(2020汇编)中考数学压轴题专题试卷精选汇编(有解析答案)
?? .在 A （1，0），B （1，1）， C ( 2, 0 ) （1）如图 2， M ?? ， N ?
（2）如图 3， M （0，1），N
, - ?? ，点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点.
压轴题专题
东城区
28．给出如下定义：对于⊙O 的弦 MN 和⊙O 外一点 P （M ，O ，N 三点不共线，且 P ，O 在直线 MN 的异侧），
当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段 MN 关于点 O
的关联点．图 1 是点 P 为线段 MN 关于点 O 的关联点的示意图.
在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1.
? 2 2 ? ? 2 2 ? , , - ? 2 2 ? ? 2
2 ?
三点中, 是线段 MN 关于点 O 的关联点的是
；
? 3 1 ?
? 2 2 ?
①∠MDN 的大小为
°；
②在第一象限内有一点 E
( 3 m , m )，点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点，
判断△MNE 的形状，并直接写出点 E 的坐标；
③点 F 在直线 y = -
3
3
x + 2 上，当∠MFN≥∠MDN 时，求点 F 的横坐标 x 的取值范围．
F
1
，，?.
∴G
?
，
A，B，设k=AQ+BQ
28.解：（1）C；--------------2分（2）①60°；
②△MNE是等边三角形，点E的坐标为(
31
)；--------------5分
③直线y=-3
3
x+2交y轴于点（0，2），交x轴于点T
(23，0).
∴OK=2，OT=23.
∴∠OKT=60?.
作OG⊥T于点G,连接MG.
∵M(0，1)，
∴OM=1.
∴M为O中点.
∴MG=M=OM=1.
∴∠MGO=∠MOG=30°，OG=3.
?33?
?22?
∵∠MON=120?,
∴∠GON=90?.
又OG=3，ON=1，
∴∠OGN=30?.
∴∠MGN=60?.
∴G是线段MN关于点O的关联点.
经验证，点E (
31
)在直线
y=-
3
3
x+2上.
结合图象可知，当点F在线段GE上时，符合题意.∵x≤x≤x，
G F E
∴3
2≤x≤3.--------------8分F
西城区
28．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点CQ，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”，特别地，当点A和点
B重合时，规定AQ=BQ，k=2A Q2BQ
（或）．CQ CQ
2
①若A(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为__________．
Q C A2x
Q C
x
Q C2x
已知在平面直角坐标系xOy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．
（1）如图，当r=2时，
1
②A(1+2,0)是否为⊙C的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．
2
（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，
①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．
②当k=3时，求r的取值范围．
（3）若存在r的值使得直线y=-3x+b与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“3相关依附点”，直接写出b的取值范围．
y
A1
O
图1y
O
备用图
【解析】（1）①2．②是．
（2）①如图，当r=1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），
连接CM，则QM⊥CM，
y
M
O
∵Q(-1,0)，C(1,0)，r=1，
∴CQ=2，CM=1，
3
∴k=MQ+NQ
，
∴MQ=3，
此时k=2MQ
=3，CQ
②如图，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN 作CD⊥QM于点D，则MD=ND， y M D N Q O C2 x ∴MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ， ∵CQ=2， 2DQ ==DQ， CQ CQ ∴当k=3时，DQ=3， 此时CD=CQ2-DQ2=1， 假设⊙C经过点Q，此时r=2， ∵点Q早⊙C外， ∴r的取值范围是1≤r<2． （3）-3 海淀区 28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和e C，给出如下定义：若e C上存在一点T不与O重合，使点P关于直线OT的对称点P'在e C上，则称P为e C的反射点．下图为e C的反射点P的示意图． 4 y T P C P’ O x （1）已知点A的坐标为(1,0)，e A的半径为2， ①在点O(0,0)，M(1,2)，N(0,-3)中，e A的反射点是____________； ②点P在直线y=-x上，若P为e A的反射点，求点P的横坐标的取值范围； （2）e C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是e C的反射点，直接写出圆心C的横坐标x 的取值范围． 28．解（1）①e A的反射点是M，N．………………1分 ②设直线y=-x与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，G，过点D作DH⊥x轴于点H，如图． 可求得点D的横坐标为-32 2 ． 同理可求得点E，F，G的横坐标分别为-2232 ，，．222 点P是e A的反射点，则e A上存在一点T，使点P关于直线OT的对称点P'在e A上，则OP=OP'. 5 ∴点 P 的横坐标 x 的取值范围是 - 3 2 ≤x ≤ - ≤x ≤ 2 2 3 2 Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为 ? x + x 2 ? ． ∵1≤OP '≤3 ，∴1≤OP ≤3 ． 反之，若1≤OP ≤3 ， e A 上存在点 Q ，使得 O P = OQ ，故线段 PQ 的垂直平分线经过原点，且与e A 相交．因此点 P 是 e A 的反射点． ，或 2 2 2 2 ．………………4 分 （2）圆心 C 的横坐标 x 的取值范围是 -4≤x ≤4 ． ………………7 分 丰台区 28．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形W ，W 给出如下定义：点 P 为图形W 上一点，点 Q 为 1 2 1 图形W 2 上一点，当点 M 是线段 PQ 的中点时，称点 M 是图形W 1 ，W 2 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)， 1 ? 2 已知，点 A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． 2 , y + y ? 1 2 ? （1）连接 BC ，在点 D ( 1 1 ，0)，E (0，1)，F (0， )中，可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是 2 2 ____________； （2）已知点 G (3，0)，⊙G 的半径为 2．如果直线 y = - x + 1 上存在点可以成为点 A 和⊙G 的“中立 点”，求点的坐标； （3）以点 C 为圆心，半径为 2 作圆．点 N 为直线 y = 2x + 4 上的一点，如果存在点 N ，使得 y 轴上 的一点可以成为点 N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点 N 的横坐标的取值范围． y 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 28．解：（1）点 A 和线段 BC 的“中立点”的是点 D ，点 F ； ………2 分 （2）点 A 和⊙G 的“中立点”在以点 O 为圆心、 半径为 1 的圆上运动. 1 2 3 4 5 6 x 6 定圆”．如图为点 A ，B 的“确定圆”的示意图． 0) 因为点在直线 y =- x +1 上， 设点的坐标为（x ，- x +1）， 则 x 2+（- x +1）2=12，解得 x 1=0，x 2=1. 所以点的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5 分 （3）（说明：点 N 与⊙C 的“中立点”在以线段 NC 的中点 P 为圆心、 半径为 1 的圆上运动.圆 P 与 y 轴相切时，符合题意.） 所以点 N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2. ………8 分 y y x x 石景山区 28．对于平面上两点 A ，B ，给出如下定义：以点 A 或 B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点 A ，B 的“确 ．．． A B （1）已知点 A 的坐标为 (-1,0) ，点 B 的坐标为 (3,3) ， 则点 A ，B 的“确定圆”的面积为_________； （2）已知点 A 的坐标为 (0,0) ，若直线 y = x + b 上只存在一个点 B ，使得点 A ，B 的“确定圆”的面积 为 9π ，求点 B 的坐标； （3）已知点 A 在以 P(m ， 为圆心，以 1 为半径的圆上，点 B 在直线 y = - 3 3 x + 3 上， 若要使所有 点 A ，B 的“确定圆”的面积都不小于 9π ，直接写出 m 的取值范围． 28．解：（1） 25π ； ………………… 2 分 （2）∵直线 y = x + b 上只存在一个点 B ，使得点 A, B 的“确定圆”的面积 为 9π ， ∴⊙ A 的半径 AB = 3 且直线 y = x + b 与⊙ A 相切于点 B ，如图， ∴ AB ⊥ CD ， ∠DCA = 45°． 7 2 ． B 2 ，- ' - y l B D 3 l' C E A x B' ①当 b > 0 时，则点 B 在第二象限． 过点 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E ， ∵在 Rt ?BEA 中， ∠BAE = 45°， AB = 3 ， ∴ BE = AE = 3 2 ∴ （ - 3 2 3 2 ， ）． 2 2 ②当 b < 0 时，则点 B ' 在第四象限． 同理可得 B （ 3 2 3 2 2 ） ． 综上所述，点 B 的坐标为（ - 3 2 3 2 3 2 3 2 ， ）或（ ， ）． 2 2 2 2 ………………… 6 分 （3） m ≤ -5 或 m ≥11． ………………… 8 分 朝阳区 28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和线段 AB ，其中 A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义： 若在线段 AB 上存在一点 Q ，使得 P ，Q 两点间的距离小于或等于 1，则称 P 为 线段 AB 的伴随点． 8 . …………………2分 （1）当t=-3时， ①在点P 1 （1，1），P 2 （0，0），P 3 （-2，-1）中，线段AB的伴随点是； ②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=5，求b的取值范围； （2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围． 28.解：（1）①线段AB的伴随点是P,P 2 ②如图1，当直线y=2x+b经过点（-3，-1）时，b=5，此时b取得最大值. …………………………………………4分 如图2，当直线y=2x+b经过点（-1，1）时，b=3，此时b取得最小值. ……………………………………………5分 ∴b的取值范围是3≤b≤5.……………………………………6分 图1图2 （2）t的取值范围是- 1 2≤t≤2.…………………………………………8分 燕山区 28．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边的中线，DE⊥BC于E,连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）． （1）如果∠A=30° 9 ①如图1，∠DCB=° ②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF,连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α（0°<α<90°），连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）． 28.解：(1)①∠DCB=60°…………………………………1′ ②补全图形 CP=BF…………………………………3′ △DCP≌△DBF…………………………………6′ （2）BF-BP=2DE?tanα…………………………………8′ 门头沟区 28.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x,y)，点N的坐标为(x,y)，且x≠x，y=y,我 11221212 们规定：如果存在点P，使?MNP是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点P为点M、N 的“和谐点”. （1）已知点A的坐标为(1,3)， ①若点B的坐标为(3,3)，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，直接写出点C的坐标； 10 出示意图直接写出半径 r 的取值范围. ②点 C 在直线 x =5 上，且点 C 为点 A ，B 的“和谐点”，求直线 AC 的表达式. （2）⊙O 的半径为 r ，点 D (1, 4) 为点 E (1, 2) 、F (m , n) 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画 ．．．．． y y O x O x 备用图 1 备用图 2 28．（本小题满分 8 分） 解： (1)① C (1,5)或C (3,5) . ……………………………………………2 分 1 2 ②由图可知，B (5,3) ∵A (1,3) ∴AB =4 ∵ ?ABC 为等腰直角三角形 ∴BC =4 ∴ C 1 (5,7)或C 2 (5,-1) 设直线 AC 的表达式为 y = kx + b (k ≠ 0) 当 C 1 (5,7) 时， ? k + b = 3 ? k = 1 ? ∴ ? ?5k + b = 7 ?b = 2 当 C 2 (5,-1) 时， ? k + b = 3 ?k = -1 ? ∴? ?5k + b = -1 ? b = 4 ∴ y = x + 2 …………………………………3 分 ∴ y = - x + 4 …………………………………4 分 ∴综上所述，直线 AC 的表达式是 y = x + 2 (2)当点 F 在点 E 左侧时： 或 y = - x + 4 11 大兴区 28.在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接D P，过点P作DP的垂线交y轴于点E（E在线段OA上，E不与点O重合），则称∠DPE为点D，P,E的“平横纵直角”.图1为点D，P,E的“平横纵直角”的示意图. 图1图2 如图2，在中，已知二平面直角坐标系xOy 次函数图象与y轴交 于点F(0,m)，与x轴分别交于点B（-3，0），C（12，0）.若过点F作平行于x轴的直线交抛物线于点N. （1）点N的横坐标为； （2）已知一直角为点N,M,K的“平横纵直角”， 若在线段OC上存在不同的两点M 1、M 2 ，使相应的点 K 1 、K2都与点F重合，试求m的取值范围； （3）设抛物线的顶点为点Q，连接BQ与FN交于点H,当45?≤∠QHN≤60?时，求m的取值范围． 28.（1）9…………………………………………………………………1分 （2）方法一 ΘM⊥MN， ∴要使线段OC上存在不同的两点M、M，使相应的点、都与点F重合，也就是使以FN为 1212 直径的圆与OC有两个交点，即r>m． Θr=9， 2 12 ∴ y = ． m =- 1 x 2 + x ， ∴ m < 9 ． 2 又Θ m > 0 ， ∴ 0 < m < 9 ． ………………………………………………4 分 2 方法二： Θ m > 0 ， ∴ 点在 x 轴的上方． 过 N 作 NW ⊥OC 于点 W ，设 O M = x ， OK = y ， 则 CW ＝OC －OW ＝3，WM ＝ 9 - x ． 由 △M O ∽ NWM ， 得， x 9 - x m ∴ y = - 1 x 2 + 9 x ． m m 当 y = m 时， 9 m m 化为 x 2 - 9 x + m 2 = 0 ． 当△=0，即 92 - 4m 2 = 0 ， 解得 m = 9 时， 2 线段 OC 上有且只有一点 M ，使相应的点与点 F 重合． Θ m > 0 ， ∴ 线段 OC 上存在不同的两点 M 1、 M 2，使相应的点 1 、 2 都与点 F 重合时， m 的取值范围为 0 < m < 9 ． ………………………………………………………………………………4 分 2 （3）设抛物线的表达式为： y = a( x + 3)( x - 12) (a ≠0)， 又Θ 抛物线过点 F （0， m ）， ∴ m = -36a ．∴ a = - 1 m ． 36 13 ∴y=- 1 m(x+3)(x-12)=-m(x-)2+m．…………………………………5分 1925 3636216 过点Q做QG⊥x轴与FN交于点R ΘFN∥x轴 ∴∠QRH=90° Θtan∠BQG=BG，QG=25m，BG=15 QG162∴， 又45?≤∠QHN≤60?， ∴30?≤∠BQG≤45? ∴当∠BQG=30?时，可求出m=当∠BQG=45?时，可求出m=24 5 24 5 3，…………………………………6分．……………………………………7分 ∴m的取值范围为2424 ≤m≤3．…………………………………8分55 平谷区 28.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为 (x,y)，点N的坐标为(x,y 1122)，且x 1 ≠x，y≠y， 212 以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A（2,0），B（0,23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C（1,2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式； （3）⊙O的半径为2，点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围． 14 ．．． ． ． 28．解：（1）60； (1) （2）∵以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线 CD 与直线 y =5 的夹角是 45°． 过点 C 作 CE ⊥DE 于 E ． ∴D （4,5）或 (-2,5 )． (3) ∴直线 CD 的表达式为 y = x + 1 或 y = - x + 3 ． (5) （3）1 ≤ m ≤ 5 或 -5 ≤ m ≤ -1． (7) 怀柔区 28. P 是⊙C 外一点，若射线 PC 交⊙C 于点 A ，B 两点，则给出如下定义：若 0＜PAPB≤3，则点 P 为 ⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为 1 时． ①在点 P 1（ 2 ,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ； ②点 P 在直线 y=x+b 上，若点 P 为⊙O 的“特征点”．求 b 的取值范围； (2)⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=x+1 与 x 轴，y 轴分别交于点 M ，N ，若线段 MN 上的所有点 都不是⊙C 的“特征点”，直接写出点 C 的横坐标的取值范围． 15 y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 x 28. (1)①P 1（ 2 ,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2 分 y 4 3 E y=x+b 1 H 2 1 y=x+b 2 D –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 x –1 –2 –3 –4 ②如图， 在 y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点 P ，点 O 到直线 y=x+b 的距离 m≤2. 直线 y=x+b 1 交 y 轴于点 E ，过 O 作 OH⊥直线 y=x+b 1 于点 H. 因为 OH=2，在 Rt△DOE 中，可知 OE=2 2 . 可得 b 1=2 2 .同理可得 b 2=-2 2 . ∴b 的取值范围是 - 2 2 ≤b ≤ 2 2 . …………………………………………………6 分 (2)x> 3 或 x < -3 . …………………………………………………………………………8 分 延庆区 16 PQ ， ．， 28．平面直角坐标系 xOy 中，点 A( x ，y ) 与 B( x ，y ) ，如果满足 x + x = 0 ，y - y = 0 ，其中 x ≠ x ， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 则称点 A 与点 B 互为反等点． 已知：点 C (3，4) （1）下列各点中， 与点 C 互为反等点； D ( - 3， - 4)， E （3，4）， F （ - 3，4） （2）已知点 G （ - 5，4），连接线段 CG ，若在线段 CG 上存在两点 P ，Q 互为反等点，求点 P 的横坐标 x 的取值范围； （3）已知⊙O 的半径为 r ，若⊙O 与（2）中线段 CG 的两个交点互为反等点，求 r 的取值范围． y 6 5 4 3 2 1 p -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 28．(1)F ……1 分 (2) -3≤ x ≤3 且 x ≠0 ……4 分 p p (3)4 < r≤5 ……7 分 顺义区 点 P 任意引出一条射线分别与 L 、 L 交于 Q 、Q ，总有 PQ 1 是定值，我们称曲线 L 与 L “曲似” 1 2 1 2 1 2 2 定值 PQ 1 为“曲似比” 点 P 为“曲心” PQ 2 例如：如图 2，以点 O'为圆心，半径分别为 r 、 r （都是常数）的 1 2 两个 17 C 2 M N O' C 1 图2 “ ” 同心圆 C 、C ，从点 O'任意引出一条射线分别与两圆交于点 M 、N ，因为总有 1 2 O ' M r = 1 是定值， O ' N r 2 所以同心圆 C 与 C 曲似，曲似比为 1 2 r 1 ， 曲心”为 O'． r 2 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = kx 与抛物 线 y = x 2 、 y = 1 2 x 2 分别交于点 A 、B ，如图 3 所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由； （2）在（1）的条件下，以 O 为圆心，OA 为半径作 圆，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 C ，是否存 在 k 值，使⊙O 与直线 BC 相切？若存在，求 出 k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“ y = 1 2 x 2 ”改 为“ y = 1 m x 2 ，其他条件不变，当存在⊙O 与直线 BC 相切时，直接写出 m 的取值范围及 k 与 m 之间的关系式． 28．（1）是． 过点 A ，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，C ． 依题意可得 A （k ,k 2）,B （2k ,2k 2）．……………………………………………… 2 分 因此 D （k ,0），C （2k ,0）． ∵AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴， ∴AD ∥BC ． 8 ∴ OA OD k 1 = = = ． OB OC 2k 2 6 B ∴两抛物线曲似，曲似比是 1 2 ． ………… 3 分 4 A （2）假设存在 k 值，使⊙O 与直线 BC 相切． 则 OA=OC=2k ， 又∵OD=k ，AD=k 2，并且 OD 2+AD 2= OA 2， 2 5 O D C 2 4 5 10 18 ∴k2+（k2）2=（2k）2． ∴k=±3．（舍负） 由对称性可取k=-3． 综上，k=±3．…………………………6分 （3）m的取值范围是m＞1， k与m之间的关系式为k2=m2-1．………8分 19 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直 第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为() A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 江苏省13市2015年中考数学压轴题 1. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【】 A. 第24天的销售量为200件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元 C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D. 第30天的日销售利润是750元 2. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为【】 A. 13 3 B. 9 2 C. 4 13 3 D. 25 3. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为【】 A．4km B．() 22 +km C．22km D．() 42 -km 4. （2015年江苏泰州3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是【】 A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. （2015年江苏无锡3分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为【 】 A. 35 B. 45 C. 2 3 D. 32 6. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【 】 A. <2x B. >2x C. <5x D. >5x 7. （2015年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图像大致为【 】 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； 压 轴 题 ' 选 讲, 中考倒数第三题 1. 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD ⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 、 2、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3． （1）求⊙O的半径； （2）若DE=，求四边形ACEB的周长． [ 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB 上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径． ￥ 4、己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD． （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P处线段AF的中点 （3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值． ! 5、已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是⌒ BC上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F． （1）求证：△ABD∽△ADE； （2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE， 求证：S△DAF＞S△BAE． - ； 6、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)当∠B AC＝60o时，DE与DF有何数量关系请说明理由； (3)当AB＝5，BC＝6时，求tan∠BAC的值． * A B C E O F 2019年中考数学真题分类汇编—几何题汇总 一、选择题 1．【2019连云港市】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 A．18m2B．m2C．2D2 （第1 题）（第2题）（第3题） 2．【2019宿迁】一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ） A．105°B．100°C．75°D．60° 3．【2019宿迁】一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πB．15πC．12πD．9π 4、【2019常州】下图是某几何体的三视图,该几何体是() A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D.球 5、【2019常州】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是( ) A、线段PA B、线段PB C、线段PC D、线段PD 6．【2019镇江】一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B． C．D． 7、【2019淮安】下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是 （ ） 8．【2019泰州】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、 G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ） A ．点D B ．点E C ．点F D ．点G 9、【2019扬州】 已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n ，则满足 条件的n 的值有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10．【2019连云港市】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AB ．将矩形ABCD 对折，得 到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：① △CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝ ；④BP ＝AB ；⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A B C E D F G ···· 中考数学压轴题解析二十 103．（2017黑龙江省龙东地区，第25题，8分）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示． （1）甲、乙两地相距千米． （2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式． （3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？ 【答案】（1）480；（2）y2=40x﹣120；（3）1.2或4.8或7.5小时． 【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离； （2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； （3）分三种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等；货车与客车相遇后，邮政车与客车和货车的距离相等． ． 106．（2017山东省莱芜市，第22题，10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元． （1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？ （2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲 种口罩的数量大于乙种口罩的4 5，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的 进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？ 【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元，得出等式组成方程求出即可； （2）根据网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，甲种口罩的数量大 年中考数学真题汇编:整式(31题) 一、选择题 1. (四川内江)下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 2.(2018广东深圳)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3.(2018浙江义乌)下面是一位同学做的四道题：①.② .③ .④ .其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 4.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 5.下列运算正确的是（）。 A. B. C. D. 【答案】C 6.下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 8.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】B 9.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 10.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】C 11.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 12.下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【答案】D 13.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 14.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 15.下列计算正确的是（）。 A.(x+y)2=x2+y2 B.(－xy2）3=－x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2 【答案】D 16.下面是一位同学做的四道题①（a+b）2=a2+b2，②（2a2）2=-4a4，③a5÷a3=a2， ④a3·a4=a12。其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 17.下列计算正确的是（） A.a3+a3=2a3 B.a3·a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.（a3）2=a5 【答案】A 18.计算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 19.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 20.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（） A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b 【答案】B 二、填空题（共6题；共6分） 21.计算：________. 一、中考数学压轴题 1．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ； （2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？ （3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2． 2．在平面直角坐标系中，抛物线2 4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且 :3:4??=ABC BCE S S ． （1）求点A ，点B 的坐标； （2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式． 3．如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标． （3）如图3，点M 的坐标为（ 3 2 ，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标． 中考数学压轴题精选精析 37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分） 如图， 在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二 次方程的两个根，且 （1）求的值． （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理 由． （09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解得 ·············································································· 1分 在中，由勾股定理有 ········································································ 1分 （2）∵点在轴上， ········································································ 1分 ABCD 6AD =，OA OB x 2 7120x x -+=OA OB >．sin ABC ∠E x 16 3 AOE S = △，D E AOE △DAO △M AB F ，A C F M F 2 7120x x -+=1243x x ==，OA OB >43OA OB ∴==，Rt AOB △225AB OA OB =+=4 sin 5 OA ABC AB ∴∠= =E x 163 AOE S = △11623AO OE ∴?=8 3 OE ∴= 880033E E ????∴- ? ????? ，或，x y A D B O C 28题图 2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．． 写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0） 一、中考数学压轴题 1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动 点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ； （3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 5．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： 2019全国各地中考数学压轴题汇编附答案（一） 1、如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标； （3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由． 2、把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）． （1）填空：t的值为（用含m的代数式表示） （2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式； （3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点． （1）求点B的坐标和OE的长 （2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标． （3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合． ①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式． ②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长． 4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方 向旋转90°得到EF． （1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO． （2）已知点G为AF的中点． ①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长． 2010届中考数学真题分类汇编专题--- 动态综合型问题 （二）填空题 1．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ▲ ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ▲ ． 【答案】（1）2(x －2)2 或2288x x -+ （2）3、1、55-、55+ 2．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点， 以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF .P 是上的一个动点，连 结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若 3=BM BG ，则BK ﹦ ▲ . 【答案】31, 3 5 3．（2010江西）如图所示，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为 ． A O D B F K E (第16题G M C P y x y x 2 y O · （14题） 【答案】6 4．（2010 四川成都）如图，在ABC ?中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么 经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小． 【答案】3 5．（2010 四川成都）如图，ABC ?内接于⊙O ，90,B AB BC ∠==，D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则 BQ QR 的值为_______________． 一．解答题（共30小题） 1．（顺义区）如图，直线l 1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l 2 ： 相交于点P（﹣1，0）． （1）求直线l 1、l 2 的解析式； （2）直线l 1 与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运 动，到达直线l 2上的点B 1 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 1 上的 点A 1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 2 上的点B 2 处后，又改为垂 直于x轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，… 照此规律运动，动点C依次经过点B 1，A 1 ，B 2 ，A 2 ，B 3 ，A 3 ，…，B n ，A n ，… ①求点B 1，B 2 ，A 1 ，A 2 的坐标； ②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标；并求当动点C到达A n 处时，运动的总路径 的长？ 2．（莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=． （1）求直线AC的解析式； （2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处． 3．（资阳）已知Z 市某种生活必需品的年需求量y 1（万件）、供应量y 2（万件）与价格x （元/件）在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y 1=﹣4x+190，y 2=5x ﹣170．当y 1=y 2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y 1＜y 2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y 1＞y 2时，称该商品的供求关系为供不应求． （1）求该商品的稳定价格和稳定需求量； （2）当价格为45（元/件）时，该商品的供求关系如何？为什么？ 4．（哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（﹣3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5．（桂林）如图已知直线L ：y=x+3，它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点． （1）求点A 、点B 的坐标． （2）设F 为x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P 经过点B 且与x 轴相切于点F （不写作法，保留作图痕迹）． （3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为P （x ，y ），求y 关于x 的函数关系式． （4）是否存在这样的⊙P，既与x 轴相切又与直线L 相切于点B ？若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ， ∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+42016年中考数学压轴题精选及详解
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