高三数学第四次月考理科试题及答案

2017-2018第一学期高2018届第二次月考试题

（理科数学） 第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卷中）

1.集合{}0,2,A a =，{}

21,B a =，若{}0,1,2,4,16A B = ，则a 的值为（ ） A .0 B .1 C .2 D .4

2．1(2)0

x

e x dx +?等于 （ ）

A ．1

B ．1e -

C ．e

D ．1e +

3．式子

)

690sin(630sin )

585cos(?-+??-的值是 （ ）

A. 22

B. 2

C.

32 D. -3

2

4.若函数x

a y )(log 2

1=在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．)2

1

,0(

B ．)1,2

1(

C ．),2

1(+∞ D ．),1(+∞

5．函数()x x f x

32+=的零点所在的一个区间是（ ）

A ．()1,2--

B ．()0,1-

C ．()1,0

D ．()2,1 6．“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7．设323log ,log log a b c π=== ）

A. a b c >>

B. a c b >>

C. b a c >>

D. b c a >>

8．对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -所得出的正确结果一定不可能是 （ ）

A ．4和6

B ．3和1

C ．2和4

D ．1和2 9. 若21()ln(2)2

f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减少的，则b 的取值范围是（ ）

A.(,1)-∞-

B.(,1]-∞-

C.(1,)-+∞

D.[1,)-+∞

10．函数

3

31

x

x

y=

-

的图象大致是（）

A. B. C. D.

11．某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收入R与

年产量x的关系是

??

?

?

?

>

≤

≤

-

=

,

400

,

80000

,

400

0,

2

1

4002

x

x

x

x

R则总利润最大时,年产量x是()

A. 100

B. 150

C. 200

D. 300

12．对于三次函数)0

(

)

(2

3≠

+

+

+

=a

d

cx

bx

ax

x

f，给出定义：设)

('x

f

y=是函数)

(x

f

y=的导数，)

(''x

f是)

('x

f的导数，若方程0

)

(''=

x

f有实数解0x，则称点))

(

,

(

x

f

x为函数)

(x

f

y=的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称

中心．设函数

12

5

3

2

1

3

1

)

(2

3-

+

-

=x

x

x

x

g，则g（）+g（）+…+g（）=（）

A．2013 B．2014 C．2015 D．2016

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）

13. 已知半径为1的圆中，?

60的圆心角所对的弧的长度为；

14．若角α的终边经过点)2

,1(-

P，则α

sin的值为；

15．函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为；16．下列说法中，正确的有 (把所有正确的序号都填上).

①,23

x

x R

?∈>

“使”的否定是,23

x

x R

?∈≤

“使”；

②)

cos(

)

cos(β

α

β

α-

-

=

+

-；

③命题“函数()

f x在

x x

=处有极值，则

()0

f x

'=”的否命题是真命题；

④定义在R上的函数)

(x

f满足)

(

)1

(x

f

x

f-

=

+，则)

(x

f是周期函数；

⑤

2

-1

1

1-

2

π

=

?dx

x.

第Ⅱ卷

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题12分） (1)若,10

10

)4

sin(

=

+απ

求)45sin(απ+的值； (2) 已知2tan =α, 求

1

2cos cos sin sin 2sin 2

--+ααααα

的值．

18．（本小题12分）已知函数)1(11lg

)(≠++=a ax

x

x f 是奇函数． （1）求a 的值； （2）若()1,1,212)()(-∈++

=x x f x g x ，求)2

1

()21(-+g g 的值.

19. （本小题12分）已知函数2

3

2

3)(ax ax x f -

=，函数2)1(3)(-=x x g . (1)当0>a 时，求)(x f 和)(x g 的公共单调区间； (2)当方程)()(x g x f =有三个实数根时，求a 的取值范围.

20．（本小题12分）对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使方程00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动

点，已知函数2

()(1)1f x ax b x b =+++-（0≠a ）．

（1）当2,1-==b a 时，求函数)(x f 的不动点；

（2）若对任意实数b ，函数)(x f 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．

21.（本小题12分）设函数)1(ln )(2-+=x b x ax x f ，曲线)(x f y =过点)1,(2+-e e e ，且在点)0,1(处的切线方程为0=y ． （1）求b a ,的值；

（2）证明：当1≥x 时，2)1()(-≥x x f ；

（3）若当1≥x 时，2)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修4-4：坐标系与参数方程

22．（本小题满分10分）已知直线l

的参数方程为,2

x t y =??

?=

??（t 为参数）若以直角坐标系xOy 的 O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为

2cos().4

π

ρθ=-

（1）求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设点

P ? ??

，求||||PA PB +.

选修4-5：不等式选讲

23．（本小题满分10分）已知函数|32||12|)(-++=x x x f ． （1）求不等式6)(≤x f 的解集；

（2）若关于x 的不等式2)3(log )(2

2>--a a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．

高三第二次月考理科数学答案

一、选择题

二、填空题 13.

3π 14. 5

52- 15. ()∞+.2 16. ①④⑤

17解：（1

）10

10

)4sin()45sin(

-

=++=+αππαπ （2）12

tan tan tan 2cos 2cos sin sin cos sin 212cos cos sin sin 2sin 2222=-+=-+=

--+αααααααα

αααααα

18、

19、解 (1)f ′(x )＝3ax 2－3ax ＝3ax (x －1)，又a >0，由f ′(x )>0得x <0或x >1，由f ′(x )<0得0

数g(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，＋∞)．

(2)令φ(x)＝f(x)－g(x)＝ax3－3

2(a＋2)x

2＋6x－3，

φ′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6＝3a(x－2

a)(x－1)，

①若a＝0，则φ(x)＝－3(x－1)2，∴φ(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解；

②若a<0，则φ(x)的极大值为φ(1)＝－a

2>0，φ(x)的极小值为φ(

2

a)＝－

4

a2＋

6

a－3<0，

∴φ(x)的图象与x轴有三个交点，即方程f(x)＝g(x)有三个解；

③若0

2<0，∴φ(x)的图象与x轴只有一个交点，即方

程f(x)＝g(x)只有一个解；

④若a＝2，则φ′(x)＝6(x－1)2≥0，φ(x)单调递增，∴φ(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解；

⑤若a>2，由(2)知φ(x)的极大值为φ(2

a)＝－4(

1

a－

3

4)

2－

3

4<0，∴φ(x)的图象与x轴只有一个

交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解．

综上知，若a≥0，方程f(x)＝g(x)只有一个解；若a<0，方程f(x)＝g(x)有三个解．20：解（1）由题得：，因为为不动点，

因此有，即

所以或，即3和－1为的不动点。

（3）因为恒有两个不动点，

∴，

即（※）恒有两个不等实数根，

由题设恒成立，10分

即对于任意b∈R，有恒成立，

所以有，

∴

21、(1)证明:由,得

曲线在点处的切线方程为,

,得

则 设

,

,

,

在

上为增函数,

,则在

上为增函数,

,即

;

(2)解:设,,

由(1)知,

,

,则

①当,即时,

,

在

上单调递增,

成立;

②当,即时,

,

令,得,

当

时,

,

在上单调递减,则

,不合题意.

综上,

22，解 (1)直线的斜率为,直线l 倾斜角为

由曲线C 的极坐标方程得到:

,利用

,得到曲线C 的

直角坐标方程为

(2)点在直线l上且在圆C内部,所以

直线l的直角坐标方程为

所以圆心到直线l的距离.所以,即

23:(1）原不等式等价于：或或

，解得：或或，即不等式的解

集为； ......5分

（2）不等式等价于，因为

，所以的最小值为。于是，即，所以或。 ......10分