习题3.
2
1
3
2
1
2
2.,1.
4
3
(.
22
x
y x y y
y
S y d y y
===
??
=+=+=
?
??
?
与
解
2
2
2
2
3
2
1
3
2
3
1
3.21 1.
21
(1)21,
1
40,0,1;4, 3.
1
1(1)
2
3116
.
2263
y x x y
y x
x x
x y
x x x y x y
S y y d x
y
y y
-
-
=+-=
?=+
-=+
?
-=
?
-===-==
??
=+--
?
??
??
=+-=
?
??
?
与
解
22
2
22
2
5.42.
4
42,
2
y x y x x
y x
x x x
y x x
=-=--
?=-
?
-=--
?
=--
??
与
解
22
2
4
2
2
1
1
23/22
: 1..
,,
(1)(1)0,0, 1.
211
).
333 y x x y
y x
x x
x y
x x x x x x
S x d x x x
==
?=
?
=
?
=
??
-++===
??
==-=
?
??
?
求下列曲线所围成的的图形的面积
与
求交点
解
:
2
2
22
2
2424
00
/2
242
2
(sin)
4.0 02(a>0)
(1co s)
(1co s)(sin)
(1co s)
4sin8sin
2
3
16sin16
422
3.
x a t t
y t
y a t
S a t d a t t
a t d t
t
a d t a ud u
a ud u a
a
π
π
ππ
π
π
π
π
=-
?
=≤≤
?
=-
?
=--
=-
==
==
=
?
?
??
?
与
2
121
22
2
12
2
1
32
2
2240,(22)(2)0,
2, 1.
(24)(224)249.
3x x x x x x S x x x d x
x x d x
x x x ---+-=-+==-==
---+=--+??=--+= ???
?
?
22
2
2
2
242
422
2
2
22122
2122202
16.8().
2
8
18142
4320,4320,(8)(4)0
8()4,4,2,21
21
22424arcsin
23
x y y x x y x x y x
x x x u
u u u u u u x x x S x d x x d x S
π-+==
?+=?
+=?=??+-==+-=+-==-===-=??=
??
?
?
?= ??
?
?==+
???与分上下两部分舍解2
44826.
33πππ?
?=-+=- ??
?2
2
22
12112
2
2
2
1
3
2
2
7.4 2.
4422
20,(2)(1)0,
2, 1.
(42)6()9
6.3
22
y
x y x y x x x y x x x x x x x S x x dx x x dx
x x ---=-=+?=--=+?
=+?+-=+-==-==
---=-
+??=-+
= ????
?
与
解
22
/42
2
/42
00
8.co s 2(0).1co s 22sin 2|.
2
r a a a d a a ππ????=>==?
其求双纽线所围图形的面积1
解S =42
2/32/32/33
3
/2
2262
00
/23
72
/23
7
2
3:9.(0).co s ,02.
sin 22sin 3co s sin 6sin co s 6sin (1sin )642
83261753
91a x y a a x a t t y a t V y d x a ta t td t
a t td t a
t t d t
a πππππππππ+=>?=?≤≤?=??====-????=-= ?
?
?
???????
求下列曲线围成的平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积解3
.05a πln 3ln 32
20
ln 3
20
10.1,ln 3,.(1)(21)12ln 3.
2x
x
x
x
x x
y e x y e V e d x e
e d x
e e x π
π
ππ=-===-=-+??=-+= ???
?
?
2
3
1/32/3
1/3
2/3
2
2/3
7/3
2/3
7/3
:11.,0(0,0).,
()33.
7
7
b b a y x x y b a b x a
y
V a
y d y a y a
b
πππ===>>====?
求下列平面曲线围成的平面图形绕轴
旋转所成旋转体的体积及解
13.()[,](0)()2().
2(),2().
b a
b a
y f x a b a y f x x a x b y V xf x d x d x d V xf x d x V xf x d x π
ππ
=>======?
?
设在区间上连续且不取负值,试用微元法推导:由曲线,直线,及轴围成的平面图形绕轴旋转所成立体的体积为厚度的圆筒的体积解
2
1
1
111
112
1
1
112.0,.
8ln 8ln 8ln |ln 1812881.e
e
e
e e
e x x y e y
y V d y
y
yd y y y y d y y
d y
e y e e π
πππ
ππ
-----=
===??
=-????
??
=-+??????=-+???
?
????=--=-??????
??
?
???
解2
2
1
12
2221
1
1
2
2
2
14.,1,22222222()2.
x
x x
x x x
y e x x x y V xe d x xd e x e e d x e e e
e e e e e ππππππ===??
==????
????
=-
=--??????
?
???=---=??
?
??
求曲线及轴所围成的平面
图形绕轴旋转所成的立体的体积.
解
22
2
2
3233215.:.3().
1()|31(())33a
a a h
a h
a h h V h a y f x a h x a V a x d x a h x h a h a a h h a πππππ--?
?=-
???
==
-≤≤??=
-
=-?
??????
?=---
=- ?
?????
??证明半径为高为的球缺的体积为证3230
320
/22
017.sin .3
sin co s ,
33
sin 3136sin 6.
222
r a r a s a a d a d a a ππ
πθ
θθ
θ
θθ
πθθπ='======??? 求曲线的全长解33
22
/22/2
18.cos ,sin .3cos (sin ),3sin cos 143sin cos 12sin |6.
2
x a t y a t x a t t y a
t t s a t tdx a t a ππ==''=-====? 求向星形线的弧长解3
22
31
343
321
1116.13.621.221114.2623x y x x x
x y x
s x x x
d x x x =+=='=-=??+==-=??????求曲线在到之间的弧长解
12
2
20.2co s 2(0)d x r
a a L L θ=>=?
试证双纽线的全长可表为20
2
2
20
2/45
2
2
2
2
2
221.1(02)4
.
2
214144
co s sec sec
tan sec tan (2)sec
tan sec tan (2)(2),1n
n n n n n n n n x
y x x x y x S x
d x d x x
I xd x xd x
x x n x xd x
x x n I n I I n πππ
π
-----=+≤≤'=
??=+ ??
?===
=
=-
-=--+-=
-?
?
?
???求抛物线绕旋转所得的旋转体的侧面积.
解 2
22sec
tan .
1
1
n n n x x I n ---+
-
000
19.(1co s ).(sin )24co s 8sin
8.22r a r a s a a d x a a π
ππθθθ
θθ
=+'=-====??求心脏线的全长解
22
/40/40
/40/40/40/4024sin 2,2sin 2/,4)rr a r a r s d x
ππππππθθθθθθ''=-=-========??????证10?
3
3
5313
131311sec tan sec tan sec tan 4
4
4
422133sec tan sec tan ln(tan sec ).
4
8
8
I x x I x x x x I x x x x x x C ??
=+
=
+
+ ???
=+
+
++
3
/4
1334(sec tan sec tan ln(tan sec ))|4
8
8
3ln(12
S x x x x x x πππ
=+
+
+=
+
2
22
2
/20
/20
10
22.(0),
.
co s ,02,
sin ,co s .
sin 22
4
co s 4
44a x y
b a a
b
x
a t
t x a t
y b t y b t S b td t b t b u
u
a b
ππππππππ+
=<≤=?''≤≤=-=?=?==
=-=
===??? 求
1分别绕长短轴旋转而成的椭球面的面积解1
2
/20/20
1
2
2
2
arcsin 2arcsin 2.22s 4sin 444ln 2()
b u a
a b S a td t
a t a u
u
b
a b ππε
εεπεπππππ-?
?
??
?
?
= ???
=====-??? 1
2
2
(22ln
(1).u b
a a
b ππεε
?+
???
??
=+
+????
2
2
2
23.(,0)x y a a h y a h a y +=-≤≤<<计算圆弧绕轴旋转所得球冠的面积.
10
102
0025.10m ()(70.2)(70.2)70.180(k g ).
26..co s 0.,0sin sin 2[co s ]|.
2(0,
).
27.,x x m x d x x x a x a t
t y a t a ta d t
a
a
y t a
a
ππ
ρπ
ππ
π
π
=+??=
+=+=??
=?=≤≤?=?=
=-=
?
?
0有一细棒长已知距左端点x 处的线密度是k g /m 求这细棒的质量.
求半径为的均匀半圆周的重心坐标由对称性,x 重心坐标有一均匀细杆解解/54/52
2
../5./.l l l M l M M M l J x d x x d x
l
l
ρ==
+
?
?
长为质量为计算细杆绕距离一端处的转动惯量解/5
4/5
33
2
13.3
3
75
l l M x M x M l l
l
=
+
=
[]2
arcsin 2
2arcsin
22arcsin
2co s arcsin .
sin 222co s sin 212.
a h
a
a h a
a h
a x a t a h t y a t
a S t a td t
a t a h a a h a ππ
π
ππππππ---=?-≤≤?=?===-??=-=???
???解a h -
a (
)23/2
3/21
23/2
1125/21
224.(1co s ).2(1co s )sin 2(1co s )sin 21co s co s 2(1)2)32.5
r a S a a d a d a x d x a x a π
ππ
θθπθθθ
πθθθ
πθθ
πππ--=+'=+=+=-+=+=+=?求心脏线绕极轴旋转所成的旋转体的侧面积000
解r =-a s i n
.
2
2
2
42
2
2
2
2
223
228.,,,.2.2.
221.4
2
29.,,,,33,,13a
a a M M
M
M xd x d m xd x a
a
a M xd x M x J x
M a a
a
M a h a
M
M
a M y x d m x d x x d x h a h h h a h d ρπππρρπππ=
=
=
=
=
??
===== ????
设有一均匀圆盘半径为质量为求它对于通过其圆心且与盘垂直的轴之转动惯量有一均匀的圆锥形陀螺质量为底半径为高为试求此陀螺关于其对称轴的转动惯量.
解=
解2
2
45
2
25
4
2
5
5
5520
1
132213133.2
2
5
10
30.,2k g /m.29.8.29.89.8259.8().
h
h
a a M J d m x x d x h h a M a M x J x d x M a h
h
d W xd x W xd x x J ??
== ???=
=
=
==
==?
?
楼顶上有一绳索沿墙壁下垂该绳索的密度为若绳索下垂部分长为5m ,求将下垂部分全部拉到楼顶所需做的功.解22
31.()[,],,(),,,(),(),().32.48m ,64m ,164,06424,,9
b a y f x a b y f x x a x b x y d S f x d x d F p d S g xf x d x F g xf x d x y a x a a x ρρρ=========-=-=? 设在上连续非负将由及轴围成的曲边梯形垂直放置于水中使轴与水平面相齐求水对此曲边梯形的压力.一 水闸门的边界线为一抛物线,沿水平面的宽度为最低处在水面下求水对闸门的的压力.解
解64
2
8
2
835
6,64,08,64,0.6(64)(2)126452428.8.
3
5F g y u y u y u y u F g u u u d y u u
g g ρρρρ=±===-=====-??=-=???
?
?? 时时6424
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?