专题23 平面解析几何(一)

精锐教育学科教师辅导讲义

二、命题分析

从近几年各省份的高考信息可以看出，高考对本单元的命题呈现如下特点：

(1)高考题型中选择、填空、解答题均有所涉及，分值约占20分左右，比重较高．

3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为；

(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为；

[解析] 由已知，直线的斜率

则－34＝2tan α1－tan 2

α

， 解得tan α＝3或tan α＝－1

3(舍去)．

由点斜式得y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.

(3)解方程组?

??

??

x －2y －3＝0

2x －3y －2＝0，得?

??

??

x ＝－5

y ＝－4，

即两条直线的交点为(－5，－4)．

由两点式得y －1－4－1＝x －2

－5－2

，即5x －7y －3＝0.

（四）典型例题

1.命题方向：直线的倾斜角与斜率

[例1] 已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求实数m 的取值范围．

[分析] 求m 的范围，关键是能够画出它们的图像，结合图像求解，能够知道直线l 过定点(0，－1)．

[解析] 当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，显然l 与PQ 相交． 当m ≠0时，k PA ＝－1－10－－＝－2，k QA ＝－1－20－2＝3

2

，

l ：y ＋1＝－1

m

x .因为l 与线段PQ 相交， －1m ≥32或－1

m

≤－2， ∴m ∈??????－23，0或m ∈? ????0，12.所以m 的取值范围为????

??－23，12.

[点评] 解答已知直线过定点A 且与已知线段PQ 有交点，求其中参数的取值范围问题时，常用数形结合法，求出定

点A 与线段PQ 的两个端点连线的斜率，根据图形列出不等式组，解不等式组即可． 注意：研究两直线的位置关系时，一定要注意斜率不存在的情况．

(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数

，d<0，a>c ，d>0，a

a )a ，f (

b )b ，f (

c )

c 的大小关系是f (b )b >f (a )

a f (c )c >f (

b )b

的图像，易知f (x )x 表示直线的斜率．∴轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，

的前提下，参数的个数越少越好．

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2? .特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2 ． (2)两条直线垂直

如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 2，k 2，则l 1⊥l 2?k 12k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直．

2．线段的中点坐标公式

若点P 1

、P 2

的坐标分别为(x 1

，y 1

)，(x 2

，y 2

)，且线段P 1P 2

的中点M 的坐标为(x ，y )，则?????

x ＝x 1

＋x 2

2

y ＝y 1

＋y

2

2

，

此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 3．直线l 1

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0与l 2

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0的交点坐标就是???

??

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0

的 ．

4．点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

5．点P (x 0，y 0)到直线l

Ax ＋By ＋C ＝0的距离：

d ＝

|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2

.

6．两平行线间距离： 两平行直线l 1

Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝

|C 2－C 1|

A 2＋

B 2

. （三）基础自测

1．(20102安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A

[解析] 该题考查直线方程的求法(点斜式)

所求直线斜率为12，过点(1,0)由点斜式y ＝1

2

(x －1)，即x －2y －1＝0.

2．(20092安徽文)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )

A ．3x ＋2y －1＝0

B ．3x ＋2y ＋7＝0

C ．2x －3y ＋5＝0

D ．2x －3y ＋8＝0 [答案] A

[解析] 本题考查直线方程的点斜式，以及两条的垂直关系．

∵直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直， ∴直线l 的斜率k ＝－3

2，

又∵直线l 过点(－1,2)，

L 1⊥L 2的充要条件是a ＋2(a －1)＝0，∴a ＝23

.

综上所述，L 1∥L 2时，a ＝－1；L 1⊥L 2时，a ＝2

3

.

7．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；

(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解析] (1)由已知可得l 2的斜率必存在，∴k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.

∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过(－3，－1)，

∴－3a ＋b ＋4＝0，即b ＝3a －4(不合题意) ∴此种情况不存在，即k 2≠0. 若k 2≠0，即k 1，k 2都存在，

∵k 1＝a b

，k 2＝1－a ，l 1⊥l 2， ∴k 12k 2＝－1，即a b

(1－a )＝－1①

又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2. 即a b

＝1－a ③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2. ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数． 即4

b

＝b ④

由③④联立解得?

??

??

a ＝2

b ＝－2或?????

a ＝

23b ＝2

.

∴a ，b 的值为2和－2或2

3和2.

（四）典型例题

1.命题方向：两直线的位置关系

[例1] 已知两条直线l 1(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 22x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：

(1)相交？(2)平行？(3)垂直？

[解析] 当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；

当m ≠－5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为

k 1＝－

3＋m 4，k 2＝－2

5＋m

， 它们在y 轴上的截距分别为b 1＝5－3m 4，b 2＝8

5＋m .

(1)由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－2

5＋m

，

m ≠－7且m ≠－1.

∴当m ≠－7且m ≠－1时，l 1与l 2相交．

(2)由???

??

k 1＝k 2，

b 1≠b 2，

得?????

－3＋m 4＝－2

5＋m ，5－3m 4≠8

5＋m ，

解得m ＝－7.

∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．

(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 42(－25＋m )＝－1，解得m ＝－13

3.

∴当m ＝－13

3

时，l 1与l 2垂直．

[点评] 运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线位置关系时，要紧紧抓住k 1，k 2及b 1，b 2之间的关系，需要注意的是“有斜率”这一前提条件，否则会使解题不严谨甚至导致错误．如题：当k 取何值时，两直线x ＋ky ＝0和kx ＋(1－k )y ＝0互相垂直？很可能漏掉解k ＝0.判断两条直线平行、垂直、重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率均不存在的情况．在两条直线l 1、l 2斜率都存在且不重合的条件下，才有l 1∥l 2?k 1＝k 2与l 1⊥l 2?k 12k 2＝－1.在斜率不存在或斜率为零情况下讨论两直线位置关系宜用数形结合求解． 跟踪练习1

已知两直线l 1x ＋y sin θ－1＝0和l 22x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.

[解析] (1)方法1：当sin θ＝0时，l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，l 1显然不平行于l 2， 当sin θ≠0时，k 1＝－1

sin θ

，

k 2＝－2sin θ.

欲使l 1∥l 2，只要－1sin θ＝－2sin θ，即sin θ＝±2

2.

∴θ＝k π±π

4，k ∈Z ，此时两直线截距不相等．

∴当θ＝k π±π

4

，k ∈Z 时，l 1∥l 2.

方法2：要使l 1∥l 2，需2sin 2

θ－1＝0，且1＋sin θ≠0， 即sin θ＝±

22，∴θ＝k π±π

4

，k ∈Z.