勾股数浅析

勾股数浅析

任继平

（甘肃省漳县三中电话：136******** 邮编：748301）人民教育出版社出版的数学八年级下册第85页有这样一道习题：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是自然数）也是一组勾股数码？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是自然数）也是一组勾股数码？

勾股数就是凡可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。显然，对上述问题的回答是肯定的。也就是说，一般地，如果a、b、c（a、b、c称为勾股数的一个基底）是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是自然数）也是一组勾股数。那么这儿a、b、c的可能值是那些数，在实际当中应该怎样确定a、b、c的值呢？结合中学生的接受能力和思维特点，下面简单的介绍两种确定a、b、c值的套用式，供大家参考。

一、观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41……我们会发现这些勾股数的勾（最小的一个数）都是奇数，且从3开始就没有间断过，股和弦是连续的自然数。因此我们可以猜想勾为奇数的一组勾股数的通式为:2n+1, 2n2+2n, 2n2+2n+1（n≥1）证明：令a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1显然c是最大的一边 C2-b2=(2n2+2n+1)2-(2n2+2n)2

=(2n2+2n+1+2n2+2n)( 2n2+2n+1-2n2-2n) =4n2+4n+1

=(2n+1)2

=a2

根据勾股定理的逆定理可知2n+1, 2n2+2n, 2n2+2n+1（n≥1）必为一组勾股数。

故，得证。

结论一：当n≥1时，若a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1则a、b、c是一组勾股数。

注：本条套用格式是勾股数最经典的一个套用格式，用它找出的勾股数有如下性质：勾是奇数，股和弦是连续的自然数。因为连续的自然数是互质的，这样找出的勾股数组全部都是互质的。因此，我们可以把这样找出的每一组勾股数叫做勾股数一个的基底。

二、观察4、3、5；6、8、10；8、15、17；10、24、26……我们会发现这些勾股数的勾（4、3、5除外）都是偶数，且从6开始就没有间断过，股和弦是连续的偶数或奇数。因此我们可以猜想勾（4、3、5除外）为偶数的一组勾股数的通式为：2n、n2-1、n2+1（n>1）

证明：令a=2n,b= n2-1,c= n2+1显然c是最大的一边

C2-b2=( n2+1)2-( n2-1)2

=( n2+1+ n2-1)( n2+1- n2+1)

=4n2

=(2n)2

=a2

根据勾股定理的逆定理可知2n、n2-1、n2+1（n>1）必为一组勾股数。

故，得证。

结论二：当n>1时，若a=2n,b= n2-1,c= n2+1，则a、b、c 是一组勾股数。

注：从本条套用格式中可以我们会发现这些勾股数的勾（4、3、5除外）都是偶数，股和弦是连续的偶数或奇数。

1、当n是偶数时，n2-1和n2+1是连续的奇数，n2-1和n2+1必是互质的。即当n是偶数时，用2n、n2-1、n2+1（n>1）找出的勾股数组全部都是互质的。因此，我们可以把这样找出的每一组勾股数叫做勾股数一个的基底。

2、当n是奇数时，n2-1和n2+1是连续的偶数，（2n）/2、（n2-1）/2、（n2+1）/2必然是互质的，我们可以把2n、n2-1、n2+1（n>1）看作是由结论一的一个基底同乘以2产生的。

上面的结论是利用勾股定理中的勾找出勾股数的一个办法，可以看出勾股数中勾可以是大于2的任何一个整数。除此之外，还有诸如此类的勾股数，

20、21、29；

119、120、169；

696、697、985；

4059、4060、5741；

23660、23661、33461；

137903 137904 195025

803760 803761 1136689

4684659 4684660 6625109

任何知识都是无穷尽的，勾股数也是如此，上面是我在教学中对勾股数的一些浅见，不到指出，望读者批评指正。