利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题

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利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题作者：李永平

来源：《试题与研究·教学论坛》2014年第08期

摘要：几何体表面最短距离问题，通常是将几何体表面展开，根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求展开图中两点之间的最短距离。解决该类问题通常是分类解答做比较后得出最终结果。由于有些图形情况复杂，许多学生分类讨论不完整，常常导致最后结果出错；另一方面，分类解答比较浪费时间，所以导致学生非常害怕做该类题。本文将对该类题进行归纳讨论，分析这类题的实质，简化问题得出结论。

关键词：勾股定理；几何体；最短距离

问题：如图，是一块长、宽、高分别是a，b，c（a>c>b）的长方体木块，一只蚂蚁要从

长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点G处吃食物，寻找蚂蚁需要爬行的最短路径。

讨论：该题目中从点A至点G的可能的最短路径一定经过两个面；因为“前面”、“左面”、“下面”相交于点A，所以开始经过的面一定是“前面”或“左面”或“下面”；要经过的第二个面由点G决定，由于“右面”、“上面”、“后面”相交于点G，易得以下几种情形：

①“前面”→“右面”

将折平面ABFE、BCGF展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得

AG2=（AB+BC）2+CG2=（a+b）2+c2=a2+c2+2ab

②“前面”→“上面”

将折平面ABFE、EFGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得

AG2=（BF+FG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+c2+2bc

③“左面”→“上面”

将折平面AEHD、EFGH展开摊平，得矩形AFGD，如图，由勾股定理得

AG2=（AE+EF）2+GF2=（c+a）2+b2=c2+a2+2ac+b2

④“左面”→“后面”