一元二次方程整数根训练

一元二次方程整数根问题

1.当m 为何正整数时，方程x 2+m=m 2+x-18有正整数解？

2.求方程2x 2-2xy+y 2+x-2y=0的正整数根。

3. .求方程6xy+4x-9y-7=0的整数根。

4.若关于x 的方程rx 2-(2r+7)x+r+7=0的根是正整数，求整数r 的值。

5.求方程2x 2-xy-3x+y+2006=0的正整数解。

6.若a 为整数，使得关于的方程ax 2-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有的有理根。

7.已知p,q 都是质数，且使得关于x 的一元二次方程x 2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p,q).

8.满足192+m 2=182+n 2的整数对(m,n)共有多少个？

9.x,y 是正整数，且满足100

111=-y x ，求y 的最大值 10.求方程x 2-6xy+13y 2=100的正整数解。

11. .求方程4

31112=-+xy y x 的整数解. 12.已知方程ax 2-(a-3)x+a-2=0中的a 取整数，方程的解至少有一个整数根，求a 的值。

13.已知正整数a.b.c 满足a 2+b 2+c 2+43≤ab+9b+8c ，求a.b.c 的值。

14.a.b 都是正整数，关于x 的方程x 2-abx+2

1(a+b)=0的根均为整数，求它的整数根。

15.已知a 是方程x 2+x-41=0的根，求234531a a a a a --+-的值。 16.若x 1.x 2是方程x 2+x-5=0的两根，求x 13-x 23= .x 13-6x 22= .

17.若m,n 是方程x 2-2x-2=0的两根，且m>n ，求232n m

+的值。 18.设方程4x 2-2x-3=0的两根是m,n ，求4m 2+2n 的值。

19.实数a.b 满足a 2=-1-5a,5b=-1-b 2，求b

a a a

b b +的值。 20.已知实数a>0,b>0，且a+a =2010,b 2+b=2010，求a+b 的值。

21.若关于x 的方程x 2+a|x|+a 2-3=0，有唯一实数解，求实数a 值。

22.设整数a.b.c ，对一切实数x ，方程(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c)恒成立，求a+b+c 的值。

23.若x y ≠0，且|x|+y=3，|x|y+x 3=0,求x+y 的值。

24.已知关于x 的方程(a 2-1)(1-x x )2-(2a+7) 1

-x x +1=0有实数根。（1）求a 的取值

范围。（2）若原方程的两个实数根为m,n ，且

11

311=-+-n n m m ，求a 的值。 25.如果方程x 4+6x 3+9x 2-3px 2-9px+2p 2=0，有且只有一个实数根，（等根只算一个）求p 的值。

26.已知关于x 的方程x 2+2(m+1)x+(3m 2+4mn+4n 2+2)=0有实数根，求3m 2+2n 3的值。

27.已知a,b 为整数，且a>b ，方程3x 2+3(a+b)x+4ab=0两根m.n 满足m(m+1)+n(n+1)=(m+1)(n+1)，试求所有的整数对（a,b ） 28.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440m x x -+=与

2244450x mx m m -+--=的根都是整数。

29.已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。

30.设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

31.b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？

32.已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有_________个.

33.当m 是什么整数时,关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数?

34.求所有正实数a,使得方程240x ax a -+=仅有整数根.

35.方程()(8)10x a x ---=有两个整数根,求a 的值.

36.求所有的

正整数a,b,c,使得关于x 的方程222320,320,320

x a x b x b x c x c x a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数.

37. n 为正整数，方程21)60x x --=有一个整数根，则n=__________.

38.求出所有正整数a,使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.

39.已知方程22(1)2(51)240a x a x --++= 有两个不等的负整数根,则整数a 的值是__________.

40.已知方程219990x x a -+=有两个质数根,则常数a=___________.

41.设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .

42. 若x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 .

一元二次方程公共根

一元二次方程公共根问题 若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤： 1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程； 2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式； 3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式． 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ?=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 2?= ⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围 1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围． (2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值． 2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值 3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由． 4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，

， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，

所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

二次函数与一元二次方程同步练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程同步练习题(含 答案) 北师大版九年级数学下册课时同步练习-2.8二次函数与一元二次方程（1）附答案 1.求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 2.一元二次方程x2+7x+ 9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系? 试把方程的根在图象上表示出. 3.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根. (1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0. 4.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B ,与x轴交于A, 两点. 求△AB的周长和面积. 5..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2), 铅球路线的最高处B点的坐标为 B(6,5). (1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).

6.如图,已知抛物线y=-x2+bx+与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0) , 且x1+x2=4, .(1)求抛物线的代数表达式 ; (2) 设抛物线与y轴交于点,求直线B的表达式; (3)求△ AB的面积. 7.试用图象法判断方程x2+2x=- 的根的个数. 答案: 1.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0); (3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0), 草图略. 2.该方程的根是该函数的图象与直线y=1的交点的横坐标. 3.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6 4.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0, -3). 解方程-x2+4x-3=0,得x1=1 ,x2=3. 故A、两点的坐标为(1,0),(3,0) . 所以A=3-1=2,AB= ,B= , B=│-3│=3. △AB=AB+ B+A= . S△AB= A•B= ×2×3=3. 5.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a= . 故y= (x-6)2+5

《一元二次方程解法》练习题(基础)

九年级数学上册《一元二次方程解法》练习题 一、填空题 1.一元二次方程的一般形式是____ ______.其解为1x =__________,2x =____________. 2.将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是__________. 3.方程)0(02≠=+a c ax 的解的情况是：当0>ac 时_________；当0=ac 时___________；当0

中考试题一元二次方程的整数根

学科：数学 专题：一元二次方程整数根 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点辨析 在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。 题一 题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值. 金题精讲 题一 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围； (2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值. 判别式，考虑参数范围 满分冲刺 题一 题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= ⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 判别式，整数根

题二 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0. （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数. 判别式，整数根 讲义参考答案 重难点易错点辨析 题一 答案：当1a =时，1x =； 当1a ≠时，122111 x x a ==-- -，（分离常数）， a ∵为整数 1023a =-∴，，， 综上，a 的整数值为10123-，，，，. 金题精讲 题一 答案：(1)52 k <；(2)k =2. 满分冲刺 题一 答案：⑴证明：[]2 2=2(23)4(4148)84m m m m ?----+=+ ∵0m >， ∴840m +>. ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵(23)x m - 且m 为整数． 又∵1240m <<， ∴252181.m <+< ∴5． 21m +∵为奇数， 7= ∴24m =．

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论（不讨论 a ） ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论（不讨论 a ） ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

用因式分解求解一元二次方程同步训练题(含答案)

用因式分解法求解一元二次方程 一、填空题 1、如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________. 2、方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或___________，分别解得：x 1=_________,x 2=_________. 3、填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解：3x(x+5)_______=0 → (x+5)(_________)=0 → x+5=________或________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4、用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零 （2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5、x 2－(p+q)x≠qp=0因式分解为____________. 6、用因式分解法解方程9=x 2－2x+1 （1）移项得__________； （2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________； （3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________； （4）分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________. 7、分解因式：2x 2 +5x -3 = ； 8、用因式分解法解方程x 2 -5x = 6 , 得方程的根为 ； 9、方程2(x +3)2 -5(x +3) = 0的解为 ，最简便的解法是 . 10、 因式分解： ①＝ ②＝ ③＝ ④ ＝ ⑤＝ 11、一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是_________。 12、某药品经两次降价，从原来每箱60元降为每箱48.6元，平均每次降价率为_________。 13、有两个数不等，和17，积比小点数的平方大30，用方程求这两数，设_________，根据题意，列方程得_________。 14、 一矩形面积132cm 2，周长46cm ，则矩形长是_________，宽是_________。 15、连续两个正奇数的平方和等于202，这两个奇数中较小的是_________。 3222m mn n +-4452a a --x xy y 22223--x xy y x y 2222--+-m n n 22222-+-

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

人教版九年级上册一元二次方程同步训练

一元二次方程 【学习目标】 1.理解一元二次方程及其有关概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数，一次项系数及常数项； 3.了解根的意义． 【前置学习】 一、基础回顾： 1.多项式1232--x x 是 次 项式，其中最高次项是 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 2. 叫方程，我们学过的方程类型有 ． 3.解下列方程或方程组：①1)1(2-=+x x ②?? ?=+=-4 2y x y x ③211=-x 二、问题引领： 方程0422=+x-x 是以往学过的吗？通过本节课的学习你将认识这种新的方程． 三、自主学习（自主探究）： 请你认真阅读课本引言及32-P 内容，边学边思考下列问题： 1.方程①②③有什么共同特点？ 2.一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只含有 个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程． 3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： （a ≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项． 4.下面哪些数是方程0652=++x x 的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4． 5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ，即：使一元二次方程等号左右两边相等的 的值． 四、疑难摘要： 【学习探究】 一、合作交流，解决困惑： 1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决．） 2.班级展示与教师点拨： 【点拨】

一元二次方程基础练习题

一元二次方程练习题 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合题 1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？ 2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 3，判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) ax2+bx+c=0 4，方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下

此方程为一元一次方程？ 5，下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 6，.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值。 7，．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 8，关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值 一、选择题 1．方程x（x-1）=2的两根为（）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1 a C．x1=a，x2= 1 a D．x1=a2，x2=b2 3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）． A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题 1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________． 2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 3．方程（x+1）2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

初三数学培优之一元二次方程的整数根

初三数学培优之一元二次方程的整数根 阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解 若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式 在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系 由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解. 4．巧选主元 若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解. 例题与求解 【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2 =+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确. 【例2】 q p ,为质数且是方程0132 =+-m x x 的根，那么 q p p q +的值是（ ） A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22 127 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系

【例3】 关于y x ,的方程2922 2=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 解题思路：把2922 2 =++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值. 【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2 =-+++r x r rx 有根且只有整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根. 【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2 ，即 0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22 =-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

人教版九年级数学上册 一元二次方程同步练习题含答案【精华版】

人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》同步练习1 带答案 ◆随堂检测 1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________. （1）32250x x -+=； （2）21x =； （3）221352245 x x x x --=-+； （4）2 2(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=. （提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.） 2、下列方程中不含一次项的是（ ） A ．x x 2532=- B ．2916x x = C ．0)7(=-x x D ．0)5)(5(=-+x x 3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________. 4、1、下列各数是方程21(2)23 x +=解的是（ ） A 、6 B 、2 C 、4 D 、0 5、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x . （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x . （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x . ◆典例分析 已知关于x 的方程22 (1)(1)0m x m x m --++=． （1）x 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解. 解：（1）由题意得，21010m m ?-=?+≠? 时，即1m =时， 方程22 (1)(1)0m x m x m --++=是一元一次方程210x -+=. （2）由题意得，2(1)0m -≠时，即1m ≠±时，方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元二次方程.此方程的二次项系数是2 1m -、一次项系数是(1)m -+、常数项是m . ◆课下作业

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01

分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0

人教版九年级上册第二十一章一元二次方程 21.2 解一元二次方程 同步练习(含答案)

解一元二次方程同步练习 一．选择题（共12小题） 1．一元二次方程2（x-2）2+7（x-2）+6=0的解为（） A．x1=-1，x2=1B．x1=4，x2=3.5 C．x1=0，x2=0.5D．无实数解 2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（） A．（x+4）2=7B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=-9D．（x+8）2=7 3．若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．3B．2C．1D．0 4．已知矩形的长和宽是方程x2-7x+8=0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（） A ．6B．7C．D． 5．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程0.5kx2-（k+3）x+6=0的两根，则△ABC的周长为（） A．6.5B．7C．6.5或7D．8 6．等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根，则k的值为（） A．30B．34或30C．36或30D．34 7．关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．-3B．0C．1D．-3 或0 8．定义运算：a*b=2ab，若a、b是方程x2+x-m=0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的

值为（） A．m B．2-2m C．2m-2D．-2m-2 9．若整数a既使得关于x的分式方程有非负数解，又使得关于x的方程x2-x+a+6=0无解，则符合条件的所有a的个数为（） A．1B．2C．3D．4 10．已知m，n（m≠n）满足方程x2-5x-1=0，则m2-mn+5n=（） A．-23B．27C．-25D．25 11．若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a-1=0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．6 12．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+2011x2，S2=x12+2011x22，…，Sn=x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（） A．0B．2010C．2011D．2012 二．填空题（共5小题） 13．方程（x-1）（x+2）=0的解是． 14．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8．则x2+y2的值为 15．已知a、b是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为． 16．若关于x的方程x2-4|x|+3-m=0有4个不相等的实数根，则m的取值范围是． 17．若x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，且x1+x2=1-x1x2，则m的值为．

一元二次方程练习题23718

一元二次方程练习题 一、填空 1．一元二次方程12)3)(31(2 +=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2．关于x 的方程023)1()1(2 =++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。 3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。 4. ++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2 )。 5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是 。 6．若方程02 =++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 。 7．若代数式5242--x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 8．方程492=x 与a x =2 3的解相同，则a = 。 9．当t 时，关于x 的方程032 =+-t x x 可用公式法求解。 10．若实数b a ,满足022=-+b ab a ，则b a = 。 11．若8)2)((=+++ b a b a ，则b a += 。 12．已知1322++x x 的值是10，则代数式1642++x x 的值是 。 二、选择 1．下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ） （A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+2 21 （C ）0)1()1(2 22=--+x a x a （D ）0312=-+=a x x 2．若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ） （A ）±2 1 （B ）±1 （C ）±2 2 （D ）±2 3．若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ） （A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）2 1 4．关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的 是（ ）

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ，

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n