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福建省2016年“大梦杯”初中数学竞赛试题含参考答案

2016年“大梦杯”省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将

OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（）

A ．(13)，

B ．(33)，

C ．(33)，

D ．(31)，【答案】 B

【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。

依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=?。所以，3CD =，3AD =，3OD =。

因此，点C 的坐标为(33)，

。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A

【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。

[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224

x x x a

x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（）

A ．6-

B ．30-

C ．32-

D ．38- 【答案】 D 【解答】方程

22240224

x x x a

x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。

6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。

若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。

若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。

所以，符合条件的a 有6-，24-，8-，其总和为38-。

4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的心，连接CI 并延长交

AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则

=（） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74

【答案】 C 【解答】依题意，

m IC

n ID

。由I 为ABC △的心知，IC AC BC

ID AD BD

。所以，由等比定理知，

73563

m IC AC BC AC BC n ID AD BD AD DB ++======+。 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（）

A ．

403 B ．64

C ．13615

D ．315 【答案】 C

【解答】由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。 ∵ 22254(44)(2)44xy xy x y x y =++-=+-≥-，当且仅当2x y =-

，即x =

，y =

x =

，y =时等号成立。 ∴ xy 的最小值为45-，22424u x xy y xy =++=+的最小值为125，即12

m =。

∵ 22234(44)4(2)4xy xy x y x y =-+-=--≤，当且仅当2x y =，

即x =

y =

x =

y =时等号成立。 ∴ xy 的最大值为43，22424u x xy y xy =++=+的最大值为203，即20

M =。 ∴ 20121363515

M m +=

+=。或解：由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。

（第4题）

C D

设xy t =，若0x =，则4μ=；0x ≠时，y x t =

，将t

y x

=代入2244x xy y -+=，得2

244t x t x

-+=，即422(4)40x t x t -++=， ……………… ①

由22(4)160t t =+-≥△，解得44

t -≤≤。

将43t =

代入方程①，解得283x =

，3x =±；45t =-代入方程①，

解得285

x =

，5x =±。 ∴ xy 的最大值为

43，最小值为4

-。因此，820433M =+=，812455m =-+=，2012136

3515

M m +=+=

。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．在平面直角坐标系有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值围为。

【答案】 1

k -≤≤

【解答】易得直线AB 对应的一次函数的解析式为21y x =-。

由212y x y kx =-??=+?，得(2)3k x -=- ……………… ①

依题意，方程①有12x ≤≤的解。 ∴ 20k -<，且3122k -≤≤-，解得112k -≤≤。故k 的取值围为1

k -≤≤。或通过作图求解。

7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若

25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。【答案】 27

【解答】如图，过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ，则

AF AE

AC AG

=。又由CG BE ∥，知DGC DEB △∽△。

F B

D E

（第7题）

∴ 32

DG DC DE DB ==。

∴ 37

222

AG AD DG DE DE DE =+=+=。

∴

AF AE DE AC AG AG ===。 8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=，则n

的最大值是。

【答案】 63

【解答】依题意，11x ≥，22x ≥，33x ≥，…，n x n ≥。 ∴ 123(1)

20171232

n n n x x x x n +=++++≥+++

。于是，(1)

20172

n n +≥

，63n ≤。又当11x =，22x =，33x =，…，6262x =，6364x =时，

12362636364

1236264120172

x x x x x ?+++

++=+++

++=

+=。 ∴

所求n 的最大值为63。

9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC

交O ⊙于E 点，若

=，则AE

= 。

【答案】

【解答】由AB 为O ⊙的直径知，AE BC ⊥。设CE m =，则

OA =，AB =。

由条件易得ACE BAE △∽△， ∴

CE AE

=，2AE CE EB =?，即2AE mEB =。结合222AB AE EB =

+，得22)mEB EB =+。

（或由射影定理得2BA BE BC =?，即2)()BE BE m =?+） ∴ 22200EB mEB

m +-=，解得

4EB m =或5EB m =-（舍去）。 ∴ 2AE m =，

AE AB ==

。 E

A B

F B

E （第9题）

10．若正整数x ，y ，z 满足方程组333237()

x y z xyz

x y z ?--=??=+??，则xyz 的最大值为。

【答案】 84

【解答】由3333x y z xyz --=，得

333222

13()()()()02

x y z xyz x y z x y x z z y ??---=--++++-=??。结合x ，y ，z 为正整数得，222()()()0x y x z z y ++++->，于是0x y z --=。 ∴ 27x x =，7x =，7y z +=。

∴ 当7x =，3y =，4z =或7x =，4y =，3z =时，xyz 有最大值84。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）

11．若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根，求a 的值。【解答】设1x ，2x 是方程两个不相等的整数根，则123x x a +=-，122x x a =-。 ∴ 3a -，2a -均为整数。因此，a 为整数。 …………………… 5分 ∴ 222(3)4(2)1017(5)8a a a a a =---=-+=--△为完全平方数。设22(5)8a t --=（t 为整数，且0t ≥）。

则22(5)8a t --=。于是，(5)(5)8a t a t ---+=。 …………………… 10分由于5a t --，5a t -+奇偶性相同，且55a t a t --≤-+。

∴ 5452a t a t --=-??-+=-?或5254a t a t --=??-+=?

。

解得21a t =??=?或81a t =??=?。 …………………………… 15分

经检验2a =，8a =符合要求。

∴ 2a =或8a =。 ………………………… 20分另解：设m ，n （m n <）是方程两个不相等的整数根。

则2

(3)20(3)20

m a m a n a n a ?--+-=??--+-=??①②

。

两式相减，得()()(3)()0m n m n a m n -+---=。

由m n <，得3m n a +=-，3a m n =++。 …………………… 5分将3a m n =++代入①，得10mn m n ---=。

∴ (1)(1)2m n --=。 …………………… 10分

由于m ，n 为整数，且m n <，因此，1211m n -=-??-=-?或1112

m n -=??-=?。

∴ 10m n =-??=?或23m n =??=?。 …………………………… 15分

当1

0m n =-??=?

时，32a m n =++=；23m n =??=?时，38a m n =++=。

∴ 2a =或8a =。 ………………………… 20分

12．如图，H 为ABC △的垂心，圆O 为ABC △的外接圆。点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。

求证：（1）AC 垂直平分线段HE ；

（2）DE AB =。

【解答】（1）解法一：如图，连结AH ，AE ，EC 。

由H 为ABC △的垂心知，180AHC ABC ∠+∠=?。由A 、B 、C 、E 四点共圆，得180AEC ABC ∠+∠=?。 ∴ AEC AHC ∠=∠。 …………… 5分又CH CE =，CEH CHE ∠=∠， ∴ AEH AHE ∠=∠，AE AH =。

∴ AC 垂直平分线段HE 。…………………… 10分解法二：

作点H 关于直线AC 的对称点G 。连结AH ，AG ，GC 。则CG CH =，点G 在以C 为圆心、CH 长为半径的圆上。 …………………… 5分

又AGC AHC ∠=∠，H 为ABC △的垂心，

∴ 180AGC AHC ABC ∠=∠=?-∠，A 、G 、C 、B 四点共圆。因此，点G 也在圆O 上。

∴ E 、G 两点重合。

因此，E 、H 关于直线AC 对称，即AC 垂直平分线段HE 。…………… 10分（2）连结CF ，BH 。依题意有CE CH CF ==。结合D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点，知CD 为圆O 的直径。

∴ DA AC ⊥。

又由（1），以及H 为ABC △的垂心知，HE AC ⊥，

BH AC ⊥。因此，B 、H 、E 三点共线。

∴ BE AC ⊥。 …………………… 15分 ∴ 9090DCE CDE CBE ACB ∠=?-∠=?-∠=∠。 ∴ DAE ADB =。

∴ DE AB =。 …………………… 20分

或：通过DAE ADB △≌△，证明DE AB =。或通过证明四边形ADBE 等腰梯形，证明

DE AB =。

O B

C A

F D

(G )

E F D

C A

F D

C A

（第12题）