公园垃圾箱的摆放和优化
目录
摘要 (1)
一、问题重述 (2)
二、问题分析 (2)
1、对问题一的具体分析 (2)
2、对问题二的具体分析 (2)
3、对问题三的具体分析 (2)
三、模型假设 (2)
四、符号说明 (3)
五、模型建立与求解 (3)
（一）、垃圾箱摆放评价模型 (3)
1、对公园广场周围及主要道路上的垃圾箱配置评价 (4)
2、对公园内垃圾箱整体配置评价 (5)
3、结合人流量和人均垃圾携带量对垃圾箱配置进行评价 (6)
（二）、垃圾箱配置优化模型 (7)
六、模型检验 (10)
七、模型评价与推广 (10)
（一）、模型的评价 (10)
（二）、模型的推广 (11)
八、参考文献 (11)
新乡市牧野公园垃圾箱的摆放和优化
摘要
本文建立了对公园垃圾箱配置方案的评价模型，并用以评价新乡市牧野公园现有的垃圾箱配置方案，还建立数学模型给出了新乡市牧野公园的垃圾箱的优化配置方案，以达到保护环境和充分利用垃圾箱的目的。
对于问题一，首先考虑垃圾箱的服务半径，并用此来衡量广场周围和道路两侧的垃圾箱配置方案的合理性；然后对方案进行改进，引入垃圾箱的覆盖率和垃圾箱的服务重叠率，并以此为指标来评价现在的垃圾箱配置方案，得出牧野公园现有的垃圾箱个数偏多，并且垃圾箱的分布疏密程度差异较大，造成了资源的浪费；最后，引入垃圾箱分布的合理度，对公园的垃圾箱摆放进行综合的评价，发现垃圾箱分布的合理度较低。
对于问题二，首先求解出了整个公园所需的垃圾箱个数及在广场周围所需分布的垃圾箱个数，然后根据问题一中提出的垃圾箱间距、覆盖率、重叠率和合理度等标准，具体分析人流量和人均垃圾携带量的情况，给出了垃圾箱重新分配的方案，并标示在简图上（图3）。
对于问题三，使用问题一中的模型对问题二中给出的优化方案进行评价，发现优化后的方案垃圾箱数量虽然有所减少，但是垃圾箱的覆盖率较原方案有显著的提高，且垃圾箱的覆盖重叠率很低。优化后的方案，在人流量较大的区域内垃圾箱分布较为合理，且垃圾箱的数量减少，节约了资源，但能够满足垃圾投放的需要。
关键字：服务半径人流量人均垃圾携带量覆盖率覆盖重叠率合理度
一、问题重述
随着社会的不断进步、经济的日渐发展，人们的生活节奏越来越快，生活水平也不断地提高，公园成为了城市人们缓解生活压力和放松自己、娱乐自己的好去处，公园中的生活垃圾也随之增多，妥善解决公园垃圾问题是公园建设的长远而重要任务，其中垃圾箱的数量及其摆放的位置对于方便游客和美化公园环境有着非常重要的作用，然而目前公园垃圾箱的布局在这两方面存在严重的不足，现在我们通过对公园现有配置的评估并建立数学模型讨论以下问题，最终得出一个最优化配置，以解决公园公共设施高投入低效益的不科学现象．
问题1：建立数学模型对新乡市牧野公园现有的垃圾箱配置方案做出评价。
问题2：建立数学模型求出新乡市牧野公园垃圾箱的最优配置方案。
问题3：运用问题1中所建立的数学模型来评价问题2中给出的方案。
二、问题分析
为了研究牧野公园的垃圾箱的配置，并对其配置方案做出评价，我们需要牧野公园的地图及其中垃圾箱的分布图。垃圾量的多少主要与人流量和人均垃圾携带量的多少有关，一般情况下，人流量越大的地方，垃圾量也越多。因此，我们需要采集公园中各区域的人流量及人均垃圾携带量，以便于建立模型对其垃圾箱的配置是否合理做出评价。
1、对问题一的具体分析
问题一要求建立模型对牧野公园现有垃圾箱的配置方案做出评价。一个合理的垃圾箱配置方案应首先有足够大的覆盖率，以保证在道路两侧和广场周围等主要地方尽可能的均匀分布，以方便游客们使用。在此基础上应尽量减少垃圾箱的数量和垃圾箱的重叠覆盖率，使每一个垃圾箱都得到充分的利用。还应该综合考虑垃圾箱的总容量和垃圾箱间的间距大小。垃圾箱个数过多则造成资源浪费，垃圾箱个数过少则间距过大，不方便游客的使用。
2、对问题二的具体分析
根据对问题一的分析可知，优化后的垃圾箱配置方案应满足：在广场周围和道路两侧的垃圾箱总容量以满足垃圾投放量的最大需求，垃圾箱摆放的位置应分布均匀，且距离不能够太远，以方便游客的垃圾投放。所以应该具体分析公园各个区域内的人流量和人均垃圾携带量，并在此基础上计算各区域所需的垃圾箱个数，然后按照问题一中的评价指标得到各区域内的垃圾箱的具体摆放位置。
3、对问题三的具体分析
得到公园中垃圾箱的优化配置方案后，用问题一中的建立的模型指标来评价优化后的方案，该方案不一定完全符合问题一中的评价指标，我们只能在一定的程度上做到两者兼顾，使评价更加的客观性。最后，对新旧两种方案进行比较，得出合理的评价，向公园的管理者提出合理的建议，使垃圾箱的配置更加的优化，来进一步的保护公园的环境。
三、模型假设
1、假设垃圾箱都摆放在路边；
2、任意两个临近的垃圾箱之间的距离均按直线计算；
3、不考虑节假日等因素对垃圾量的影响；
4、每一个垃圾箱都相同，且不考虑垃圾的分类；
5、垃圾的投放量均用体积描述。
四、符号说明
五、模型建立与求解
（一）、垃圾箱摆放评价模型
为了描述垃圾箱的覆盖程度，我们引入了垃圾箱的服务半径概念。垃圾箱的服务
半径为以垃圾箱为圆心，半径为r 的圆内的游客都可将垃圾丢入垃圾箱内。在该模型内，由于假设垃圾箱均摆放在路两侧且游客也只在路上行走，所以垃圾箱的服务半径即为以垃圾箱为中点，长度为2r 的线段，如图 所示，线段AB 即为垃圾箱的服务范围。
r 越大，则代表垃圾箱服务范围越大，游客需要走更长的路去丢垃圾，对游客越不方便。为了在一定程度上方便游客，经调查得到，大多数人认为垃圾箱的服务半径0r 为25米时，对游客是较为方便的，如果超出这个范围则会给游客带来一定的不便。
公园内的垃圾量与公园中的人流量和人均垃圾携带量有关，为了方便分析问题，我们假设单位时间内人数一定，记为i p ；平均每人携带垃圾量也是一定的，记为i v 。
引入上述变量后，可计算出一个清理周期T 内，公园中的垃圾产量i V ，i i i V p v T = 。 为了描述垃圾箱服务范围的覆盖程度，我们引入覆盖率α
α=
所有垃圾箱的总服务范围-服务重叠面积
公园的总面积
易知：01α≤≤，且当=1α时，覆盖率达到100%，此时覆盖效果最好。
但是由于相邻的垃圾箱服务范围可能发生重叠，致使垃圾箱的利用率不够高，为了描述它，我们继续引入重叠率β
=
S
β所有垃圾箱的重叠服务范围
公园的总面积
易知：01β≤≤，且当=0β时，所有垃圾箱的服务范围均不发生重叠，此时垃圾箱的利用率达到最大。
1、对公园广场周围及主要道路上的垃圾箱配置评价
本模型仅对垃圾箱的摆放距离和数量是否合理进行评价，不考虑人流量和人均垃圾携带量对垃圾箱摆放的影响。公园中广场、道路及垃圾箱分布图如图2（图中圆形区域内为广场范围）
图1
B
a
050100150200250300350400450500
50100150200250300350
400
图2
①经计算可得公园主要道路上临近垃圾箱间的平均间距147.4d m ≈（0250r m =），基本上符合垃圾箱摆放距离；但是垃圾箱间距的标准差119.6σ≈。故有道路两侧的垃圾箱摆放数量是合理的，但是垃圾箱摆放的疏密程度差异较大，需要作出一定的调整。 ②计算广场周围垃圾箱摆放时只考虑广场周边的垃圾箱，经计算可得垃圾箱平均间距为()2067.6250d m r m ≈=，垃圾箱间距的标准差235.6σ≈。由此可以看出广场周围的垃圾箱数量较少，且垃圾箱的间距分布严重的不平衡，需要重新摆放。 2、对公园内垃圾箱整体配置评价
总体上考虑垃圾箱的分布，以垃圾箱的服务覆盖率和服务重叠率为指标进行评价。垃圾箱的服务覆盖率α越大且服务重叠率β越小，则垃圾箱的分布越合理。由图中给出的垃圾箱坐标及垃圾箱的服务半径经计算可以得出：
垃圾箱服务覆盖率 =69.08%α 垃圾箱服务重叠率 =28.22%
β =97.3%1αβ+≈
由以上数据可以看出：当垃圾箱的服务半径0r =25m 且垃圾箱的服务范围极少发生重叠时，垃圾箱摆放的数量基本上符合要求，但是由于垃圾箱的服务范围重叠率较高，
致使垃圾箱不能够得到充分的利用，因此需要对垃圾箱的摆放位置进行重新分配。 3、结合人流量和人均垃圾携带量对垃圾箱配置进行评价
根据问题的要求需要定义一个在一定区域内与垃圾箱容量和垃圾箱间距有关的指标—— “合理度”：
max
max
(1)
i i v d v d μλ
λ=+-
i v 为非清扫期间垃圾箱内的总垃圾量，m ax v 为垃圾箱的最大总容量，i d 为垃圾
箱间的实际距离，max d 为人们可以接受的垃圾箱最大间距，λ为权重。 根据调查所得的数据经拟合后可以得到公园中的总人口量随时间的变化函数图像
为
46810121416182022
-50
50
100
150
200
250
公园中的总人口量随时间的变化函数为
5432,(522)0.1 4.779.1725.83426.56333.2(),(0t t t t t t f t ≤≤?-+-+-=?
?
其他）
公园中人均垃圾携带量随时间变化函数图像为
46810121416182022
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
公园中人均垃圾携带量随时间变化函数为
5320.00070.1986t 3.0227t 18.343339.3
(522)
()0
(t t g t ?-+-+-≤≤=?
?，，其他）
则公园中一天产生的垃圾量为
225
()()V f t g t dt
=
?
根据调查所得数据且已知清洁工每天清理两次，假设每个垃圾箱收集的垃圾大致相同，取0.4λ=时，经计算可得现在垃圾箱摆放的满意度为
0=0.5370μ
可以看出垃圾箱的摆放不是十分的合理，有待进一步的优化。
（二）、垃圾箱配置优化模型
一般情况下，垃圾箱不可能所有的空间都用来存放垃圾，ρ为垃圾箱填充系数，一般情况下，0.70.9ρ≤≤，本文中取0.8ρ
=。
经计算可以得到公园所需最少垃圾箱个数为：m in 26i i p v T n v
=≈；0.8ρ=时，
垃圾箱个数为：032n =； 所需垃圾箱个数最多为：max 36(0.7)i i p v T
n v
ρρ=
≈=。
即由以上数据可得：公园中垃圾箱总个数为：32n =时，较为合理。
综合考虑公园各个区域内的人流量、人均垃圾携带量和垃圾箱的服务范围，经计算可以得出：在广场区域周围所需垃圾箱个数为
1=10n ρ
?=
??人流量人均垃圾携带量（个）垃圾箱容量清理次数
其它区域内的垃圾箱个数：2=22(n 个）。
计算广场周围的垃圾箱摆放的合理度，当1n 的个数少于10个时，则垃圾箱不能够容纳所有的垃圾，假设垃圾箱在广场周围均匀摆放则计算后可得到以下数据
所以广场周围垃圾箱个数为10个时最为合理。
对整个公园的垃圾箱进行优化配置，广场周围区域摆放10个左右垃圾箱且要尽可能地进行均匀摆放，公园的其它区域要优先考虑在人流量较大的道路和路口交汇处摆放，尽量避免垃圾箱的服务范围发生重叠或垃圾箱的间距过大。此外，根据公园中的人流量和人均垃圾携带量可以计算出广场周围的垃圾箱每天清理2次，而其它区域的垃圾箱每天清理1次。
优化配置后垃圾箱的摆放如图3所示
050100150200250300350400450500
50100150200250300350
400
图3
垃圾箱优化后的摆放坐标为：
六、 模型检验
由优化后的垃圾箱分布图（图3）可以看出：垃圾箱大部分分布在广场周围和道路两侧，同时也是人流量较大的地方。用问题一的模型对优化后的垃圾箱分布进行检验。
① 广场周围的垃圾箱分布
广场周围垃圾箱间的平均间距为10d 45.3(250)m r m =<=，135σ≈，故有广场周围的垃圾箱摆放数量和位置还是相对合理的，虽然垃圾箱间距的标准差较大，但是这是由于受广场的布局所影响，致使垃圾箱不能均匀摆放导致垃圾箱摆放的疏密程度差异较大。
综合考虑人流量和人均垃圾携带量等因素，经计算可以得出广场周围垃圾箱摆放的合理度为：
10.8433μ=
综合考虑上述指标，可以看出：广场周围的垃圾箱优化分布后的摆放是相对合理的。
② 公园全部范围的垃圾箱分布 整个公园区内的临近的垃圾箱摆放间距为257d m =，2
15σ
≈，所以公园整
体范围内的垃圾箱摆放还是合理的，而且垃圾箱摆放的疏密程度差异不大。
根据公园中的人流量和人均垃圾携带量等因素，可计算出公园整体垃圾箱摆放的合理度为
20.7709μ=
垃圾箱的服务覆盖率为： 81.59%
α= 垃圾箱的服务重叠率为： 4.79%β=
综上所述，可以得到优化后的垃圾箱配置较原来的摆放方案（0=0.5370μ）有明显的提高，所以优化方案是合理的。
七、 模型评价与推广
（一）、模型的评价
1、问题一中的前两个模型以垃圾箱的服务半径、覆盖率和重叠率为指标对原方案进行评价，得出了垃圾箱分布不均衡的结论，虽然有一定的参考价值，但是没有具体考虑人流量和人均垃圾携带量等因素对垃圾箱分布的影响；在第三个模型中综合考虑了人流量、人均垃圾携带量和垃圾箱间距对垃圾箱分布合理度的影响，能够较好地评价垃圾箱分布是否合理。该模型虽然考虑了各区域的人流量，但是在计算垃圾产量时是按公园一天中的平均人口来计算的，对垃圾箱的清理时间没能给出合理的安排，此外该模型也
没有考虑到长椅的位置对垃圾箱分布的影响，有待进一步的优化。
2、问题二中给出的优化后的垃圾箱的配置方案，优先考虑了人流量较大和路口交汇处的垃圾箱的摆放，总体上使垃圾箱的服务范围较原方案有所提高，且使垃圾箱的服务重叠面积大大减少，还减少了垃圾箱的数目，使资源得到了充分的利用，同时还有利于对公园环境保护。同问题一中的模型一样，都没有考虑公园中长椅的位置对垃圾箱摆放的影响，致使对垃圾箱优化配置后的合理度存在一定的影响。
（二）、模型的推广
问题一中为了简化问题，模型中假设服务半径是相同的，实际上，垃圾箱的服务半径不仅可以代表方便程度，也可以在一定程度上反映人们的环保意识，若服务半径很大，则代表游客总是在看见垃圾箱之后才丢弃垃圾，而不是在短距离内看不到垃圾箱，就将垃圾随手扔掉。于是可根据不同地点不同人群，调查得到不同的服务半径，使模型更符合实际。此外，如果服务半径并不总是便捷服务半径，则可以在引入一个参数，来评价不同位置垃圾箱的方便程度。
八、参考文献
【1】姜启源，数学模型，北京，高等教育出版社，2010；
【2】王正东，数学软件与数学实验（第二版），北京，科学出版社，2010。
附录
垃圾箱分布间距的平均值和标准差的计算
p=xlsread(‘1.xls’);
x1=p(1:42,1);y1=p(1:42,2);
t=[];w=[];
for i=1:41
for j=i+1:42
s=sqrt((x7(i)-x7(j)).^2+(y7(i)-y7(j)).^2);
if s<=50
t=[t,s];
end
end
end
n=length(t);
e=sum(t)/n
for i=1:n
a=(t(i)-e).^2;
w=[w,a];
end
c=sqrt(sum(w)/n)
垃圾箱分布的重叠覆盖面积
x1=p(1:42,1);y1=p(1:42,2);r=25;
t1=[];
for i=1:41
for j=i+1:42
h1=sqrt((x7(i)-x7(j)).^2+(y7(i)-y7(j)).^2);
if h1<=50
s1=2*(acos(h1/(2*r))*r^2-h1/2*sqrt(r^2-(h1/2)^2));
t1=[t1,s1];
end
end
end
q=sum(t1)
垃圾箱覆盖面积（不重复计算重叠面积）
Q=n*pi*r^2-q
n为垃圾箱的个数，r为垃圾箱的服务半径。