离散数学的基础知识点总结
第一章命题逻辑
1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假;
2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积;
3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反;
4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假;
5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写;
6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项;
7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取;
8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式;
9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假)
10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则
①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法;
第二章谓词逻辑
1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质;
多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词;
第四章集合
1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0;
2.基:集合A中不同元素的个数,|A|;
3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A);
4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2;
5.集合的分划:(等价关系)
①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合;
②这几个子集相交为空,相并为全(A);
6.集合的分划与覆盖的比较:
分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中;
覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次;
第五章关系
1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数
2种不同的关系;
为mn,A到B上可以定义mn
2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;
3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性;
空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性;
全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性;
4.前域(domR):所有元素x组成的集合;
后域(ranR):所有元素y组成的集合;
5.自反闭包:r(R)=RU
I;
x
对称闭包:s(R)=RU1-R;
传递闭包:t(R)=RU2R U3R U……
6.等价关系:集合A上的二元关系R满足自反性,对称性和传递性,则R称为等价关系;
7.偏序关系:集合A上的关系R满足自反性,反对称性和传递性,则称R是A上的一个偏序关系;
8.covA={
9.极小元:集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一);
极大元:集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一);
最小元:比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一);
最大元:比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一);10.前提:B是A的子集
上界:A中的某个元素比B中任意元素都大,称这个元素是B的上界(若存在,可能不唯一);
下界:A中的某个元素比B中任意元素都小,称这个元素是B的下界(若存在,可能不唯一);
上确界:最小的上界(若存在就一定唯一);
下确界:最大的下界(若存在就一定唯一);
第六章函数
2种不同的关系,有m n种不同的函数;
1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn
2.在一个有n个元素的集合上,可以有22n种不同的关系,有n n种不同的函数,有n!种不同的双射;
3.若|X|=m,|Y|=n,且m<=n,则从X到Y有A m n种不同的单射;
4.单射:f:X-Y,对任意
x,2x属于X,且1x≠2x,若f(1x)≠f(2x);
1
满射:f:X-Y,对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应;
双射:f:X-Y,若f既是单射又是满射,则f是双射;
5.复合函数:fog=g(f(x));
6.设函数f:A-B,g:B-C,那么
①如果f,g都是单射,则fog也是单射;
②如果f,g都是满射,则fog也是满射;
③如果f,g都是双射,则fog也是双射;
④如果fog是双射,则f是单射,g是满射;
第七章代数系统
1.二元运算:集合A上的二元运算就是2A到A的映射;
2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数,即从从A×A到A上函数的个数,若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种;
3. 判断二元运算的性质方法:
①封闭性:运算表内只有所给元素;
②交换律:主对角线两边元素对称相等;
③幂等律:主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同;
④有幺元:元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同;
⑤有零元:元素所对应的行和列的元素都与该元素相同;
4.同态映射:,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射;若f是双射,则称为同构;
第八章群
1.广群的性质:封闭性;
半群的性质:封闭性,结合律;
含幺半群(独异点):封闭性,结合律,有幺元;
群的性质:封闭性,结合律,有幺元,有逆元;
2.群没有零元;
3.阿贝尔群(交换群):封闭性,结合律,有幺元,有逆元,交换律;
4.循环群中幺元不能是生成元;
5.任何一个循环群必定是阿贝尔群;
第十章格与布尔代数
1.格:偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界;
2.格的基本性质:
1) 自反性
a≤a 对偶: a≥a
2) 反对称性
a≤b ^ b≥a => a=b
对偶:a≥b ^ b≤a => a=b
3) 传递性
a≤b ^ b≤c => a≤c
对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c
4) 最大下界描述之一
a^b≤a 对偶avb≥a
A^b≤b 对偶avb≥b
5)最大下界描述之二
c≤a,c≤b => c≤a^b
对偶c≥a,c≥b =>c≥avb
6) 结合律
a^(b^c)=(a^b)^c
对偶av(bvc)=(avb)vc
7) 等幂律
a^a=a 对偶ava=a
8) 吸收律
a^(avb)=a 对偶av(a^b)=a
9) a≤b <=> a^b=a avb=b
10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd
11) 保序性
b≤c => a^b≤a^c avb≤avc
12)分配不等式
av(b^c)≤(avb)^(avc)
对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)
13)模不等式
a≤c <=>av(b^c)≤(avb)^c
3.分配格:满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc);
4.分配格的充要条件:该格没有任何子格与钻石格或五环格同构;
5.链格一定是分配格,分配格必定是模格;
6.全上界:集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素,则称a为格的全上界,记为1;(若存在则唯一)
全下界:集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素,则称b为格的全下界,记为0;(若存在则唯一)
7.有界格:有全上界和全下界的格称为有界格,即有0和1的格;
8.补元:在有界格内,如果a^b=0,avb=1,则a和b互为补元;
9.有补格:在有界格内,每个元素都至少有一个补元;
10.有补分配格(布尔格):既是有补格,又是分配格;
11.布尔代数:一个有补分配格称为布尔代数;
第十一章图论
1.邻接:两点之间有边连接,则点与点邻接;
2.关联:两点之间有边连接,则这两点与边关联;
3.平凡图:只有一个孤立点构成的图;
4.简单图:不含平行边和环的图;
5.无向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图;有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图;
6.无向完全图有n(n-1)/2条边,有向完全图有n(n-1)条边;
7.r-正则图:每个节点度数均为r的图;
8.握手定理:节点度数的总和等于边的两倍;
9.任何图中,度数为奇数的节点个数必定是偶数个;
10.任何有向图中,所有节点入度之和等于所有节点的出度之和;
11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路;
12.可达:对于图中的两个节点
v,j v,若存在连接i v到j v的路,则称i v
i
与
v相互可达,也称i v与j v是连通的;在有向图中,若存在i v到j v的j
路,则称
v到j v可达;
i
13.强连通:有向图章任意两节点相互可达;
单向连通:图中两节点至少有一个方向可达;
弱连通:无向图的连通;(弱连通必定是单向连通)
14.点割集:删去图中的某些点后所得的子图不连通了,如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的,则这些点组成的集合称为点割集;
割点:如果一个点构成点割集,即删去图中的一个点后所得子图是不连通的,则该点称为割点;
15.关联矩阵:M(G),
m是i v与j e关联的次数,节点为行,边为列;
ij
无向图:点与边无关系关联数为0,有关系为1,有环为2;
有向图:点与边无关系关联数为0,有关系起点为1终点为-1,关联矩阵的特点:
无向图:
①行:每个节点关联的边,即节点的度;
②列:每条边关联的节点;
有向图:
③所有的入度(1)=所有的出度(0);
16.邻接矩阵:A(G),
a是i v邻接到j v的边的数目,点为行,点为列;
ij
17.可达矩阵:P(G),至少存在一条回路的矩阵,点为行,点为列;
P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)
可达矩阵的特点:表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路,以及在任何节点上是否存在回路;
A(G)中所有数的和:表示图中路径长度为1的通路条数;
2
A(G)中所有数的和:表示图中路径长度为2的通路条数;
3
A(G)中所有数的和:表示图中路径长度为3的通路条数;
4
A(G)中所有数的和:表示图中路径长度为4的通路条数;
P(G)中主对角线所有数的和:表示图中的回路条数;
18.布尔矩阵:B(G),
v到j v有路为1,无路则为0,点为行,点为列;
i
19.代价矩阵:邻接矩阵元素为1的用权值表示,为0的用无穷大表示,节点自身到自身的权值为0;
20.生成树:只访问每个节点一次,经过的节点和边构成的子图;
21.构造生成树的两种方法:深度优先;广度优先;
深度优先:
①选定起始点
v;
②选择一个与
v邻接且未被访问过的节点1v;
③从
v出发按邻接方向继续访问,当遇到一个节点所
1
有邻接点均已被访问时,回到该节点的前一个点,再寻求未被访问过的邻接点,直到所有节点都被访问过一次;
广度优先:
①选定起始点
v;
②访问与
v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为
第一层节点;
③在第一层节点中选定一个节点
v为起点;
1
④重复②③,直到所有节点都被访问过一次;
22.最小生成树:具有最小权值(T)的生成树;
23.构造最小生成树的三种方法:
克鲁斯卡尔方法;管梅谷算法;普利姆算法;
(1)克鲁斯卡尔方法
①将所有权值按从小到大排列;
②先画权值最小的边,然后去掉其边值;重新按小到大排序;
③再画权值最小的边,若最小的边有几条相同的,选择时要满足不能出现回路,然后去掉其边值;重新按小到大排序;
④重复③,直到所有节点都被访问过一次;
(2)管梅谷算法(破圈法)
①在图中取一回路,去掉回路中最大权值的边得一子图;
②在子图中再取一回路,去掉回路中最大权值的边再得一子图;
③重复②,直到所有节点都被访问过一次;
(3)普利姆算法
①在图中任取一点为起点
v,连接边值最小的邻接点2v;
1
②以邻接点
v为起点,找到2v邻接的最小边值,如果最小边值
2
比
v邻接的所有边值都小(除已连接的边值),直接连接,否则退回1v,1
连接
v现在的最小边值(除已连接的边值);
1
③重复操作,直到所有节点都被访问过一次;
24.关键路径
例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.
解:最早完成时间
TE(v1)=0
TE(v2)=max{0+1}=1
TE(v3)=max{0+2,1+0}=2
TE(v4)=max{0+3,2+2}=4
TE(v5)=max{1+3,4+4}=8
TE(v6)=max{2+4,8+1}=9
TE(v7)=max{1+4,2+4}=6
TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间
TL(v8)=12
TL(v7)=min{12-6}=6
TL(v6)=min{12-1}=11
TL(v5)=min{11-1}=10
TL(v4)=min{10-4}=6
TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2
TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2
TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间
TS(v1)=0-0=0
TS(v2)=2-1=1
TS(v3)=2-2=0
TS(v4)=6-4=2
TS(v5=10-8=2
TS(v6)=11-9=2
TS(v7)=6-6=0
TS(v8)=12-12=0
关键路径: v1-v3-v7-v8
25.欧拉路:经过图中每条边一次且仅一次的通路;
欧拉回路:经过图中每条边一次且仅一次的回路;
欧拉图:具有欧拉回路的图;
单向欧拉路:经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路;
欧拉单向回路:经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路;
26.(1)无向图中存在欧拉路的充要条件:
①连通图;②有0个或2个奇数度节点;
(2)无向图中存在欧拉回路的充要条件:
①连通图;②所有节点度数均为偶数;
(3)连通有向图含有单向欧拉路的充要条件:
①除两个节点外,每个节点入度=出度;
②这两个节点中,一个节点的入度比出度多1,另一个节点的入;度比出度少1;
(4)连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件:
图中每个节点的出度=入度;
27.哈密顿路:经过图中每个节点一次且仅一次的通路;
哈密顿回路:经过图中每个节点一次且仅一次的回路;
哈密顿图:具有哈密顿回路的图;
28.判定哈密顿图(没有充要条件)
必要条件:
任意去掉图中n个节点及关联的边后,得到的分图数目小于等于n;充分条件:
图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数;
29.哈密顿图的应用:安排圆桌会议;
方法:将每一个人看做一个节点,将每个人与和他能交流的人连接,找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图),即可;
30.平面图:将图形的交叉边进行改造后,不会出现边的交叉,则是平面图;
31.面次:面的边界回路长度称为该面的次;
32.一个有限平面图,面的次数之和等于其边数的两倍;
33.欧拉定理:假设一个连通平面图有v个节点,e条边,r个面,则
v-e+r=2;
34.判断是平面图的必要条件:(若不满足,就一定不是平面图)
设图G是v个节点,e条边的简单连通平面图,若v>=3,则e<=3v-6;
35.同胚:对于两个图G1,G2,如果它们是同构的,或者通过反复插
入和除去2度节点可以变成同构的图,则称G1,G2是同胚的;36.判断G是平面图的充要条件:
图G不含同胚于K3.3或K5的子图;
37.二部图:①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1,V2;
②图中每条边的一个端点在V1,另一个则在V2中;
完全二部图:二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接;
判定无向图G为二部图的充要条件:
图中每条回路经过边的条数均为偶数;
38.树:具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图;
39.节点的层数:从树根到该节点经过的边的条数;
40.树高:层数最大的顶点的层数;
41.二叉树:
①二叉树额基本结构状态有5种;
②二叉树内节点的度数只考虑出度,不考虑入度;
③二叉树内树叶的节点度数为0,而树内树叶节点度数为1;
④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度);握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立;
⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1;
⑥位于二叉树第k层上的节点,最多有1
2 k个(k>=1);
⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个,最少k个(k>=1);
⑧如果有
n个叶子,2n个2度节点,则0n=2n+1;
42.二叉树的节点遍历方法:
先根顺序(DLR);
中根顺序(LDR);
后根顺序(LRD);
43.哈夫曼树:用哈夫曼算法构造的最优二叉树;
44.最优二叉树的构造方法:
①将给定的权值按从小到大排序;
②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大),去掉已选的这两个权值,并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值;
③重复②,直达所有权值构造完毕;
45.哈夫曼编码:在最优二叉树上,按照左0右1的规则,用0和1代替所有边的权值;
每个节点的编码:从根到该节点经过的0和1组成的一排编码;
离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数为mn,A到B上可以定义m n 2种不同的关系; 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性;
第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。(性质1:对于任何集合A,都有Φ?A。) 证明:假设有两个空集Φ1 、Φ2 ,则 因为Φ1是空集,则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集,则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问:(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解:设A={Φ},B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时,一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解,实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明:A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明:任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项:具体的事物,用a, b, c表示 个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域,如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F(a):a是人 谓词变项:F(x):x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y):x与y有关系L,L(x,y):x≥y,… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中
我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了,书读了不少,题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里,我会不定期的写一些小的经验总结,以供后来人参考。:) 因为是“心得体会”,所以多半是想到什么写什么,组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。;) 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题:设R为含幺环,求证:对任意a,b∈R,若1-ab可逆,则1-ba也可逆。 分析: 我们知道,证明问题的方法大致可以分为两类:构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法,找出符合命题要求的元素(在这道题中,就是找到1-ba的逆元)。后者则只证明这样的元素必然存在,但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种证明方法,确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。 就这道题而言,我们可以使用这些前提: 1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群(从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等),R对乘法构成独异点(从而可以使用乘法单位元1),当然还有乘法对加法的分配律。 2、1-ab是可逆的,这就是说,存在c∈R,使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到:cab=abc=c-1。 需要注意的是: 1、在题设中没有假设R的可换性(事实上,如果R可换的话,整个问题就没有任何难度了),也没有假设a、b是可逆的。所以,在解题时,不能使用乘法交换律,也不能随便使用a、b的逆元(除非已经证明了它们的存在性)。 2、如果没有1-ab可逆这个条件,肯定是推不出1-ba可逆的(我们在环中可以找到太多的反例)。所以,cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子,我们注意到,它提供了在c的参与下,移动和消去ab 的方法。 我们的目的是,证明存在这样的一个元素d∈R,满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。 初看到这道题,我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。 不过推理一下我们可以发现,如果要使用反证法的话,我们需要反设1-ba不存在乘法逆元,然后由此推出1-ab也不可能有逆元(或者推出R不是含幺环)。 但反设1-ba不存在乘法逆元后,我们到底能推出哪些结论来呢?似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R,必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明(因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”,并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”)。 另一方面,利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。 这时,我们可以“取巧”了。注意到: 1、如果我们相信题目给的命题没有错的话,我们只要找到1-ba的左逆元(或者右逆元)就基本完成任务了(虽然最终书写证明时,我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元)。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话,它的左右逆元是唯一且相等的(所以,1-ba确实可逆,而我们又找到了它的一
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题 复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1)表示 简单命题 用“1”表示真,用“0”表示假 例如,令p:是有理数,则p 的真值为 0 q:2 + 5 = 7,则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式,记作p. 符号称作否定联结词,并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意:描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明,而且用功. (3) 王晓虽然聪明,但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p:王晓用功,q:王晓聪明,则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 . 说明:
离散数学部分概念和公式总结 命题:称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。 命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。 (2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。 (3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。 主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A?B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。 约束变元和自由变元:在合式公式?x A和?x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A?B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。 前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。 二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={
离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定:当某个命题为真时,其否定为假,当某个命题为假时,其否定为真定义 1. 1.4条件联结词,表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词,表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式,称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式,则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式,则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式
将一个普通公式转换为范式的基本步骤
1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式, 若 A → C 为永真式、 重言式,则称 C 是 A 的有 效结论,或称 A 可以逻辑推出 C ,记为 A => C 。(用等值演算或真值表) 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?:全称量词 ?:存在量词 一般情况下, 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时, 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x)),即量词的后面为条件式,带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x)),即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子,T(x)表示对象 x 是乌龟, H(x,y)表示 x 比 y 跑得快,L(x,y)表示x 与 y 一样快,则兔子比乌龟跑得快表示为: ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为:?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号: 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号:个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义:个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式:设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词,n t t ...1是项,则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元,可以换成个体变元的表达式(项),但不能出现任何联结词与量词,只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式:(1)原子公式是合式公式;(2)若 A 是合式公式,则(﹁A)也是合式公式;(3)若 A,B 合式,则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式,则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域:?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围,A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元:在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ,称为约束变元,这是与量词相关的变元,约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元:谓词公式中与任何量词都无关的量词,称为自由变元,它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元,就是自由变元。 注意:为了避免约束变元和自由变元同名出现,一般要对“约束变元”改名,而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式
离散数学学习总结 一、课程内容介绍: 1.集合论部分: 集合论是离散数学中第一个抽象难关,在老师的生动讲解下,深入浅出,使得集合论成了相当有趣的知识。只是对于以后的应用还不是很了解,感觉学好它很重要。直观地说,把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合,而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如: 方程x2-1=0的实数解集合; 26个英文字母的集合; 坐标平面上所有点的集合; 集合通常用大写的英文字母来标记,例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数),整数集合Z,有理数集合Q,实数集合R,复数集合C等。 表示一个集合的方法有两种:列元素法和谓词表示法, 如果两个集合的交集为,则称这两个集合是不相交的。例如B和C 是不相交的。 两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交: A1∪A2∪…∪An={x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An={x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 2.关系 二元关系也可简称为关系。对于二元关系R,如果
得到新的关系R',使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多,换句话说,添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。 3.代数系统 代数结构也叫做抽象代数,主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型,可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑,由∑上的有限个字符(包括0个字符)可以构成一个字符串,称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字,将β连接在α后面得到∑*上的字 αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算,那么这种运算不可交换,但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统,它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用,例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素:集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。 整数集合Z和普通加法+构成了代数系统〈Z,+〉,n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法+构成代数系统〈Mn(R),+〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统
。类似这样的代数系统可以列举出许多许多,他们都是具体的代数系统。考察他们的共性,不难发现他们都含有一个集合,一个二元运算,并且这些运算都具有交换性和结合性等性质。为了概括这类代数系统的共性,我们可以定义一个抽象的代数系统,其中 A是一个集合,是A上的可交换、可结合的运算,这类代数系统实际上就是交换半群。 为了研究抽象的代数系统,我们需要先定义一元和二元代数运算以及二元运算的性质,并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={