专题2.3 极值点处单调变,导数调控讨论参 高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版) (01)

【题型综述】 函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数f x 极值的方法：

①确定函数f x 的定义域．

②求导函数f

x ． ③求方程0f

x 的根． ④检查f x 在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f x 在这个根处

取得极大值；如果左负右正，那么f x 在这个根处取得极小值；如果f

x 在这个根的左、右两侧符号不变，则f x 在这个根处没有极值．

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f

x ，求方程0f x 的根的情

况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 【典例指引】

例1．已知函数2ln f x x a x ，R a ．

（1）求函数f x 的极值；

【思路引导】

试题分析：（1）求得1a x a f

x x x ，可分0a 和0a 两种情况分类讨论，得出函数的单调性，

即可求得函数的极值；

当0,x a ， 0f x ， f x 在0,a 上单调递减；

当,x a ， 0f x ， f x 在,a 上单调递增．

故f x 在x a 处取得极小值，且极小值为2ln f a a a a ，无极小值． 综上，当0a

时，函数f x 无极值；学* 当0a 时， f x 有极小值为2ln a a a ，无极大值．

点评：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节． 例2．已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数

的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【思路引导】

（1）欲求曲线在点处的切线方程，只需求出斜率和和的值，即可利用直线的点斜式方程求解切线的方程；

（2）求出，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可，可分两种情况，求出函数的单调区间，得出函数的极值．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，本题的解答中涉及利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性和极值，求解函数的单调区间，涉及到分类讨论的数学思想的应用，熟记利用导数研究函数的性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

例3．已知，其中．

（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；

（2）求的极值；

（3）若函数有两个极值点，，证明．

【思路引导】

（Ⅰ）当a=0时，求得f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求得f（x）的导数，可得有两个不同的实根，讨论当a≤0时，当a>0时，判断单调性可得极大值大于0，解不等式即可得到所求范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，，

，构造函数对不等式进行证明．

②当时或，．在，上单调递增，

在上单调递减，在时取到极大值，

且，在时取到极小值，且；

③当时恒成立，在上单调递增，没有极大值也没有极小值；

④当时或，，在，上单调递增，

在上单调递减，在时取到极小值，且．在时取到极大值，且．综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值；

当时，在时取到极大值，在时取到极小值；

当时，没有极大值也没有极小值；当时，在时取到极小值．

在时取到极大值．学*

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，，

且．

所以，

设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，

由且可得，所以，

即．学*

点评：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．

例4．已知函数，．

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由．

【思路引导】

（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导数，转化研究函数，利用导数易得先减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况．

（iv）当，即时，，函数在区间上无极值点．学*

【新题展示】

1．【2019湖北仙桃、天门、潜江期末】已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，求证：时，；

（Ⅱ）当时，计论函数的极值点个数.

【思路引导】

（Ⅰ）求出，令，求出，从而判断的单调性，由即可判断的正负情况，从而求得在递减，递增；当时，成立，命题得证。

（Ⅱ）对的范围分类讨论，由的单调性求得，把看作变量，求得的单调性，从而得