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-2 2

x

y

O 1 -1

-1

1

三角、导数专题

一、选择题：

1、函数y =－x ·cos x 的部分图象是 ( D )

2、函数f (x )=cos2x +sin(

2

π

+x )是 ( D ) A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D .既有最大值又有最小值的偶函数

3、已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2

,2π

π)， 则tan

2

β

α+的值是( B ) A.

21 B.－2 C.34 D. 21

或－2 4、给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；

(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( B ) A.1 B.2 C.3 D.4

5、(广东卷)函数3

2

()31f x x x =-+是减函数的区间为(D) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)

6、（全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（B ）

（A ）2

（B ）3

（C ）4 （D ）5

7、 （湖北卷）在函数x x y 83

-=的图象上，其切线的倾斜角小于

4

π

的点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ） A ．3 B ．2 C ．1 ．0 8、(江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'(f x )x 的

导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是

O

-2 2

x

y

1 -1

-2 1

2 O

x

y

-2

-2 2

1

-1

1

2

O

-2 4 x y

1

-1 -2

1

2

B

9、(浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( B ) (A)

18 (B)41 (C) 2

1

(D)1 二、填空题： 10函数f (x )=(

31)｜cos x ｜

在［－π，π］上的单调减区间为_____［－2π,0］及［2

π,π］____. 11设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,

3π

π，］上单调递增，则ω的取值范围是2

3

0≤

<ω. 12、已知sin α=

53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21

，则tan(α－2β)=_____ 24

7____. 13设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π

+β)=135，则sin(α+β)=6556____.

14在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2

tan 2tan 32tan 2tan C

A C A ++的值为3____.

15、在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =5

4

，

则cos2(B +C )=__ 625

527

________.

16 (重庆卷)曲线y =x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积

为______8/3____。

17（江苏卷）（14）曲线3

1y x x =++在点（1,3）处的切线方程是41y x =- 18 ( 全国卷III )曲线3

2y x x

=-

在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0

19 （北京卷）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e )； ，切线的斜率为e ． 三、解答题：

20、是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +

85a －23

在闭区间［0，2

π］上的最大值 是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.

).(5

1212185,0cos ,0,02).

(0423

1

21854,2cos ,20,120),(2132012

3

85,1cos ,2,12.

1cos 0,2

0.

2

1

854)2(cos 2385cos cos 1:.20max 2max max 222

舍去时则当即若舍去或时则当即若舍去时则当即时若

时当解>=?=-==<<<-==?=-+==≤≤≤≤<=?=-+==>>≤≤≤≤-++--=-++-=a a y x a a a a a a y a x a a a a a y x a a x x a a a x a x a x y π

综合上述知，存在2

3

=

a 符合题设. 21、已知cos(4

π+x )=53，(1217π＜x ＜47π

）求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.

75285

3)54(25

7)

4cos()

4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 5

4)4sin(,2435,471217.

25

7

)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.2122=-?=++=-+=-

+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x

x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x ππ

ππππππππ又解Θ 22、已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10

43

2log 2

1

++x x 的

最小值，并求取得最小值时x 的值.

解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤

1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =2

3

2-t .