2020-2021学年重庆八中八年级(上)入学数学试卷
2020-2021学年重庆八中八年级（上）入学数学试卷
一、选择题（每小题4分共40分）
1．（4分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（4分）若式子1
x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >
B ．1x >-
C ．1x
D ．1x -
3．（4分）下列各式中，运算正确的是( ) A ．2(2)2-=-
B ．2810+=
C ．284?=
D ．222-=
4．（4分）在实数3.14，327，1.6，3π，2，11
7，2
，中无理数有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．（4分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( )
A ．乙前4秒行驶的路程为48米
B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C ．两车到第3秒时行驶的路程相同
D ．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
6．（4分）某地教育系统为了解本地区30000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生的体重进行统计．以下说法正确的是( ) A ．30000名初中生是总体 B ．500名初中生是总体的一个样本
C ．500名初中生是样本容量
D ．每名初中生的体重是个体
7．（4分）下列四个图形中，线段BE 是ABC ?的高的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（4分）如图，AD 是ABC ?的中线，5AB =，3AC =，ABD ?的周长和ACD ?的周长差为( )
A ．6
B ．3
C ．2
D ．不确定
9．（4分）如图，已知12∠=∠，则不一定能使ABD ACD ???的条件是( )
A ．BD CD =
B ．AB A
C =
C ．B C ∠=∠
D ．BDA CDA ∠=∠
10．（4分）下列语句及写成式子不正确的是 ．
A ．9是81819=±；
B ．2a 的平方根是a ±；
C ．1的立方根是1±；
D ．与数轴上的点一一对应的是实数．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m ，将0.00000004用科学记数法表示为 ．
12．（4分）已知23x =，25y =，则212x y +-= ．
13．（4分）如果249x mx ++是完全平方式，则m 的值是 ．
14．（4分）如图所示是一条线段，AB 的长为10厘米，MN 的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN 上的概率为 ．
15．（4分）如图，在ABC ?中，DE 是AC 的垂直平分线且分别交BC ，AC 于点D 和E ，60B ∠=?，25C ∠=?，则BAD ∠的度数为 ．
三、解答题（共40分） 16．（16分）计算 （1）201420158(0.125)?-； （2）1
18122
+-； （3）
0(2020)32
π-++；
（4）2323(4)(6)x y xy ÷-．
17．（8分）先化简，再求值：22[(2)()()5]x y x y x y y y +-+--÷；其中21
||(2)02
x y -++=．
18．（8分）如图，已知AD 是ABC ?的高，E 为AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，且有BF AC =，FD CD =，求证：BE AC ⊥．
19．（8分）2018年3月16日，重庆大学图书馆与重庆市第一中学校签署了战略合作协议，重庆大学图书馆对我校师生免费开放．5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A 、B 、C 、D 、E 五类，其中A 类表示“0次” B 类表示“1次”、 C 类表示“2次”、 D 类表示“3次”， E 类表示“4次及以上“．并制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：a = ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D 类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率． 一、填空题（共5小题，每小题4分）
20．（4分）若6的小数部分为a ，则(4)a a += ．
21．（4分）计算：248(21)(21)(21)(21)++++= （结果可用幂的形式表示）．
22．（4分）在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，ABP ?的面积为y ，则矩形ABCD 的面积是 ．
23．（4分）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为 ．
24．（4分）如图，等腰ABC ?中，AB AC =，P 为其底角平分线的交点，将BCP ?沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA DP =，则A ∠的度数为 ．
二、解答题（共3小题，每小题10分）
25．（10分）暑假期间，甲、乙两队举行了一场跑步比赛，两队在比赛时的路程S （米)与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示（如图中横轴上的数字对应为0、1、2.2、3.8、4)．请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次比赛的全程是 米， 队先到达终点； （2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
26．（10分）如果三个正整数a ，b ，c 满足：222a b c +=，那么我们称这一组数为勾股数． 例如：222345+=，则3、4、5是一组勾股数，222456+≠，则4、5、6不是一组勾股数． （1）利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式21a n =+，222b n n =+，2221(c n n n =++为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式
的a 、b 、c 的数是一组勾股数．
（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，是收集在我国古代的著名数学著作《九章算
术》中，书中提到：当221()2a m n =-，b mn =，221
()(2
c m n m =+，n 为正整数，)m n >时，
a ，
b ，
c ，构成一组勾股数：利用上述结论，解决如下问题：已知某三角形的三边长满足
上述勾股数，其中一边长为37，且5n =，求该直角三角形另两边的长．
27．（10分）在ABM ?中，45ABM ∠=?，AM BM ⊥，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．
（1）如图1，若3AM =，2MC =，32AB =，求ABC ?中AB 边上的高．
（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD MC =，点E 是ABC ?外一点，EC AC =，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：BDF CEF ∠=∠．
2020-2021学年重庆八中八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分共40分）
1．（4分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A 、是轴对称图形，故错误；
B 、是轴对称图形，故错误；
C 、是轴对称图形，故错误；
D 、不是轴对称图形，故正确．
故选：D ．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．（41
x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >
B ．1x >-
C ．1x
D ．1x -
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】1
x -在实数范围内有意义，
则10x ->， 解得：1x >． 故选：A ．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 3．（4分）下列各式中，运算正确的是( ) A 2(2)2-=-
B 2810
C 284=
D ．222-
【分析】根据2||a a =，(0,0)a b ab a b ?=，被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
【解答】解：A 、2(2)2-=，故原题计算错误；
B 、2822232+=+=，故原题计算错误；
C 、28164?==，故原题计算正确；
D 、2和2-不能合并，故原题计算错误；
故选：C ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则．
4．（4分）在实数3.14，327，1.6，3π，2，11
7，2
，中无理数有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数． 【解答】解：3.14是有限小数，属于有理数；
3
273=，是整数，属于有理数；
1.6是循环小数，属于有理数； 11
7
是分数，属于有理数； 无理数有：3π
，2，2
共3个．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001?，等有这样规律的数．
5．（4分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( )
A ．乙前4秒行驶的路程为48米
B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C ．两车到第3秒时行驶的路程相同
D ．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
【分析】前4s 内，乙的速度-时间图象是一条平行于x 轴的直线，即速度不变，速度?时间
=路程．
甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加；
求出两图象的交点坐标，3秒时两速度大小相等，3s 前甲的图象在乙的下方，所以3秒前路程不相等；
图象在上方的，说明速度大．
【解答】解：A 、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12448?=米，故A 正确；
B 、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加
到32米/秒，则每秒增加
32
48
=米秒/，故B 正确； C 、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得4(v t v =、t 分别表示速度、时间），将12/v m s =代入4v t =得3t s =，则3t s =前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C 错误；
D 、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D 正
确；
由于该题选择错误的， 故选：C ．
【点评】此题考查了函数的图象，通过此类题目的练习，可以培养学生分析问题和运用所学知识解决实际问题的能力，能使学生体会到函数知识的实用性．
6．（4分）某地教育系统为了解本地区30000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生的体重进行统计．以下说法正确的是( ) A ．30000名初中生是总体 B ．500名初中生是总体的一个样本
C ．500名初中生是样本容量
D ．每名初中生的体重是个体
【分析】根据①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体； ②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量分别进行分析即可．
【解答】解：A、30000名初中生是总体，说法错误，应为30000名初中生的体重是总体，故此选项错误；
B、500名初中生是总体的一个样本，说法错误，应为500名初中生的体重是总体的一个样
本，故此选项错误；
C、500名初中生是样本容量，说法错误，应为500是样本容量，故此选项错误；
D、每名初中生的体重是个体，说法正确，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是要注意考察对象要说明，样本容量只是个数字，没有单位．
7．（4分）下列四个图形中，线段BE是ABC
?的高的是()
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是ABC
?
的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是ABC
?的高的图是选项C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
8．（4分）如图，AD 是ABC ?的中线，5AB =，3AC =，ABD ?的周长和ACD ?的周长差为( )
A ．6
B ．3
C ．2
D ．不确定
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到ABD ?的周长和ADC ?的周长的差就是AB 与
AC 的差．
【解答】解：AD 是ABC ?中BC 边上的中线，
1
2
BD DC BC ∴==
， ABD ∴?和ADC ?的周长的差，
11
()()22
AB BC AD AC BC AD =++-++，
AB AC =-， 53=-，
2=，
故选：C ．
【点评】本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
9．（4分）如图，已知12∠=∠，则不一定能使ABD ACD ???的条件是( )
A ．BD CD =
B ．AB A
C =
C ．B C ∠=∠
D ．BDA CDA ∠=∠
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 分别进行分析即可． 【解答】解：A 、添加BD CD =不能判定ABD ACD ???，故此选项符合题意；
B 、添加AB A
C =可利用SAS 定理判定AB
D ACD ???，故此选项不合题意；
C 、添加B C ∠=∠可利用AAS 定理判定AB
D ACD ???，故此选项不合题意；
D 、添加BDA CDA ∠=∠可利用ASA 定理判定ABD ACD ???，故此选项不合题意；
故选：A ．
【点评】本题考查三角形全等的判定；熟记三角形全等的判定方法是关键． 10．（4分）下列语句及写成式子不正确的是 ABC ．
A ．9是819=±；
B ．2a 的平方根是；
C ．1的立方根是1±；
D ．与数轴上的点一一对应的是实数．
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根以及数轴的特点，分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A 、9是81的算术19=；
B 、2a 的平方根是a ±；
C 、1的立方根是1；
D 、与数轴上的点一一对应的数是实数；
写成式子不正确的是ABC ； 故答案为：ABC ．
【点评】此题考查了平方根、算术平方根、立方根以及实数与数轴，熟练掌握有关定义与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m ，将0.00000004用科学记数法表示为 8410-? ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -?，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：80.00000004410-=?． 故答案为：8410-?．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -?，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12．（4分）已知23x =，25y =，则212x y +-=
45
2
． 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得
答案．
【解答】解：2122222x y x y +-=?÷
2(2)22x y =?÷ 952=?÷
452
=
， 故答案为：
452
． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 13．（4分）如果249x mx ++是完全平方式，则m 的值是 12± ． 【分析】利用完全平方公式化简即可求出m 的值． 【解答】解：249x mx ++是完全平方式， 12m ∴=±，
故答案为：12±
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．（4分）如图所示是一条线段，AB 的长为10厘米，MN 的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN 上的概率为
1
5
．
【分析】先确定线段MN 的长在线段AB 的长度中所占的比例，根据此比例即可解答． 【解答】解：AB 间距离为10，MN 的长为2，故以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN 上的概率为
21
105
=． 【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）如图，在ABC ?中，DE 是AC 的垂直平分线且分别交BC ，AC 于点D 和E ，60B ∠=?，25C ∠=?，则BAD ∠的度数为 70? ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD CD =，求出DAC ∠的度数，根据三角形内角和定理求出BAC ∠，即可得出答案．
【解答】解：DE 是AC 的垂直平分线且分别交BC ，AC 于点D 和E ，
AD CD ∴=， C DAC ∴∠=∠， 25C ∠=?， 25DAC ∴∠=?，
在ABC ?中，60B ∠=?，25C ∠=?， 18095BAC B C ∴∠=?-∠-∠=?，
952570BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=?-?=?，
故答案为：70?．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD CD =是解此题的关键． 三、解答题（共40分） 16．（16分）计算 （1）201420158(0.125)?-；
（2； （30(2020)
π-+；
（4）2323(4)(6)x y xy ÷-．
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案； （2）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（3）直接分母有理化，再利用零指数幂的性质化简得出答案；
（4）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）201420158(0.125)?-
2014(80.125)0.125=-?? 0.125=-；
（2
2
=-
=
- （30(2020)
π-+
1=
1=；
（4）2323(4)(6)x y xy ÷-
26316(6)x y xy =÷- 2648(6)x y xy =÷- 58xy =-．
【点评】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的加减、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（8分）先化简，再求值：22[(2)()()5]x y x y x y y y +-+--÷；其中21
||(2)02
x y -++=．
【分析】直接利用乘法公式化简再合并同类项，再结合整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式22222(445)x xy y x y y y =++-+-÷ 4xy y =÷ 4x =，
21
||(2)02x y -++=，
1
2x ∴=
，2y =-， 当1
2
x =
时， 原式1
422
=?=．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）如图，已知AD 是ABC ?的高，E 为AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，且有BF AC =，FD CD =，求证：BE AC ⊥．
【分析】由题中条件可得Rt BDF Rt ADC ???，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论； 【解答】证明：
AD BC ⊥，
在Rt BDF ?和Rt ADC ?中 BF AC
FD CD =??
=?
， Rt BDF Rt ADC(HL)∴??? C BFD ∴∠=∠， 90DBF BFD ∠+∠=?， 90C DBF ∴∠+∠=?， 180C DBF BEC ∠+∠+∠=?
90BEC ∴∠=?，
即BE AC ⊥；
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．根据条件恰当的选择判定三角形全等的方法是正确解决本题的关键．
19．（8分）2018年3月16日，重庆大学图书馆与重庆市第一中学校签署了战略合作协议，重庆大学图书馆对我校师生免费开放．5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A 、B 、C 、D 、E 五类，其中A 类表示“0次” B 类表示“1次”、 C 类表示“2次”、 D 类表示“3次”， E 类表示“4次及以上“．并制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a=20；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【分析】（1）先利用B类人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，然后计算出D类人数所占的百分比即可得到a的值；
（2）先计算出C类人数，再补全条形统计图，然后用D类人数所占百分比乘以360?得到扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）利用E类人数除以总人数得到恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数为1224%50
÷=（人)，
所以
10
%20%
50
a==，即20
a=；
故答案为20；
（2）C类人数为5081210416
----=（人)，
条形统计图为：
扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为36020%72
??=?；
（3）恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率442
5084221
=
==-． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．
一、填空题（共5小题，每小题4分）
20．（4的小数部分为a ，则(4)a a += 2 ．
【分析】先根据23<2，从而知其小数部分2a =，代入计算可得．
【解答】解：
，即23<，
∴的整数部分为2，
∴2，即2a =，
则(4)a a +
2)=
222=-
64=-
2=，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
21．（4分）计算：248(21)(21)(21)(21)++++= 1621- （结果可用幂的形式表示）． 【分析】先添加因式(21)-，然后连续多次运用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：248(21)(21)(21)(21)++++，
248(21)(21)(21)(21)(21)=-++++， 2248(21)(21)(21)(21)=-+++， 448(21)(21)(21)=-++， 88(21)(21)=-+，
1621=-．
【点评】本题主要考查平方差公式22()()a b a b a b +-=-的利用，添加因式(21)-，构造出平方差公式的结构是利用公式的关键，也是解本题的难点．
22．（4分）在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，ABP ?的面积为y ，则矩形ABCD 的面积是 20 ．
【分析】点P 从点B 运动到点C 的过程中，y 与x 的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC 的长为4，当点P 在CD 上运动时，三角形ABP 的面积保持不变，就是矩形ABCD 面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD 的长为5，然后求出矩形的面积． 【解答】解：当点P 在BC 上时，1
2
ABP y S AB BP ?==
， AB 是定值，
∴点P 从点B 到C 的过程中，y 逐渐增加，增加到点P 到点C 时，增加到最大，
从图（2）知，4x =时增加到最大，
4BC ∴=，
当点P 在CD 上时，1
2
ABP y S AB BC ?==
， BC ，AB 是定值，所以y 始终保持不变， 从（2）知，x 从4到9时，y 保持不变，
945CD ∴=-=，
所以矩形ABCD 的面积为：4520?=． 故答案为：20
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP 的面积和函数图象，求出BC 和CD 的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积．
23．（4分）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为
24
5
．
【分析】在AB 上取点F '，使AF AF '=，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ．因为EF CE EF EC +='+，推出当C 、E 、F '共线，且点F '与H 重合时，FE EC +的值最小． 【解答】解：如图所示：在AB 上取点F '，使AF AF '=，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ．
AD 平分CAB ∠，
∴根据对称知，EF EF ='，
11
22
ABC S AB CH AC BC ?=
=， ∴24
5
AC BC CH AB =
=
， EF CE EF EC +='+，
∴当C 、E 、F '共线，且点F '与H 重合时，FE EC +的值最小，最小值为
24
5
， 故答案为
245
． 【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．
24．（4分）如图，等腰ABC ?中，AB AC =，P 为其底角平分线的交点，将BCP ?沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA DP =，则A ∠的度数为 36? ．