2016年高考理科数学立体几何专题(含解析)

1

第 讲 立体几何复习

时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：

一、 兴趣导入

二、 学前测试

例1：如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，2PA PD ==,PB=2,

E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。

因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为 等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以

AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥

又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以 AD ⊥平面DEF 。

2

（2）,PG AD BG AD ⊥⊥ ，

PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角， 在

2227,4Rt PAG PG PA AG ?=-=

中

在

32Rt ABG ???中,BG=AB sin60=

2

2

2

734

2144cos 2773

222PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-

???

法二：（1）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥

又,60,AB AD DAB ABD =∠=??为等边三角形，因此，BG AD ⊥， 从而AD ⊥平面PBG 。

延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ?平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ?= 所以PO ⊥平面ABCD 。

以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设11

(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).

22P m G n A n D n -则

3

3||||sin 602GB AB =?=

333131(,0,0),(,1,0),(,,0),(,,).22222422n m B n C n E n F ∴+

+++

于

33(0,1,0),(,0,0),(,0,)

2242n m

AD DE FE ===+- 得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ?=?=⊥⊥?=

AD ∴⊥平面DEF 。

（2）13(,,),(,0,)

22PA n m PB n m =--=+-

22221332,()2,1,.422m n n m m n ∴++

=++===解之得

取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =-

设平面PAD 的法向量

2(,,)n a b c =

由22330,0,0,0,

2222b b

PA n a c PD n a c ?=--=?=+-= 得由得 取

23(1,0,

).2n =

123

212cos ,.77

14n n -

∴<>=

=-?

4

例2：如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．

（Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ；

（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．

本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分） 解法1：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF 。

（I ）如图1，连结NF 、AC1，由直棱柱的性质知， 底面ABC ⊥侧面A1C 。

又度面ABC 侧面A ，C=AC ，且EN ?底面ABC ， 所以EN ⊥侧面A1C ，NF 为EF 在侧面A1C 内的射影，

在Rt CNE ?中，cos 60CN CE =?=1，

则由

11

4CF CN CC CA ==，得NF//AC1， 又

11,AC AC ⊥故1NF AC ⊥。

由三垂线定理知

1.EF AC ⊥

（II ）如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME 。 由（I ）知EN ⊥侧面A1C ，根据三垂线定理得,EM AF ⊥ 所以EMN ∠是二面角C —AF —E 的平面角，即EMN θ∠=， 设,045FAC αα∠=?<≤?则

在Rt CNE ?中，sin603,NE EC =??= 在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ?=?=中

5

故

3

tan .3sin NE MN a θ=

=

又

2045,0sin ,2a α?<≤?∴<≤

故当

2

sin ,452a α=

=?即当时，tan θ达到最小值；

36tan 233θ=

?=，此时F 与C1重合。

解法2：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

1(0,0,0),(23,2,0),(0,4,0),(0,0,4),(3,3,0),(0,4,1),A B C A E F 1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-

则1

(0,4,4)(3,1,1)0440,CA EF ?=-?-=-+=

故

1.EF AC ⊥

（II ）设,(04)CF λλ=<≤，

平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则由（I ）得F （0，4，λ）

(3,3,0),(0,4,)AE AF λ== ，于是由,m AE m AF ⊥⊥

可得 0,330,

40.0,m AE x y y z m AF λ???=+=????+=??=???

即

取(3,,4).m λλ=-

又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为(1,0,0)n =，

6

于是由θ为锐角可得

||cos ||||m n m n θ?=?222316,sin 2424λλθλλ+==++， 所以

22

16116

tan 333λθλλ+==+， 由04λ<≤，得1

1

4λ

≥

，即116tan ,

333θ≥+=

故当4λ=，即点F 与点C1重合时，tan θ取得最小值6

,

3

变式练习：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，

60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．

（I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．

解：

（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD2+AD2= AB2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，

则

()

1,0,0A ，

(

)03,0

B ，，()1,

3,0

C -，()0,0,1P ．

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-u u u v u u v u u u v

设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则

0,0,

{

n AB n PB ?=?=u u u r

u u u r

7

即

30

30

x y y z -+

=-=

因此可取n=(3,1,3)

设平面PBC 的法向量为m ，则

m 0,m 0,

{

PB BC ?=?=u u u r u u u r

可取m=（0，-1，3-）

427

cos ,727

m n -=

=-

故二面角A-PB-C 的余弦值为

27

7-

例3如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ?∠=，PA 垂直于底面ABCD ，

N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。

(1)求证：DM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角；（3）求截面ADMN 的面积。 解：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =， 所以PB AN ⊥。 由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，

又90BAD ?

∠=，即BA AD ⊥，

∴ ⊥AD 平面PAB ，所以PB AD ⊥ ， ∴ ⊥PB 平面ADMN ， ∴DM PB ⊥。

（2）连结DN ，

因为⊥BP 平面ADMN ，即⊥BN 平面ADMN ， 所以BDN ∠是BD 与平面ADMN 所成的角， 在Rt ABD ?中，2222BD BA AD =

+=，在Rt PAB ?中，

2222PB PA AB =+=，故122

B N P B ==，在

R t

B D ?中, 2

1

sin ==

∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0， 故BD 与平面ADMN 所成的角是

6

π

。 （3）由,M N 分别为PB PC ,的中点，得//MN BC ，且1122

MN BC =

=， 又//AD BC ，故//MN AD ，由（1）得⊥AD 平面PAB ，又AN ?平面PAB ，故AD AN ⊥，

8

∴四边形ADMN 是直角梯形，在Rt PAB ?中，2222PB PA AB =+=，1

22

AN PB ==， ∴ 截面ADMN 的面积11152

()(2)22224

S MN AD AN =+?=+?=

。 （1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示（图略）

由22====BC AB AD PA ，得(0,0,0)A ，1(0,0,2),(2,0,0),(1,,1),(0,2,0)2

P B M D

因为3

(2,0,2)(1,,1)2

PB DM ?=-- 0= ，所以DM PB ⊥。

（2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ?=-?

0= 所以PB AD ⊥，又DM PB ⊥ ，

故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-

是平面ADMN 的法向量。 设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-

。

则|||4|1

sin |cos ,|2

||||4444BD PB BD PB BD PB θ?-=<>===+?+

， 又[0,

]2

π

θ∈，故6

π

θ=

，即BD 与平面ADMN 所成的角是

6

π

。 因此BD 与平面ADMN 所成的角为

6

π， 强化练习：

1. 已知PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，AC 与BD 交于E 点，2BD =，BC CD =， （1）取PD 中点F ，求证://PB 平面AFC 。 （2）求二面角A PB E --的余弦值。

解法1:(1)联结EF ，∵AB AD =，BC CD =，AC=AC ∴ADC ABC ???，∴E 为BD 中点，∵F 为PD 中点， ∴//PB EF ， ∴//PB 平面ACF

（2）联结PE ，∵2PA AB AD BD ====， ∴在等边三角形ABD 中,中线AE BD ⊥，

又PA ⊥底面ABCD ， ∴PA BD ⊥，∴PAE BD 面⊥，

∴平面PAE ⊥平面PBD 。过A 作AH PE ⊥于H ，则AH ⊥平面PBD ， 取PB 中点G ，联结AG 、GH ，则等腰三角形PAB 中，AG PB ⊥， ∵AH PB ⊥，∴PB ⊥平面AGH ，∴PB GH ⊥， ∴AGH ∠是二面角A PB E --的平面角

等腰直角三角形PAB 中，2AG =，等边三角形ABD 中，3AE =， ∴Rt PAE ?中，237

AH =

，∴2

7GH =，

9

∴2

177727

GH

COS AGH AG

∠====. ∴二面角A PB E --的余弦值为77。

解法2：

以AC AP 、分别为y z 、轴，A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ∵2PA AB AD BD BC CD =====， ∴ABC ADC ???，

∴ABD ?是等边三角形，且E 是BD 中点，AC BD ⊥

则(000)A ，，、(130)B ，，、(130)D -，，、(030)E ，，、(002)P ，

，、13(1)22

F -，，

（1）13

(132)(1)22

PB FE =-=- ，，、，， ∴12PB FE = ，

∴//PB EF ，∴//PB 平面ACF

（2）设平面PAB PBE 、的法向量分别为121122(0)(1)n x y n x y ==-

，，、，，，. 则12n n 、的夹角的补角就是二面角A PB E --的平面角；

∵(130)AB = ，，，(132)PB =- ，，，(032)PE =- ，，，

由10n AB ?= 及220

n PB n PE ??=???=??

得1(310)n =- ，，，22(01)3n =- ，-，，1212127cos 7||||n n n n n n ???==-?

，， ∴二面角A PB E --的余弦值为

7

7

。 2. 如图，在棱长都相等的四面体ABCD 中，点E 是棱AD 的中点， (1)设侧面ABC 与底面BCD 所成角为α，求tan α. (2)设CE 与底面BCD 所成角为β，求cos β.

(3)在直线BC 上是否存在着点F ，使直线AF 与CE 所成角为90°，

若存在，试确定F 点位置；若不存在，说明理由。

答案：解：(1)连AF 、DF ，由△ABC 及△BDC 是正三角形，F 为BC 中点，得AF ⊥BC ，DF ⊥BC ，AF=DF ∴∠AFD 为二面角A-BC-D 的平面角

设棱长为a ，在△ABC 中，AF=23a ，DF=2

3a

在△AFD 中，314

3243

2cos 2

2

2=?-?=a a a α ∴22=αtg

(2)法一：∵BC ⊥面ADF ，BC ?面BCD

P

E F

D

C

B

A

z y

x

10

∴面ADF ⊥面BCD

在面ADF 中，过E 作EG ⊥DF ，则EG ⊥面BCD ，连CG ，则∠ECG=β 又AF=DF ，E 为AD 中点，故EF ⊥AD 在Rt △DEF 中，EF=a a a 2

2)21()23(

22=- DE=a 21，由DE EF DF EG ?=?得a a a

a EG 662

3

22

21=?=

在Rt △CEG 中，3

7

cos ,32sin =

=ββ则 法二：设AO ⊥面BCD 于O ，则O 为等边三角形，BCD 为中心，设BC 中点为M ，CD 中点为N ，以O 为坐标

原点，OM 所在直线为x 轴，ON 所在直线为y 轴，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系0-xyz ，设棱长为2a ，

则0(0,0,0)，A(0,0，362a),C(23a,a,0),D(-232a,0,0)，E(-33a,0,3

6

2a)

∴=OA 0,0，362a ，=CE (-2

32a,-a,36

a)

∴cos=3233

6

2432=?a a a

∴CE 与面BCD 所成角β的余弦值为cos β= sin=3

7

(3)法一：设F(33a,y,0)，则)3

6

2,,33(a y a AF -=

又0=?CE AF ∴03

4

3222=---a ay a ，∴y=-2a

∴F(33

a,-2a,0),即F 在CB 处长线上，且FB=21BC

法二：设b CD a AC c AB ===,,，∵B 、C 、F 三点共线，∴c c AF )1(λλ-+=

又∵CE AF ⊥ ∴0)(21)1([=-?-+a b a c λλ ∴2

3

=λ

c b ⊥ ∴AB CB AC AB a c AF +=-=-=2

1

21232123

∴F 在CB 延长线上，且FB=21

BC

3. 如图，已知BCD ?中，?=∠90BCD ，1==CD BC ，AB ⊥平面BCD ，?=∠60ADB ，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且

)10(<<==λλAD

AF

AC AE ． （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面

ABC ；

（2）若平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为?60，求λ的值。

解法一：（向量法）：

过点C 作AB Cz // ∵AB ⊥平面BCD

∴Cz ⊥平面BCD 又在BCD ?中，?=∠90BCD

A

E

B

C

D y

O

x

z A

E

F z

11

∴CD BC ⊥

如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系xyz C -． 又在BCD ?中，?=∠90BCD ，1==CD BC ∴2=BD 又在ABD Rt ?中，?=∠60ADB ∴6=AB 则)0,1,0(),6,0,1(),0,0,1(),0,0,0(D A B C （1）证明：∵)0,1,0(),6,0,1(),0,0,1(),0,0,0(D A B C ∴)0,1,0(),0,0,1(),6,0,0(===CD CB BA

∴0,0=?=?CD CB CD BA ∴CD CB CD BA ⊥⊥, 又B BC AB = ∴CD ⊥平面ABC

又在ACD ?中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点， 且)10(<<==λλAD

AF

AC AE ∴不论λ为何值，都有CD EF // ∴EF ⊥平面ABC 又?EF 平面BEF 不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC

（2）∵

λ=AC

AE

，∴,∵)6,0,1(--=AC ，∴()

λλλ6,0,--==AC AE ，

又∵()6,0,0-=AB ，()

)1(6,0,λλ--=-=∴AB AE BE ，

设),,(z y x n =是平面BEF 的法向量，则F n BE n E ,⊥⊥ 又CD EF //，CD ⊥∴n ,∵CD =(0,1,0), ∴??

?==-+-0

0)1(6y z x λλ

令λ=z 得0),1(6=-=y x λ ∴),0),1(6(λλ-=n ， ∵ )1,0,0(=m 是平面BCD 的法向量，平面BEF 与平面BCD 所成的二面角为?60， ∴2

1)1(611|

|||60cos 2

2=

+-??=

?=

?λλλm n m n

∴0242=+-λλ， ∴22-=λ或22+=λ（不合题意，舍去），

故当平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为?60时22-=λ．

解法二：∵

λ=AC

AE

，∴ , 设E （a,b,c ）,则)6,0,1()6,,1(--=--λc b a ，

∴a=1+λ,b=0,c=)1(6λ-， E （1+λ,0, )1(6λ-）,∴)1(6,0,(λλ--=BE )。 其余同解法一

（2）解法三：设),,(z y x n =是平面BEF 的法向量，则BF n BE n ⊥⊥,，∵

)10(<<==λλAD AF

AC AE

12

∴

λ-=1AC CE

∴λ

-==1AC CE AB EM

又在BCD ?中，?=∠90BCD ，1==CD BC ∴2=BD 又在ABD Rt ?中，?=∠60ADB ∴6=AB ∴)1(6λ-=EM 又

λ==AC

AE

BC BM ，且1=BC ∴λ=BM ∴λ-=1CM ∴))1(6,0,1(λλ--E 又λ==BC CN ∴))1(6,,1(λλλ--F ∴))1(6,,()),1(6,0,(λλλλλ--=--=BF BE

∴?????=-++-=-+-0)1(60)1(6z y x z x λλλλλ

令λ=z 得0),1(6=-=y x λ ∴),0),1(6(λλ-=n 其余同解法一

4. 如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点．

（1）求异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值；

（2）求平面1BDD 与平面1BFC 所成的锐二面角的余弦值；

（3）若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的最大值、最小值． 解：（1）)0,0,1(A ，1

(,0,1)2E ，)0,1,1(B ，)1,2

1,

1(F )1,0,21(-=AE ，)1,2

1

,0(-=BF ,5

44

5

451),cos(=

=

BF AE （2）平面BDD 1的一个法向量为)0,2

1

,21(-

=MA ，设平面BFC 1的法向量为),,(z y x n = ??

?

?

?

=+-=-?=?=+-=?0)1,0,1(),,(021z x z y x BC n z y BF n ∴???==z y z x 2 取1z =得平面BFC 1的一个法向量)1,2,1(=n

1132cos ,6||||2

62

MA n MA n MA n -?<>===-

∴所求的余弦值为63 （3）设(,,0)P x y （01,01x y ≤≤≤≤） 1(,,1)2EP x y =-- ，由0EP n ?= 得1

()2102x y -+-=

即322x y =-+，301,0212x y ≤≤∴≤-+≤ 13

44

y ∴≤≤

222222126||()1(21)15425()255

EP x y y y y y y ∴=-++=-++=-+=-+

1344y ≤≤ ,∴当25y =时，min 30||5

EP ∴= 当34y =时，∴429

max =

EP

13

5．如图，P 、O 分别是正四棱柱1111ABCD A B C D -上、下底面的中心，E 是AB 的中点，1AB kAA =.

（Ⅰ）求证：1A E ∥平面PBC ；

（Ⅱ）当2k =时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；

(Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?的重心? 解法一：（Ⅰ）过P 作MN ∥B 1C 1，分别交A 1B 1、D 1C 1于M 、N ，则M 、N 分别为 A 1B 1、D 1C 1的中点，连MB 、NC ，则四边形BCNM 是平行四边形 ∵E 、M 分别为AB 、A 1B 1中点，∴A 1E ∥MB 又MB ?平面PBC ，∴A 1E ∥平面PBC 。

（Ⅱ） 过A 作AF ⊥MB ，垂足为F ，连PF ，∵BC ⊥平面ABB 1A 1，AF ?平面ABB 1A 1， ∴AF ⊥BC ， BC ∩MB=B ，∴AF ⊥平面PBC ，∴∠APF 就是直线AP 与平面PBC 所成的角， 设AA 1=a ，则AB=2a ，AF=23

3

a ，AP=2a ， sin ∠APF=

63AF AP =。所以，直线AP 与平面PBC 所成的角是6

arcsin 3

。 （Ⅲ）连OP 、OB 、OC ，则OP ⊥BC ，由三垂线定理易得OB ⊥PC ，OC ⊥PB ，所以O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的垂心，又O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的重心，则△PBC 为正三角形。即PB=PC=BC ，所以2k =。

反之，当k=2时，PA=AB=PB=PC=BC ，所以三棱锥O PBC -为正三棱锥，

∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ?的重心

解法二：以点O 为原点，直线OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设22AB =，则得122(2,0,

)A k

、(1,1,0)E 、22

(0,0,)P k 、(0,2,0)B 、(2,0,0)C - (Ⅰ)由上得122

(1,1,)A E k

=-- 、(2,2,0)BC =-- 、 22(0,2,)PB k =- ，设1A E x BC y PB =?+? 得

2222

(1,1,)(2,2,0)(0,2,)x y k k

--

=?--+?- 解得1

12x y ==，， ∴112A E BC PB =+

BC PB B ?= ，1A E PBC ?平面 ∴1A E ∥平面PBC

（Ⅱ）当2k =时，由(0,0,2)P 、(2,0,0)A 得(2,0,2)PA =- 、(2,2,0)BC =-- 、(0,2,2)PB =-

_

z

x

y

D

A 1

D 1

C 1

B 1

E

B

A

C

P

O

14

设平面PBC 的法向量为(1,,)n αβ= ，则由0

0n BC n PB ??=???=??

，得100ααβ+=??-=?，(1,1,1)n =-- 6

cos 3PA n PA n PA n ???==||?||

，，∴直线PA 与平面PBC 所成角的大小为6arcsin 3.

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PBC ?的重心G 为2222,,333k ??- ? ???

，则2222

(,,)333OG k =- ， 若O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?的重心，则有00

OG BC OG PB ??=?

??=??

，解得2k = ∴当2k =时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?的重心.

【跟踪模拟训练】

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB 、AD 、AA1两两之间夹角均为600，则1AC ?1BD =

2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，有下列四个结论：

（1）BD AC ⊥； （2）ACD ?是等边三角形；（3）AB 与平面BCD 成60° ；（4）AB 与CD 所成的角为60°．其中正确结论的序号为_________（填上所有正确结论的序号）．

3点P 在直径为6的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（ ） A ．6

B ．

43

5

C ．

221

5

D ．

2105

5

4若二面角l αβ--为

56

π

，直线m α⊥，直线n β?，则直线m 与n 所成的角取值范围是 A ．(0,)2

π

B ．[

,]62

ππ

C ．[

,]32

ππ

D ．[

,]63

ππ

三、解答题（共46分）

5. 如图,侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -的 底面ABC 位于平行四边形ACDE 中,2AE =, 14AC AA ==,60E ∠=?,点B 为DE 中点. （Ⅰ）求证:平面1A BC ⊥平面11A ABB .

15

A E D C B

A 1

B 1

C 1

x

y z

A

E

D

C

B

A 1

B 1

C 1

F （Ⅱ）设二面角1A BC A --的大小为α,直线

AC 与平面1A BC 所成的角为β,求sin()αβ+的值.

解:（Ⅰ）方法一、在平行四边形ACDE 中, ∵2AE =,4AC =,60E ∠=?,点B 为DE 中点. ∴60ABE ∠=?,30CBD ∠=?,从而90ABC ∠=?,即AB BC ⊥ 又1AA ⊥面ABC ,BC ?面ABC

∴1AA BC ⊥,而1AA AB A = , ∴BC ⊥平面11A ABB ∵BC ?平面1A BC ∴平面1A BC ⊥平面11A ABB 方法二、∵2AE =,4AC =,60E ∠=?,点B 为DE 中点. ∴2AB =,23BC =,2

2

2

16AB BC AC +==，∴AB BC ⊥

又1AA ⊥面ABC ,BC ?面ABC ，∴1AA BC ⊥,而1AA AB A = ,∴BC ⊥平面11A ABB ∵BC ?平面1A BC ∴平面1A BC ⊥平面11A ABB （Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知1A B BC ⊥,AB BC ⊥ ∴1A BA ∠为二面角1A BC A --的平面角,即1A BA ∠=α, 在1Rt A AB ?中,112,4,25AB AA AB ===,

11125sin sin 5AA A BA A B α=∠=

=,15cos 5

AB A B α==

以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz -如图所示, 其中1(0,0,4)A ,(3,1,0)B ,(0,4,0)C ,(0,4,0)AC = , 1(3,1,4)A B =- ,(3,3,0)BC =-

,

设(,,)n x y z = 为平面1

A BC 的一个法向量,则100n A

B n B

C ??=???=??

,∴340330

x y z x y ?+-=??-+=??即3x y z y ?=??=?? 令1y =,得平面1A BC 的一个法向量(3,1

,1)n =

, 则||45sin 5||||45

AC n AC n β?===

? , 又02π

β<<

, ∴2

25

cos 1sin

5

ββ=-=

,

∴252555

sin()sin cos cos sin 15555

αβαβαβ+=+=?+?=, 即sin()1αβ+=

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及答案

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）

A．B．C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A．18+36B．54+18C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB． C．6πD． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（） A．B．C．D． 12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（） A．18个B．16个C．14个D．12个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2016年高考数学全国二卷(理科)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， （2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123， ，， （D ）{10123}-， ，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ， =，且()a b b +⊥r r r ，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ 26k x k =+∈Z （C ）()ππ 212 Z k x k = -∈ （D ）()ππ212Z k x k = +∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =， 2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin 2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…， (),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为

2018届高考数学(理)热点题型：立体几何(含答案解析)

4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝ π 4 ， ππ ∴∠OCB＝，∴∠BOC＝. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC， OC?平面ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD， ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

? →·n ? 则 sin θ＝? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD ＝? ?＝ 02＋（－1）2＋（－1）2× 12＋12＋32 ? 11 1×0＋1×（－1）＋3×（－1） 设 OA ＝1，则 PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则 C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴→＝(0，－1，－1)，→＝(2，－2，0)，→＝(0，－3，1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z)， ??n·→＝0， ?2x －2y ＝0， ∴? ∴? ??n·→＝0， ?－3y ＋z ＝0， 令 y ＝1，则 x ＝1，z ＝3，∴n＝(1，1，3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ， ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示，在多面体 A B D DCBA 中，四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形，E 为 B D 的中点，过 A ，D ，E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明：EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC，且 A B ＝AB ＝DC ，所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

2016年高考数学全国二卷理科完美

2016年高考数学全国二卷(理科)完美版

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2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， （2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123， ，， （D ）{10123}-， ，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ， =，且()a b b +⊥r r r ，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<< ，{}1,0,1,2,3=-，则A B =I （ ） （A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C 【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1A B =-I ，故选C ． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． （2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤?? +≤??≥?，，，则2x y +的最大值为（ ） （A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C 【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值 为2124?+=，故选C ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法． （3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环1 2 a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =， 条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进 行解答． （4）【2016年北京，理4，5分】设a r ，b r 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r 表示的是该菱 形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等， 所以=a b r r 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ． 【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =r r ”与“a b a b +=-r r r r ”表示的几何意义，是解答 的关键． （5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（ ） （A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022x y ???? -< ? ????? （D ）ln ln 0x y +> 【答案】C 【解析】A ．考查的是反比例函数1 y x =在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的 是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是 指数函数12x y ??= ???在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ????< ? ?????即11022x y ???? -< ? ????? 所以C 对；D 考查的是

年高考数学试题知识分类大全立体几何

年高考数学试题知识分类大全立体几何 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

2007年高考数学试题汇编 立体几何 一、选择题 1．（全国Ⅰ?理7题）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中， AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ D ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．5 4 2．（全国Ⅱ?理7题）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ A ） A ． 6 B ． 10 C ． 2 2 D ． 3 3．（北京理3题）平面α∥平面β的一个充分条件是（ D ） A ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ?，，∥ C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ D ．存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥ 4．（安徽理2题）设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l α⊥”是l m ⊥且“l n ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也 不必要条件 5．（安徽理8题）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ） A ．)33arccos(- B ．)36arccos(- C ．)31arccos(- D ．)4 1arccos(- 6．（福建理8题）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ） A ．,,//,////m n m n ααββαβ??? B ． //,,//m n m n αβαβ??? C ．,//m m n n αα⊥⊥? D ． //,m n n m αα⊥?⊥

全国高考理科数学：立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

（ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

2016年全国高考文科数学(全国1卷word最强解析版)

2016年全国高考文科数学(全国1卷word 最强解析版) 1 / 17 2016年全国文科数学试题(全国卷1） 第I 卷（选择题） 1．设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B 【解析】 试题分析：集合A 与集合B 公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，选B. 考点：集合运算 2．设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】 试题分析：设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得 3-=a ，选A. 考点：复数的概念 3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ） 13 （B ）12 （C ）13 （D ）56 【答案】A 【解析】 试题分析：将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为3 1，选A. 考点：古典概型 4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3 A = ，则b= （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】 试题分析：由余弦定理得3222452 ???-+=b b ，解得3=b （3 1 -=b 舍去），选D. 考点：余弦定理 5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为

2016年高考全国1卷理科数学试题及答案详解

启封前★绝密 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（试题及答案详解） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则 i =x y + （A ）1（B ）2（C ）3（D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31（B ）21（C ）32（D ）43 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 （A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

2016年全国二卷理科数学高考真题与答案解析

2016年全国高考理科数学试题全国卷2 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．8 4、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( ) A ．–43 B ．–3 4 C ． 3 D ．2 5、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路 径条数 为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π 个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )

A ．x=k π2–π6(k ∈Z) B ．x=k π2+π6(k ∈Z) C ．x=k π2–π12(k ∈Z) D ．x=k π2+π 12(k ∈Z) 8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( ) A ．7 B ．12 C ．17 D ．34 9、若cos(π 4–α)=35 ，则sin2α= ( ) A ．7 25 B ．15 C ．–15 D ．–7 25 10、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n 11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=1 3,则E 的离心率为( ) A ． 2 B ．3 2 C ． 3 D ．2 12、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1 x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )， 则 1 ()m i i i x y =+=∑( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=5 13，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。 (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n 。 (3)如果α∥β，m ?α，那么m ∥β。 (4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。

2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角

2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值.

2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面 平面，点为的中点． （1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小.

4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ； （2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.

6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.

2016年高考数学全国二卷(理科)完美版

1 1 1 1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. （1）已知 z = (m + 3) + (m - 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 （A ） (-3 ， ) （B ） (-1，3) （C ） (1, +∞ ) （D ） ( ∞ ，- 3) （2）已知集合 A = {1, 2 , 3} ， B = {x | ( x + 1)(x - 2) < 0 ，x ∈ Z } ，则 A U B = （A ） { } （B ） {1，2} （C ） {0 ， ，2 ，3} （D ） {-1，0 ， ，2 ，3} r r r r r （ 3）已知向量 a = (1,m ) ，b =(3, -2) ，且 (a + b ) ⊥ b ，则 m= （A ） -8 （B ） -6 （C ）6 （D ）8 （4）圆 x 2 + y 2 - 2 x - 8 y + 13 = 0 的圆心到直线 ax + y - 1 = 0 的距离为 1，则 a= 4 3 （A ） - （B ） - （C ） 3 （D ）2 3 4 （5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

2016年全国高考理科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）4 3 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是

（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是3 28π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为 （A ）（B ） （C ） （D ） （8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < （9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足 （A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x = (10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=2，

立体几何-2019年高考理科数学解读考纲

05 立体几何 （三）立体几何初步 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ? 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．90πB．63π C．42πD．36π 【答案】B 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规

则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 考向二 球的组合体 样题4 （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示： 由题意可得：， 结合勾股定理，底面半径， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B. 【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12 O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则 1 2 V V 的值是 .

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()

A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0