数学人教A版选修2-1课时作业10 直线与椭圆的位置关系
课时作业10 直线与椭圆的位置关系
[基础巩固]
一、选择题
1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 2
4
＝1的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法判断
2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2
2
＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63
C ．±63
D ．±33
3．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2
3
＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.513 B ．－513
C.21313 D ．－21313
4．已知椭圆C ：x 22
＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( )
A. 2 B ．2
C. 3 D ．3
5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33
C.23
D.13
二、填空题
6．过椭圆x 216＋y 2
9
＝1的焦点F 的弦中最短弦长是________________________________________________________________________．
7．直线y ＝x ＋m (m ∈R )被椭圆2x 2＋y 2＝2截得的线段的中点的横坐标为16
，则中点的纵坐标为________．
8．已知椭圆x 225＋y 2
16
＝1，过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
三、解答题
9．对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24
＋y 2＝1的位置关系．
10．已知椭圆x 216＋y 24
＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．
[能力提升]
11．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线
的斜率为22，则m n
的值是( ) A.22 B.233
C.922
D.2327
12．设F 1，F 2分别为椭圆x 23
＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．
13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63
，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .
(1)求椭圆的方程；
(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32
，求△AOB 面积的最大值．
14．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．
(1)求E 的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．
课时作业10直线与椭圆的位置关系
1．解析：方法一直线过点(0,1)，而0＋14＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．
方法二联立直线与椭圆的方程得y＝x＋1，x25＋y24＝1，消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．
答案：A
2．解析：把y＝kx＋2代入x23＋y22＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由于Δ＝0，∴k2＝23，∴k＝±63.
答案：C
3．解析：由题意，a2＝4，b2＝3，故c＝a2－b2＝4－3＝1.不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以124＋y203＝1，解得y0＝±32，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝12＋322＝132.
由余弦定理知cos ∠MON＝|OM|2＋|ON|2－|MN|22|OM||ON|＝1322＋1322－322×132×132＝－513.故选B.
答案：B
4．解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1.
所以c2＝1，即c＝1.
所以右焦点F(1,0)．
由FA→＝3FB→得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
所以1＝3(x0－1)且n＝3y0.
所以x0＝43，y0＝13n.
将(x0，y0)代入x22＋y2＝1，得
12×432＋13n2＝1.
解得n2＝1，
所以|AF→|＝2－12＋n2＝1＋1＝2.故选A.
答案：A
5．解析：以A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
因为直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
所以|2ab|a2＋b2＝a得a2＝3b2，
由a2＝b2＋c2得e＝63，故选A.
答案：A
6．解析：由方程知a2＝16，b2＝9，所以c＝7，因为在过焦点的弦中，当弦与长轴垂直时，弦长最短，
所以设弦的端点为A(x1，y1)，B(x1，y2)，则x1＝7，代入方程可得y＝±94，所以弦长l＝|y1－y2|＝92.
答案：92
7．解析：方法一由y＝x＋m，2x2＋y2＝2，消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2m3，
∴－2m3＝13，解得m＝－12.
由截得的线段的中点在直线y＝x－12上，得中点的纵坐标y＝16－12＝－13.
方法二设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2x21＋y21＝2,2x22＋y22＝2，两式相减得
2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
把y1－y2x1－x2＝1，x1＋x2＝13代入上式，得y1＋y22＝－13，则中点的纵坐标为－13.
答案：－13
8．解析：易求得a＝5，b＝4，所以|AB|＝2b2a＝2×425＝325.
答案：325
9．解析：联立方程组y＝x＋m，①x24＋y2＝1.②
将①代入②得x24＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－5＜m＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③无实数根，直线与椭圆相离．
10．解析：方法一易知直线的斜率k存在．
设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
由y－1＝k x－2，x216＋y24＝1得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.
又M为AB的中点，∴x1＋x22＝42k2－k4k2＋1＝2，
解得k＝－12，且满足Δ＞0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又∵A，B两点在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，
两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－44×2＝－12，即kAB＝－12.
故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0.
方法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)．
∵AB的中点为M(2,1)，
∴直线与椭圆的另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①4－x2＋42－y2＝16.②
由①－②，得x＋2y－4＝0.
显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过A，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
11．解析：联立方程组y＝1－x，mx2＋ny2＝1
?(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝x1＋x22＝nm＋n，
y0＝1－x0＝1－nm＋n＝mm＋n.
所以kOP＝y0x0＝mn＝22.故选A.
答案：A
12．解析：方法一由题意知F1(－2，0)，F2(2，0)．设点A和点B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，则F1A→＝(xA＋2，yA)，F2B→＝(xB－2，yB)．
由F1A→＝5F2B→得xB＝xA＋625，yB＝yA5，代入椭圆方程得xA＋62523＋yA52＝1①.
又x2A3＋y2A＝1②，由①②联立，解得xA＝0，yA＝±1.故点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
方法二设射线F1A的反向延长线与椭圆交于点B′.因为F1A→＝5F2B→，所以由椭圆的中心对称性可得F1A→＝5B′F1→.
设A(x1，y1)，B′(x2，y2)，则
|F1A|＝cax1＋a＝63x1＋3，|F1B′|＝63x2＋3.
所以63x1＋3＝5×63x2＋3，x1＋2＝5－2－x2.解得x1＝0，则y1＝±1.故点A的坐标为(0，±1)．
方法三设射线F1A的反向延长线与椭圆交于点B′，A(x1，y1)，B′(x2，y2)，直线AB′的方程为y＝k(x＋2)．
由x2＋3y2＝3，y＝k x＋2，得(1＋3k2)x2＋62k2x＋6k2－3＝0.所以x1＋x2＝－62k21＋3k2①，x1x2＝6k2－31＋3k2②.
由F1A→＝5F2B→和椭圆的中心对称性可得，F1A→＝5B′F1→，则有x1＋2＝5(－2－x2)，即x1＋5x2＝－62③.
联立①②③，解得k2＝12，
从而解得x1＝0，y1＝±1.
故点A的坐标为(0，±1)．
答案：(0,1)或(0，－1)
13．解析：(1)由ca＝63，a＝3，
所以c＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为x23＋y2＝1.
(2)由已知|m|1＋k2＝32，
所以m2＝34(1＋k2)，
联立l：y＝kx＋m和x23＋y2＝1，
消去y，整理可得
(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－6km1＋3k2，x1x2＝3m2－31＋3k2，
所以|AB|2＝(1＋k2)(x1－x2)2
＝121＋k23k2＋1－m21＋3k2 2
＝3k2＋19k2＋11＋3k2 2
＝3＋12k29k4＋6k2＋1
＝3＋129k2＋1k2＋6≤4(k≠0)，
当且仅当k＝±33时取等号，
验证知k＝±33满足题意，
显然k＝0时，|AB|2＝3＜4.
所以(S△AOB)max＝12×2×32＝32.
14．解析：(1)由椭圆的定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1，消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2c2－b2a2＋b2.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[x1＋x22－4x1x2]，即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)设线段AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－2c3，y0＝x0＋c＝c3.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1，把x0＝－2c3，y0＝c3代入，得c＝3，从而a＝32，b＝3.
故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.
由Ruize收集整理。
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