系

4．3.1 空间直角坐标系

1．点P(－1,0,1)位于( )

A．y轴上 B．z轴上

C．xOz平面内 D．yOz平面内

2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( )

A．(－2,1，－4)

B．(－2，－1，－4)

C．(2，－1,4)

D．(2,1，－4)

3．点P(－4,1,3)在平面yOz上的投影坐标是( )

A．(4,1,0)

B．(0,1,3)

C．(0,3,0)

D．都不对

4．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ垂足为Q，则Q的坐标为( )

A．(0，2，0)

B．(0，2，3)

C．(1,0，3)

D．(1，2，0)

5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )

A．y轴上

B．xOy平面上

C．xOz平面上

D．第一象限内

6．设x，y为任意实数，相应的点P(x，y,3)的集合是( )

A．z轴上的两个点

B．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的直线

C．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的平面

D．以上答案都有可能

7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为( )

A．(3，－1,5)

B．(3,7,4)

C．(0，－8,1)

D．(7,3,1)

8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x ＝______，y＝______，z＝________.

9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．

10．如图K4-3-1，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．

图K4-3-1

4．3.2 空间两点间的距离公式

1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为( )

A. 6 B．6

C. 3 D．2

2．坐标原点到下列各点的距离最大的是( )

A．(1,1,1) B．(2,2,2)

C．(2，－3,5) D．(3,3,4)

3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为( )

A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)

C．(0,0，－3) D．(0，－3,0)

4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝( )

A．10 B.10

C．2 10 D．40

5．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝( )

A.53

4

B.

53

2

C.53

2

D.

13

2

6．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．

7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝5，求点A的坐标．8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．

9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．

10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：

(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；

(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．

第四章 圆与方程

4．1 圆的方程

4．1.1 圆的标准方程 1．C 2.D

3．(－2,2) |m | 4.±5 5.(x ＋2)2＋(y －1)2＝2

6．A 解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知?0－1?2＋?b －2?2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.

方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，

故圆的方程为x 2＋(y －2)2

＝1.

7．解：方法一：设圆心P (a ，b )，

则?????

a －3

b －10＝0，?a －5?2＋b 2＝?a ＋2?2＋?b －1?2

，

解得??

?

a ＝1，

b ＝－3.

圆的半径r ＝?a －5?2＋b 2＝?1－5?2＋?－3?2＝5. ∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25.

方法二：线段AB 的中点P ′?

????

5－22

，0＋12， 即P ′? ??

??32，12.直线AB 的斜率k ＝1－0－2－5＝－17.

∴弦AB 的垂直平分线的方程为y －1

2＝7?

????x －32，

即7x －y －10＝0.

解方程组??

?

x －3y －10＝0，

7x －y －10＝0，

得??

?

x ＝1，y ＝－3.

即圆心P (1，－3)．

圆的半径r ＝?1－5?2＋?－3?2＝5.

∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25. 8．D

9.41＋5

10．解：∵弦AB 的长为2 3，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的

距离等于1，∴|a －2＋3|

a 2

＋1

＝1，∴a ＝0. 4．1.2 圆的一般方程 1．(3,0) 2.4 3．B 4.A

5．2 13π 6．A

7．解：(1)? ????x －122＋y 2＝14，圆心? ??

??12，0，半径r ＝12.

(2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a,0)，半径r ＝|a |.

(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2

. 8．C 解析：圆的标准方程是：(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r ＝13.过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．

9．解：设点P 的坐标为(x ，y )，A 的坐标为(x 0，y 0)． ∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上，∴有2x 0－3y 0＋5＝0.

又∵P 为MA 的中点，∴有???

x ＝

4＋x 0

2

，y ＝－3＋y

2.

∴??

?

x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3.

代入直线的方程，得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0， 化简，得2x －3y －6＝0即为所求． 10．解：(1)由圆的一般方程，得

[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，

解得－1

7

(2)圆心为? ??

??

－

－2?t ＋3?2，－2?1－4t 2?2， 即(t ＋3,4t 2

－1)，

半径r ＝1

2[－2?t ＋3?]2＋4?1－4t 2?2－4?16t 4＋9?

＝－7t 2＋6t ＋1. (3)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝

－7?

????t －372＋167，

所以当t ＝37时，r max ＝4 7

7

，

故圆的标准方程为?

????x －2472＋? ????y ＋13492＝16

7.

4．2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系

1．D 2.D 3.D

4．B 解析：点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，有a 2＋b 2>1，圆心到

直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1

a 2＋b

2<1＝r ，所以直线与圆O 相交．

5．C 解析：因为点(2,1)在圆x 2＋y 2

＝5上，所以切线方程为2x ＋y ＝5.

6．4 5 解析：圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x －y

＋3＝0的距离为d ＝|6－4＋3|

5

＝5，弦长等于252－?5?2＝4 5.

7．解：设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．

因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |

2

＝|BC |＝4，

所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3.

由点到直线的距离公式得6

k 2＋1

＝3.解得k ＝± 3.

8．C

9．(1)证明：由(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8， 得mx ＋2x ＋2my ＋y ＝7m ＋8，

即m (x ＋2y －7)＋(2x ＋y －8)＝0.

由??

?

x ＋2y －7＝0，2x ＋y －8＝0，

解得??

?

x ＝3，y ＝2.

∴无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2)．

(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，

∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1， ∴最短的弦的斜率为1，

故最短弦的方程为x －y －1＝0.∴m ＝－1.

10．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |

a 2＋1

＝2.

解得a ＝－34.故当a ＝－3

4

时，直线l 与圆C 相切．

(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，

得????

?

CD ＝|4＋2a |

a 2

＋1，CD 2

＋DA 2

＝AC 2

＝22

，

DA ＝12AB ＝2，

解得a ＝－7或a ＝－1.

∴直线l 的方程是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.

4．2.2 圆与圆的位置关系 1．B 2.D 3.A

4．C 解析：圆化为标准方程，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心O 1(2，－1)，r 1＝2，O 2(－2,2)，r 2＝3.∵|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴两圆外切．∴公切线有3条．

5．D 6.A

7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y ＝1

a

.利用圆心

(0,0)到直线的距离d ＝??????1a ，得????

??

1a ＝22－?3?2＝1，解得a ＝1或a ＝－

1(舍)．

8．5－2 2

9．解：(1)将两圆方程C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0与C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0相减，得2x ＋y －5＝0.

∴公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.

(2)圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5 2，圆心到直线2x ＋y －5＝0的距离为2 5，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 30.

10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点的圆系，

解方程组??

?

x 2

＋y 2

＝20，

4x －2y －20＝0，

得??

?

x ＝4，y ＝－2.

故对任意实数a ，该圆恒过定点(4，－2)． (2)解：圆的方程可化为

(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2. ①若两圆外切，则2＋5?a －2?2＝5a 2，

解得a ＝1＋55或a ＝1－5

5(舍)；

②若两圆内切，则|5?a －2?2－2|＝5a 2， 解得a ＝1－55，或a ＝1＋5

5

(舍)．

综上所述，a＝1±

5 5 .

4．2.3 直线与圆的方程的应用

1．D 解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线x＋y＝0上，故关于直线x＋y＝0对称．

2．B 解析：圆心(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝|m|

2

＝m，m＝

2.

3．C

4．C 解析：由于直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则

1

a2＋b2

>1，

即a2＋b2<1，

∴P在圆内．

5．C 6.A

7．A 解析：过原点的直线也满足条件．

8．x＋y－4＝0

9．D 解析：方法一：∵实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，

∵记P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝3上的点，

y

x

是直线OP的斜率，记为k.∴直线OP：y＝kx，代入圆的方程，消去y，得(1＋k2)x2－4x＋1＝0.直线OP与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k2)≥0，

∴－3≤k≤ 3.

方法二：同方法一，直线OP与圆有公共点的条件是|k·2－0|

k2＋1

≤3，

∴－3≤k≤ 3.

10．解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，

∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0.

解得a＝4，∴P(4,5)．

∴|PQ|＝?4＋2?2＋?5－3?2＝210，

k PQ＝

3－5

－2－4

＝

1

3

.

(2)∵圆心坐标C为(2,7)，半径为2 2，

∴|QC|＝?2＋2?2＋?7－3?2＝4 2.

∴|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2，

|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2.

(3)设点(－2,3)的直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，方程m2＋n2－4m－14n＋45＝0，即(m－2)2＋(n－7)2＝8表示圆．

易知直线l 与圆方程相切时，k 有最值， ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2

＝2 2.∴k ＝2± 3. ∴k ＝n －3m ＋2

的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.

4．3 空间直角坐标系 4．3.1 空间直角坐标系

1．C 解析：点P 的y 轴坐标为0，则点P 在平面xOz 上．

2．B 解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )． 3．B 4.B 5.B 6.C 7.B 8．7 8 3 9.5

10．解：由图知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，

故以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．

∵E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH ∥底面ABCD ，

从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b . 由H 为DP 的中点，得H (0,0，b )． E 在底面ABCD 上的投影为AD 的中点， ∴E (a,0，b )．同理G (0，a ，b )．

F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和

G ，

故F 与E 的横坐标相同，都是a ，点F 与G 的纵坐标也同为a ， 又F 的竖坐标为b ，故F (a ，a ，b )． 4．3.2 空间两点间的距离公式 1．B 2.C 3.A 4.A 5.C

6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球

7．解：由题意设A (0，y,0)，则?y －1?2＋4＝5，得y ＝0或y ＝2， 故点A 的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．

8．直角 解析：因为|AB |2＝9，|BC |2＝9＋36＝45，|AC |2＝36，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形．

9.8

7

解析：|AB | ＝?x －1?2＋?5－x －x －2?2＋?2x －1－2＋x ?2

＝14? ????x －872＋5

7，

故当x ＝8

7

时，|AB |取得最小值．

10．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |. 设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得 32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32.

显然，此式对任意y∈R恒成立．

∴y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.

(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．

由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，

∴只要满足|MA|＝|AB|，就可以使得△MAB是等边三角形．

∵|MA|＝10＋y2，

|AB|＝?1－3?2＋?0－0?2＋?－3－1?2＝20，

∴10＋y2＝20，解得y＝±10.

故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．

人教版数学必修二知识点总结

第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥：定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶点；③侧面展开图是一弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段与'x轴平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段与'y轴平行，长度减为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧 ' 2 1 ch S= 正棱锥侧面积 rl Sπ = 圆锥侧面积 ') ( 2 1 2 1 h c c S+ = 正棱台侧面积 l R r Sπ) (+ = 圆台侧面积 ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式

人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全

高中数学必修一常用公式及结论归纳总结 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{N x x x ∈<且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N * 或N + ：1、2、3、…… （3）整数集Z ：-2、-1、0、1、…… （4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R ：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于? 例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1)，记作 B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ， 记作Q P ? （2）真子集的概念 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A (如图2). A ≠?B 或B ≠?A . （3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 5、重要结论（1）传递性：若B A ? ，C B ?，则C A ? （2 ）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个(即不计空集)；非空的真子集有2n –2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． （2）一般地，对于给定的两个集合A,B 记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x|x ∈A ，或x ∈B ｝． 图1) 或 (图2)

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

高中数学必修2-知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 立体几何初步 1、特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 '2 1 ch S = 正棱锥侧面积 ')(2 1 21h c c S += 正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表 rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 l R r S π)(+=圆台侧面积 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 2、柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 13V Sh =锥 '1 ()3 V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱 h r V 23 1 π=圆锥 '2211 ()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 3球体的表面积和体积公式： V 球=343 R π ； S 球面=24R π 第二章 直线与平面的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 2 三个公理： （1

符号表示为 A ∈l B ∈l => l α? A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内. （2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使 A ∈α、 B ∈α、 C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b L A · α C B · A · α 共面直线 =>a ∥c

人教版高中 数学必修二 全册知识点 归纳总结

人教版高中 数学必修二 全册知识点 归纳总结 必修2数学知识点 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：

h S V ?=柱体；h S V ?=3 1锥体； () h S S S S V 下下上上台体+?+=31 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

人教版数学必修二知识点总结归纳

精心整理 第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四 （2 （3 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D A P- C B 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶（7 2 3 4 （1 （2h l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=3 4 3 R π ；S 球面 =2 4R π 第二章空间点、直线、平面的位置关系 1、平面 ①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；

②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）； 也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC；或用所有字母表示，如平面ABCD。 ③点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα∈；点A不在平面α内，记作Aα? 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A?l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?α；直线l 不在平面α内，记作l?α。 2 ?=∈ , A B A B l P l ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交3 ④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 注：求异面直线所成角步骤：

高一数学必修一的知识点总结介绍

高一数学必修一的知识点总结介绍 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确 定的：属于或不属于。 (2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：{…} (1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x?R|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A (2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。 7、集合的运算 二、函数的概念 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A---B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A. (1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;

重点高中数学必修必修知识点总结

精心整理 高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2a ∈A 4（1（2（31.反之2．B ②真子集:如果A ?B,且B ?A 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ?B(或B ?A) ③如果A ?B,B ?C,那么A ?C ④如果A ?B 同时B ?A 那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：A ∪B(读作”A 并B ”)，即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A, A∪φ=A,A∪B=B∪A. 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） （2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 四、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ( 数） )(见课本 (1) 域 3. (1) 点 集合 实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标 系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现 解题中的错误。 4．了解区间的概念

高中必修二数学知识点全面总结

第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

人教版高中数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱 ' ''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行 且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面 圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面 展开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之 间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

高中数学必修一至必修五知识点总结

必修1 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B?A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公 共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念

定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4．了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 7．函数单调性 （1）．增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a

高中数学必修知识点总结

高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质： 二、函数的有关概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 2、补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三：抽象函数 3、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、配方法 4、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法 5、函数单调性

新人教版高中数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等

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第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） 2 22r rl S ππ+= D C B A α

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线

数学必修一定义域值域知识点总结

数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域.

例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;