二元函数全微分的原函数

（1）引例

),(y x ),(y x dx y x P ),),(U ),(y x P )

,(y x Q dy y x Q dx y x P ),(),(+现在要讨论：P ，Q 满足什么条件时？表达式

dy y x Q (+才是某个二元函数

的全微分。

),(y x （2）定理3：

设开区域G 是一个单连通的区域，函数

，

在G 内具有一阶连续偏导数，则

在G 内是某一函

数的全微分的充要条件是：

),(y x U y P

x

Q

??=??

即：等式

y ?),(y x U dy

y x Q dx y x P ),(),(P

x

Q

??=?是等式

=+成立

的充要条件。

（3）证明：

要性：

A.

必

如果,(存y x P (),在),(y x U =dy y x Q dx )+成立

则

),(y x P x

U

=?，?),(y x Q y U =??

即：y P y x U ??=???2，x

Q

??=

x y U ???2 Q 具有一阶连续偏导数，则

y P

x

??=Q

??

因为P 、B. 充分性：

（4）

总结：

根据上述定，且理，P 、Q 在单连通区域G 内具有一阶连续偏导数满足

y x

?P

Q

?=?，那末，

dy y x Q dx y x P ),(),(+是某个函数的全微分。

x ),(),()

,(+来求出这个原函数。因

?可以用：y x )

,(00∫

为满足dy y x Q dx y x P y y P x Q ??=??上述积分是与积分路径无关的，为计可以旋转平行与坐标轴的直线段连成折线作须位于G 内）

（5） 方法一：

线段，做定积分，求出),(y x U 二：

算简便起见，

为积分路径（这些折线必取一折

方法

因为

),(y x P x

U =??，),(y x Q y U

=??

∫+=)(y Pdx U ? ),(y x Q y

U

=?? 联立方程，即得结果。

注意其求积分时，应加上一个常数项C ！

（1）由A 可以推出B ，由B 可以推出A ，则A 是B 的充要条件 2）由A 可以推出B ，由B 不可以推出A ，则A 是B 的充分条件 3）由A 不可以推出B ，由B 可以推出A ，则A 是B 的必要条件

6） 附加知识

①假设A 是条件，B 是结论 ：

② dy a ∫ =arctan

y

a +22a

y

如果要用换元法sec 2W 1tan 2=?x x ：y=atan 2

2

π

θπ<

2

π

θπ<

③x x 2sec n =′

ta 2

11n x x +=

′,arcta 211t co x x arc +?=′

第九节多元函数的泰勒公式

第九节 多元函数的泰勒公式 分布图示 ★ 二元函数的泰勒公式 ★ 例1 ★ 关于极值充分条件的证明 ★ 内容小结 ★ 习题8—9 ★ 返回 内容要点 一、二元函数的泰勒公式 我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数. 对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数. 现以二元函数为例叙述如下： 定理1 设),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数, ),(00k y h x ++为此邻域内任一点, 则有 ),(),(),(000000y x f y k x h y x f h y h x f ???? ????+??+=++),(!21002 y x f y k x h ???? ????+??+ ),(!100y x f y k x h n n ???? ????+??++ ),()!1(1001k y h x f y k x h n n θθ++???? ????+??+++ ).10(<<θ 这个公式称为二元函数),(y x f 在点),(00y x 的n 阶泰勒公式. 推论1 设函数),(y x f 在区域D 上具有连续的一阶偏导数，且在区域D 内，有,0),(≡y x f x 0),(≡y x f y ，则函数),(y x f 在区域D 内为一常数. 二、极值充分条件的证明 例题选讲 例1（E01）求函数)1ln(),(y x y x f ++=的三阶麦克劳林公式. 解 ,11),(y x y x f x ++=,11),(y x y x f y ++= ),(y x f xx 2)1(1y x ++- =),(y x f xy =),,(y x f yy =

多元函数泰勒公式的张量表示

第21卷第3期2018年5月 西安文理学院学报（自然科学版） Journal of Xi?an University (Natural Science Edition) Vol.21 No3 May2018 文章编号:1008-5564 (2018 )03-0001-03 多元函数泰勒公式的张量表示 曹文飞，韩国栋 (陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710119) 摘要:泰勒公式在多元微分学中占据着十分重要的地位，在多元函数逼近、计算机图形学以及工程近似计算等分支中有成功的应用.在高等数学教材中，多元函数泰勒展开式中的高阶项通常是借助于 多项展开式进行表达，这种抽象的表达形式导致本知识点艰涩难懂.为了克服此授课难点，基于张量与 张量积运算为泰勒公式引人一种直观且简洁的新表达形式.该新形式有利于学生对泰勒公式的理解与 记忆，从而激发起他们运用数学工具解决实际问题的兴趣. 关键词:泰勒公式;矩阵;张量;教学研究 中图分类号:〇172.1 文献标志码:A Tensor Representation for Taylor Formula of the Multivariate Function C A O W en-f e i,H A N G u o-d on g (School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi’an710119，China) Abstract! Taylor’s formula occupies a very important position in multivariate differential calcu- lus.It has been applied successfi^lly to many branches such as multivariate function approxima- tion，computer graphics and engineering approximate calculation.In the teaching materials of higher mathematics，the high order term in the Taylor expansion of multiple functions is usually expressed by multiple expansion，and this abstract expression form leads to th edge.In order to overcome the diiculty of teaching，a new and co Taylors formula based o n the tensor and tensor product operation is introduced in this paper. This new form is b eneficial to students7understanding and memory of Taylors formula，thus a- rousing their interest in solving practical problems by using mathematical tools. Key words ：Taylor formu l a$matrix$tensor$teaching research 我们正处在一个高新技术蓬勃发展的时代，数学对高新技术的发展发挥巨大的推动作用.正如应用 数学家D avd[1]指出:很少有人认识到，被如此称颂的高新技术本质上是一种数学技术.因此，良好的数 学教育在这个年代显得尤为迫切.高等数学教育是数学教育中不可缺少的重要环节，因而如何讲授好高 收稿日期：2018-01-09 基金项目：国家自然科学基金项目（61603235 )$陕西师范大学科研启动基金 作者简介:曹文飞（1985%)，男，安徽怀宁人，陕西师范大学数学与信息科学学院讲师，博士，主要从事机器学习、图 像处理研究； 韩国栋（1978%)，男，山西祁县人，陕西师范大学数学与信息科学学院副教授，博士，主要从事非线性泛函 分析及其应用研究.

二元函数的泰勒公式

§10.4. 二元函数的泰勒公式 一、高阶偏导数 二元函数),(y x f z =的两个（一阶）偏导数y z x z ????,仍是x 与y 的二元函数.若它们存在关于x 和y 的偏导数，即 .,;,??? ? ?????????? ???????? ? ????????? ??????y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为： ??? ??????x z x z 表为 22x z ?? 或 ).,(y x f xx '' ?? ? ??????x z y z 表为 y x z ???2 或 ).,(y x f xy '' （混合偏导数） ??? ? ??????y z x z 表为 x y z ???2 或 ).,(y x f yx '' （混合偏导数） ???? ??????y z y z 表为 22y z ?? 或 ).,(y x f yy '' 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有n 2个.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号 k k n n y x z ???- 或 ),()(y x f n y x k k n - 表示二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数，其次接着对 y 求k 阶偏导数. 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数. 例1. 求函数 332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.

二元函数全微分的原函数

（1）引例 ),(y x ),(y x dx y x P ),),(U ),(y x P ) ,(y x Q dy y x Q dx y x P ),(),(+现在要讨论：P ，Q 满足什么条件时？表达式 dy y x Q (+才是某个二元函数 的全微分。 ),(y x （2）定理3： 设开区域G 是一个单连通的区域，函数 ， 在G 内具有一阶连续偏导数，则 在G 内是某一函 数的全微分的充要条件是： ),(y x U y P x Q ??=?? 即：等式 y ?),(y x U dy y x Q dx y x P ),(),(P x Q ??=?是等式 =+成立 的充要条件。 （3）证明： 要性： A. 必

如果,(存y x P (),在),(y x U =dy y x Q dx )+成立 则 ),(y x P x U =?，?),(y x Q y U =?? 即：y P y x U ??=???2，x Q ??= x y U ???2 Q 具有一阶连续偏导数，则 y P x ??=Q ?? 因为P 、B. 充分性： （4） 总结： 根据上述定，且理，P 、Q 在单连通区域G 内具有一阶连续偏导数满足 y x ?P Q ?=?，那末， dy y x Q dx y x P ),(),(+是某个函数的全微分。 x ),(),() ,(+来求出这个原函数。因 ?可以用：y x ) ,(00∫ 为满足dy y x Q dx y x P y y P x Q ??=??上述积分是与积分路径无关的，为计可以旋转平行与坐标轴的直线段连成折线作须位于G 内） （5） 方法一： 线段，做定积分，求出),(y x U 二： 算简便起见， 为积分路径（这些折线必取一折 方法

对于多元函数泰勒展开

电动力学中的泰勒展开问题 物理系同学们在学习电动力学和量子力学的过程中会碰到对类似()f x y -展开的问题，初学者可能会对此类函数的展开感到困惑，对此，自己课下之余整理了一下，希望能对同学们的学习带来帮助。以下讨论主要针对的是电动力学中的极矩问题，源点与场点统一规定为用x ' 和x 来表示。 对于多元函数泰勒展开，例如(),f x y ，有 (),f x y ()00,f x y =()()()0000,x x y y f x y x y ????+-+-????? ? ()()()2 00001,2!x x y y f x y x y ????+-+-+?????? （1） 其中展开中心为()00,x y .对于函数()f x x '- ，它是x x '- 的函数，展开时需要指出其展 开中心是源点x ' 还是场点x . 1 若在0x x '= 处展开，则 ()f x x '- ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x ''=-+---??-+---??-+??????? ? =()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x ''-+-??-+-??-+???? (2) 其中，()()() ???i j k x x y y z z ????=++'''?-?-?-， 下同. 由于()f x x '- 是在x ' 为小量的情况下展开的，为了计算方便，(2)式的0x 可取为原点， 即x ' =0，此时，(2)式便成为电势多级展开中常见的形式，即 ()()()()()()212! f x x f x x f x x f x '''-=+-??+-??+ (3) 2 若在0x x = 处展开，则同理可得 ()f x x '- ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x '''''''=-+---??-+---??-+???????? =()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x '''-+-??-+-??-+??? ? (4) 对在0x x = 处展开时， x ' 此时是变化的， ?算符可换为对源点的'?算符.