微积分基本定理典型例题解析
一、填空题
⒈设G x t t a
x ()sin =
?
d 2,则'=G x () .
解:222sin 2)()sin()(x x x x x G ='?='. ⒉
1624
4-=?
x x d - .
解:由定积分的几何意义,此积分计算的是圆2224=+y x 的上半部,故结果为π8. 3.
(x x x a
a
5
-+=?212
)d - . 解:由定积分的性质和奇偶函数在对称区间的性质得
x x x x x x x x a a a a a a a
a d 21d 2d d )212(---5
-5
????+-=+-
a x x a
a ==+-=??0
0d d 21200
二、单项选择题
⒈
d d d x t t x
b (ln )2
?=( ). A.2ln x ; B.ln 2t ; C.ln 2x D.-ln 2
x 解:
x t t x
t t x x b b x 222ln )d ln (d d
)d ln (d d -=-=??,故选项D 正确.
⒉由曲线y f x y g x ==(),()及直线x a x b a b ==<,()所围成的平面图形面积的
计算公式是( ). A.
(()())f x g x x a b -?d ; B.(()())g x f x x a
b -?
d ;
C.
g x f x x a
b ()()-?
d ; D.
(()())f x g x x a
b -?
d
解:A, B 选项的积分可能出现负值,而D 选项虽非负,但面积可能被抵消,故选项C 正确.
3.下列广义积分中,( )收敛.
A.
1
d x x 21+∞
?; B.1d x x 201?; C.1d x x 1+∞?; D.1d x x 01? 解:对于?∞+1d 1x x p
,当p >1时积分收敛;对于?10d 1
x x p ,当p <1时积分收敛。故选项A 正确.
三、计算题 ⒈计算下列积分: ⑴
d x x 4201
-? ⑵ln x x d e 1? ⑶d x x x 221()+∞?1+ 解:⑴将被积函数作变换
???++-?=+-=-10101
02)d 2121(41)2)(2(d 4d x x x x x x x x 3ln 4
1
22ln
411
=
-+=x
x
⑵由分部积分法得
1d e )d(ln ln d ln e
1
e
1
e
1e
1
???
=-=-=x x x x x x x
⑶将被积函数作变换
+∞
∞+∞
+--=+-=+??1
12
2122)arctan 1()d 111()1(d x x x x x x x x 4
1π
-=.
⒉设?
+-=
x
t t t x F 0
2d )429()(,求)2(,)1(,)0(,)(F F F x F '.
解:利用变上限定积分的结果得 429)(2+-='x x x F 计算得
x x x t t t t t t x F x
x
43)43(d )429()(230
230
2+-=+-=+-=?
由此得
28)2(,6)1(,0)0(===F F F ⒊求由曲线21
21,2
+=
=x y x y 和OX
解:所求平面图型如图所示,设此面积为S ,有
??-++-+=-102
01d )2
121(d )02121(x x x x x S
3
2)324()24(
1
03
20
12
=-+++=-x x x x x 也可计算为 32)32(d )]12([1
2
2
3
1
=+-=--=?y y y y y y S
1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
选修2-2 1.6 微积分基本定理 一、选择题 1.下列积分正确的是( ) A. 1227 1 3 =? x dx B.e e dx x e x -=? 2 1 21 C.() 316122ln 0=+?dx e e x x 222 =?-ππxdx D. [答案] A [解析] 122 3 27232 3 32 271 3 227 1 3 127 1 3 =-?===? ? - x dx x x dx 2. =??? ? ?+?-dx x x 2 2421 A. 21 4 B.54 C.33 8 D.21 8 [答案] A [解析] ??2-2? ????x 2+1x 4d x =??2-2x 2 d x +??2-21x 4d x =13x 3| 2-2+? ????-13x -3| 2 -2 =13 (x 3-x -3)| 2 -2 =13? ????8-18-13? ? ???-8+18=214. 故应选A. 3. ? -1 1 |x |d x 等于( ) A.??1-1x d x B.??1-1d x C.? ?0-1(-x )d x +??0 1x d x D.? ?0-1x d x +??0 1(-x )d x [答案] C [解析] ∵|x |=??? ?? x (x ≥0) -x (x <0) ∴??1-1|x |d x =? ?0-1|x |d x +??0 1|x |d x =? ?0-1(-x )d x +??0 1x d x ,故应选C. 4.设f (x )=? ?? ?? x 2 (0≤x <1) 2-x (1≤x ≤2),则??0 2f (x )d x 等于( ) A.3 4 B.4 5 C.56 D .不存在 [答案] C
微积分基本定理 编稿:赵雷 审稿:李霞 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 1.6 微积分基本定理 周;使用时间17年 月 日 ;使用班级 ;姓名 一、选择题 1.若F ′(x )=x 2,则F (x )的解析式不正确的是( ) A .F (x )=13x 3 B .F (x )=x 3 C .F (x )=13x 3+1 D .F (x )=13x 3+c (c 为常数) 2.?0-4|x +2|d x 等于( ) A .?0-4(x +2)d x B .?0-4(-x -2)d x C .?- 2-4(x +2)d x +?0-2(-x -2)d x D .?- 2-4(-x -2)d x +?0-2(x +2)d x 3.若S 1=?21x 2d x ,S 2=?211x d x ,S 3=?21e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) A .S 1 专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-7.微积分基本定理练习题
人教新课标版数学高二-2-2限时练 1.6 微积分基本定理
专题13定积分与微积分基本定理知识点