立体几何学案(教案)
A E F
D
C
B
§1.2.3 直线与平面的位置关系（1）
教学目标:
1、了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；
2、掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；
3、在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念。 教学重点、难点:
重点：直线与平面平行的判定定理及性质定理。
难点：直线与平面平行的判定定理及性质定理的应用。 教学过程: 一．问题情境
把桌面作为平面，笔作为直线，摆一摆，观察直线与平面有哪几种位置关系？ 二、学生活动
三、建构数学
归纳1：直线与平面的判定定理： 。
上面的定理用符号语言如何表示？__________________________________________. 思考：如果直线和平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行？ 如图，已知直线l ∥α，l ?β，m =βα ，则直线l 与m 的位置关系如何？为什么？
问题：你能得到一个什么样的命题？
归纳2：直线与平面的性质定理：
上面的定理用符号语言如何表示？______________________________________________________. 四、数学运用 1．例题
例1、如图，已知E 、F 分别是三棱锥A-BCD 的侧棱AB 、AD 的中点， 求证：EF ∥平面BCD 。
α β m
l
A C 1 D 1 P ．
分析：设法在平面BCD 内找一条直线与EF 平行。
例2、一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？ 分析：点P 与BC 确定平面α，根据题意，
应画出平面α与长方体各面的交线。
例3、求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行. 分析：要求学生画出图形，写出已知、求证并证明。
思考：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系呢？
2．练习： 练习1、如图，已知P 为ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD ∥平面MAC 。
练习2、ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作
平面交平面BDM 于GH 。求证：AP ∥GH
练习3、下列命题：（1）直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；（2）若直线a 不在平面α内，则a ∥α；（3）若直线a ∥b ,直线b ?α，则a ?α；（4）若直线a ∥b ，b ?α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线；（5）若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；（6）过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；（7）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；（8）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行。其中正确的个数为（ ） 4
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 练习4、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，
（1）与直线AB 平行的平面是_________________________ （2）与直线AA 1平行的平面是_________________________ （3）与直线AD 平行的平面是_________________________ 五、回顾小结
1、直线与平面的位置关系；
2、直线与平面平行的判定定理及性质定理；
3、证线面平行的基本方法：线线平行 线面平行
4、证线线平行的基本方法：线面平行 线线平行 六、课外作业：教材第37页第2、3、4题。
C D P B
A M P A C D G H
M
A
B A 1
C 1
D
C D 1
B 1
1.2.3 直线与平面的位置关系（2）
教学目标:
1、理解直线与平面垂直的定义；
2、点到面的距离；
3、线到面的距离；
4、掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理并会应用；
5、培养学生的空间想象能力和辨证思维。
教学重点、难点:
重点：直线与平面垂直的判定定理及性质定理的理解及推导。 难点：直线与平面垂直的判定定理及性质定理的灵活运用。
教学过程:
一．问题情境
观察圆锥SO ，它给我们以轴SO 垂直于底面的形象，轴SO 与底面内的哪些直线垂直呢？为什么？
思考：为什么轴SO 垂直于底面内的所有半径，就有SO 垂直于底面内的所有直线？
二、建构数学
1、直线与平面垂直：如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 垂直于平面α，记作________。直线a 叫做平面α的_______，平面α叫做直线a 的______，垂线和平面的交点叫做______。
思考：在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么，在空间：
（1）过一点有几条直线与已知平面垂直？ （2）过一点有几个平面与已知直线垂直？
小结：_________________________________________________________________________. 问：你能证明这个结论吗？
2、点到平面的距离：______________________________________________________________ ___________________________________________.
3、问题：（1）将一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面的位置关系？ （2）学校的旗杆与地面的位置关系？ 归纳：
直线与平面垂直的判定定理：
______________________________________________.
上面的定理用符号语言如何表示？
两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象。 归纳：
直线与平面垂直的性质定理：_____________________________________________________。 （写出已知、求证，并证明） 已知： 求证： 证明：
C
A S O
B α
a b
P A
H B C
1．例题
例1、求证：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （要求画出图形，写出已知、求证）
分析：只要证明b 与平面α内任意一条直线都垂直。指出：这个结论以后可以直接运用。
例2、如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，H 是△ABC 的垂心， 求证：PH ⊥平面ABC
例3、已知a 、b 是异面直线，直线AB 与a 、b 都垂直且相交，a ⊥平面α， b ⊥平面β， α∩β=c ，求证：AB ∥c .
例4、如图，在△ABC 中，∠ABC=900
，PA ⊥平面ABC ，AF ⊥PC 于F ，AE ⊥PB 于E 。 求证：EF ⊥PC 分析：欲证EF ⊥PC ，可考虑证PC ⊥平面AEF 。
例5、已知：直线l ∥平面α。求证：直线l 上各点到平面α的距离相等。
分析：可考虑证直线l 上任意两点到平面α的距离相等。
直线与平面的距离：_____________________________________________________________。
2．练习：
练习1、教材35页1~3
练习2、如图所示，四边形ABCD 是矩形，
PA ⊥平面ABCD ，△，PC 的中点，求证：MN ⊥平面PCD
五、回顾小结
六、课外作业：教材第38页第5、7、8、9题。 β b α a
B A
c P C F E A B
§1.2.3 直线与平面的位置关系（3）
教学目标:
1、理解一组概念：平面的斜线、斜足、斜线段定义；
2、直线与平面所成的角；
3、进一步掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理；
4、培养学生的空间想象能力和辨证思维。
教学重点、难点:
重点：直线与平面所成的角。 难点：直线与平面所成的角。 教学过程:
一、课前热身
复习：1、已知四面体ABCD 所有的棱长相等，求证：AB ⊥CD
2、如图，在棱长为a 正方体中，
（1）A 到面BCC 1B 1的距离为______ （2）A 到平面BDD 1B 1的距离为____________ （3）AD 到平面BCC 1B 1的距离为___________（4）AA 1到平面BDD 1B 1的距离为__________ （5）AA 1与BC 1所成的角为_______
二、问题情境
观察如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 1、直线AA 1和平面ABCD 是什么关系?
2、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 和平面ABCD 的位置关系?
3、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 与点B 、C 、D 它们又如何命名呢？ 三、建构数学
1、__________________________________________________这条直线叫做这个平面的斜线 ________________________叫斜足.____________________________________叫斜线段. ______________________________________叫做斜线在这个平面上的正投影(简称射影)
2、______________________________________________叫做这条直线与这个平面所成的角。
3、斜线与平面所成角的范围：_____________。直线与平面所成角的范围：______________。 四、数学运用 1．例题 例1、如图，已知AC 、AB 分别是平面α的垂线和斜线，C 、B a ?α，a ⊥BC 。求证：a ⊥AB
[变]：上图，已知AC 、AB 分别是平面α的垂线和斜线，C 、B 分别是垂足和斜足，a ?α，a ⊥AB 。
求证：a ⊥BC
例2、如图，已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线，PO 是∠ABC 所在平面的垂线，垂足为O 。 （1）若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线。 （2）若∠PAB=∠PAC ，求证：AO 是∠BAC 的平分线.
B B 1 D C
D 1 C 1
A 1
B A C
A
B C E F
O
P
例3、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,找出A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，并证明之。
2．练习： 1、如图，∠BCA ＝900
,PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ,△PAC （１）与PC 垂直的直线_________________________；
（２）与PA 垂直的直线_________________________；
2、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面ABCD 所成的角_________。
3、若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（ ）
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面内的所有直线
D.不存在 4、判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（ ） （2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（ ）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线 （ ） （4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（ ） （5）两条平行直线和一个平面所成的角一定相等（ ）
（6）若两条直线和一个平面所成的角相等，则两直线平行（ ）
（7）若平面α外的直线上有两点到平面α的距离相等，则直线平行于平面α（ ） 5、已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，则斜线和平面β所成的角为_________.
6、点P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变1]点P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变2]点P 是△ABC 所在平面外一点，且P 点到△ABC 三个顶点距离相等，则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变3]点P 是△ABC 所在平面外一点，且P 点到△ABC 三条边距离相等，则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。 五、回顾小结
六、课外作业：教材第38页第6题。
补充1、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D
补充2、如图，已知ABCD 是矩形，AB=a ，AD= b ，PA ⊥平面ABCD ，PA=2c ，Q 是PA 的中点．求（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离 B
B 1 A D
C
D 1 C 1 A 1 Q
P B
B 1
A D C D 1
C 1 A 1
§1.2.4 平面与平面的位置关系（1）
教学目标:
1、了解两个平面的两种位置关系：相交和平行；
2、掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，并能灵活应用；
3、在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间两个平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念。 教学重点、难点:
重点：两个平面平行的判定定理及性质定理。
难点：两个平面平行的判定定理及性质定理的灵活应用 教学过程: 一、数学实验
利用手中的两本书作为两个平面，摆一摆，两个平面有哪几种位置关系？你能根据公共点的情况进行分类吗？
二．问题情境
工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平平面，你能解释其中的奥秘吗？ 三、建构数学
两个平面平行的判定定理：_______________________________________________________。
用符号表示：
若______________________________________，则___________。 合作探究：如果两个平面平行，那么：
（1）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？
（2）分别在两个平行平面内的直线是否平行？
两个平面平行的性质定理：_______________________________________________________。
（要求学生画出图形，写出已知、求证并证明。）
四、数学运用
1．例题：
例1、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面BC 1D ∥平面AB 1D 1
分析：可考虑证明一个平面内有两条直线与另一个平面平行。
α
β A
a
b C
A 1 D 1
C 1
B 1
思考：A 1C 与平面BC 1D 垂直吗？为什么？
例2、求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。 已知： 求证：
思考：垂直于同一条直线的两个平面平行吗？ 结合例2归纳：
公垂线：_________________________________________。 公垂线段：_______________________________________。
两个平行平面间的距离：___________________________。
例3、如图，平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，且AB 、CD 不共面，E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，求证：EF ∥β
分析：要证EF ∥β
，只要找一个过EF 的平面γ，γ∥β或者在β内找到一条与EF 平行的直线。
[拓展提高]
例4、平面α//平面β，直线a ，b 相交于点S ，且直线a 分别交α、β于点A 、B ，直线b 分别交α、β于点C 、D ，已知AS=1，BS=2，CD=9，求线段CS 的长。
2．练习：
1、判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1).若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行。 （ ） (2).若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β平行。 （ ） (3)平行于同一条直线的两个平面平行。 （ ） (4).过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。 （ ） (5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面。 （ ） 2、六棱柱的表面中，互相平行的面最多有_________对。
3、如图，设E ，F ，E 1，F 1分别是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，A B ，C D 的中点。 求证：平面ED 1∥平面BF 1
4、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。
五、回顾小结：
1.空间两个平面的位置关系.
2.两个平行平面的判定定理
3.两个平行平面的性质定理.
4.两个平行平面的公垂线的概念,公垂线段的概念以及两个平行平面的距离. 六、课外作业：教材46页习题1.2（3），第3、10题 β α l 1
A 1
§1.2.4 平面与平面的位置关系（2）
教学目标:
1、理解二面角及二面角的平面角的概念；
2、理解平面与平面垂直的概念；
3、掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理并能灵活应用。
4、培养学生的空间想象能力和辨证思维。
教学重点、难点:
重点：两个平面垂直的判定定理与性质定理。
难点：两个平面垂直的判定定理与性质定理的灵活应用。
教学过程:
一、复习回顾：
1.在平面几何中“角”是怎样定义的？
2.在立体几何中,“异面直线所成的角”是怎样定义的？
3.在立体几何中,“直线和平面所成的角”是怎样定义的？
思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？
二、问题情境：
情境：发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度；使用手提电脑时，为了便于操作，需将显示屏打开成一定的角度；
问题：如何刻画两个平面形成的这种“角”呢？
三、建构数学
1、____________________________________________________________________叫做半平面。
2、____________________________________________________________叫做二面角，___________________ 叫做二面角的棱，_______________________叫做二面角的面。
3、二面角的表示方法：________________________________________
4、二面角的画法：___________ ____________
5、_____________________________________________________________________________
_________________________________________________叫做二面角的平面角。
6、二面角的平面角的三个特征：1._______________2._______________ 3._______________
7、二面角的范围：___________________
8、______________________________________叫做直二面角。
9、找二面角的平面角的方法：______________________________________________________
10、求二面角大小的一般步骤：_____________________________________________________
四、知识探究：
两个平面互相垂直：_______________________________________________________。
下列现象有什么共同特征：
（1）门在转动的过程中，始终与地面保持垂直；
（2）建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直；
（3）帆船上的帆在转动过程中，始终与水平面垂直。
学生类比、归纳：
平面与平面垂直的判定定理：______________________________________________________
_________________________________。用符号表示为：
βl
问题：如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？要使一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，须满足什么条件？ 学生探究归纳：
平面与平面垂直的性质定理：______________________________________________________ _________________________________。 （要求学生画出图形，写出已知、求证） 已知： 求证：
五、数学运用： 1．例题
例1、如图所示:在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中： （1）求二面角D 1-AB-D 的大小； （2）求二面角A 1-AB-D 的大小。
例2、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1C 1CA ⊥平面B 1D 1DB 分析：根据两个平面垂直的判定定理，要证平面A 1C 1CA ⊥平面B 1D 1DB ， 只需在其中的一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可。
例3、求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内。
（要求画出图形，写出已知、求证，并证明）
回顾：运用性质定理的关键是________________________。
[拓展提高]
例4、如图，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD//CE 且
求证：（1）DE=DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA A
A 1
B C
D B 1
D 1
C 1 A
A 1
B
C D B 1
D 1
C 1
2．练习：
1、判断下列命题是否正确，并说明理由：
（１）若α⊥γ，β⊥γ ，则α∥b 。 ( ) （２）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ。 ( ) （３）若α∥α1， β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1。 ( )
2、如图，α⊥β，α∩β＝l ，AB ?α，AB ⊥l ，BC ?β，DE ?β，BC ⊥DE 。 求证：AC ⊥DE ．
3、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面ACC 1A 1⊥平面A 1BD
4、如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC
五、回顾小结：
六、课外作业：教材46页习题1.2（3），第6、7、9题
D C E
β B A
l α A
A 1
B
C
D B 1
D 1
C 1
O
B
?
A
C P
高中数学(文科)立体几何知识点总结
l立体几何知识点整理（文科）l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系：一．αl 1. 线面平行 方法二：用面面平行实现。l//l //αl符号表示： 2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。符号表示：
n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，ln n l ll //且。,则l αα符号表示： 二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二：用线面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合，则α 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。1/11
l C A方法三：用向量方法： Bα l m l m ，则的数量积为和向量若向量0。三．垂直关系：
夹角问题。三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围：(1) ACl ABl 求法：(2)P n l ABAC A方法一：定义法。AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。步骤1 方法二：用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。( 余弦定理：βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直：2.方法二：向量法。转化为向量 方法一：用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直：3. 上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。 内，则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影，m
空间向量立体几何学案
空间向量与立体几何复习学案 教学目标：复习空间向量解立体几何 教学重点：空间角的求法 教学难点：空间角和距离 教学过程 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求． 空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致． 例1 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论： ①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________． 利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题． (1)证明线面平行问题可以有以下三种方法： ①利用线线平行证明线面平行． ②向量p 与两个不共线的向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使p ＝xa ＋yb .利用共面向量定理可以证明线面平行问题． ③设n 为平面α的法向量，a 为直线l 的方向向量，要证明l ∥α，只需证明 a·n ＝0. (2)证明线面垂直的常用方法有： ①设a 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则a ＝λn (λ为非零实数)?a 与n 共线?l ⊥α. ②l 是交线a ，b 所在平面α外的直线，a ，b 不共线，l ，a ，b 分别为直线l ，a ，b 的方向向量，则有l·a ＝0且l·b ＝0?l ⊥a 且l ⊥b ?l ⊥α. 例2 如图，在矩形ABCD 中AB ＝2BC ，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD . (1)求证：AQ ∥平面CEP ； (2)求证：平面AEQ ⊥平面DEP . 1．求异面直线所成的角． 设两异面直线的方向向量分别为n 1、n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 2．求二面角的大小． 如图，设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 3．求斜线与平面所成的角． 如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 例3. 四棱锥PABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .
高中数学《立体几何(文科)》练习题
高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E
2018年高考备考+立体几何的逆问题、截面问题学案
2018年高考备考+立体几何的逆问题、截面 问题学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1.在长方体中，作图作平面ABC与平面DEF的交线。 2. 3. 4. B A C D E
7. 如图2，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫 经过的最短路程是 m.(结果不取近似数) 10米，母线PB长40米，节日期间，计划从A处开始 8.一个圆锥形建筑物高15 绕侧面一周到母线PA上的点C处都挂上彩带．已知PC=10米，问需要彩带多少 米（ 结果不取近似值。） 1.（2013昆明市市二统）如图，四棱锥P- ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=2， PC=6， （I）求证：PD⊥AC；
1 A （II）已知棱PA上有一点E，若二面角E—BD—A 的大小为45°，试求BP与平面EBD所成角的正弦值。 2. （2012昆明市市二统）如图长方体 1111 ABCD A B C D -中，P 上任意一点． （Ⅰ）判断直线 1 B P与平面 11 AC D的位置关系并证明； 值（Ⅱ）若AB BC =，E是AB 的中点，二面角 111 A DC D --的余弦 ，求直线 1 B E与平面 11 AC D所成角的正弦值． 3. （2013昆明市市二统）如图，四边形ABCD是正方形， PD MA ∥，MA AD ⊥，PM CDM ⊥平面， 1 2 MA PD =． （Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面AMPD； B C D P
高中文科数学立体几何知识点总结材料
立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量l和向量m共线且l、 m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l
方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
高考数学第二轮复习 立体几何教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体 考纲指要： 立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。 考点扫描： 1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。 2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。 3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。 4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。 考题先知： 例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。 解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四 面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。 证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF 交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距 离，利用体积的“割补法”知： PDF O PEF O PDE O DEF P V V V V ----++== r S r S r S PDF PEF PDE ?+?+?3 1 3131 BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++= =r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ?+?+?+?+?31 31313131，从而2 1表表S S V V ABC DEF DEF P =--。 例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？ （2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6== AC AB ， 13-=BC ，以∠BAC 为例。 解：（1）记Rt △ABC ，∠BAC=900 ，,,b AC c AB ==记直角顶点A 在平面上的正投影为A 1，，且AA 1=h ，则因为0)()()(2 2 2 2 2 2 2 2 12 1<+--+-=-+b c h b h c BC C A B A ，所以∠
空间几何体的结构 导学案
第一章：空间几何体 教材分析 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。 本章我们从对空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。 1.1空间几何体的结构（2课时） 第一课时（多面体、旋转体） 一、【学习目标】 1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系； 2.能够运用几何体的特征判断几何体的名称。 二、【课前自主学习】 （一）、下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，然后回答以下问题:
1、这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？ (2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16) 具有什么样的特点？ 像这样的几何体称为______________ (3),(4),(6),(8),(10),(11),(12) 具有什么样的特点: 像这样的几何体称为______________ 2、定义 （1）、多面体：____________________________________。 ①、__________________________________面; ②、__________________________________棱； ③、_________________________________顶点； ④、按围成多面体的面数分为：__________________________ （2）、旋转体： _______________________________________________________________________________ _____________________________________. (二)、问题1：（1）、与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？ （2）、请同学们仔细观察下列几何体，说说他们的共同特点． 讨论结果： 特点：________________________________________________________________________。 1. 棱柱的结构特征： （1）定义：_________________________________________________________________. （2）棱柱的有关概念： _________________________________________底面（简称底），___________________________侧面，____________________________________顶点。
立体几何导学案5
导学案（五）学习目标 1、理解平面的描述性概念。 2、掌握平面的基本性质与推论。 使用说明 1 导学案40分钟独立，规范完成 2 积极探究，合作交流，大胆质疑 知识梳理 一、平面的基本性质与推论 基本性质1 如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内. 基本性质2， 有且只有一个平面，这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面. 基本性质3 如果不重合的两个平面，那么它们有且只有. 推论1， 有且只有一个平面. 推论2， 有且只有一个平面. 推论3， 有且只有一个平面. 二.符号语言与数学语言的关系 1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 (1)相交直线: ; (2)平行直线: ; (3)异面直线: ; 2.判定异面直线的方法 (1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾. 3.基本性质4 ——空间平行线的传递性. 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角. 5.异面直线所成的角 设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a,b′∥b，把直线a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 典型例题 例1 证明共点问题 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G 分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G 的平面交AD于H，连接EH. （1）求AH:HD； （2）求证：EH，FG，BD三线共点. 小结：所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点. （1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理. 例2 点共线问题 在正方体 1111 ABCD A B C D 中,对角线 1 A C与平面 数学符号语言数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A 平面α,β相交于直线a
高中文科数学立体几何知识点大题
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科） 一．平行问题 （一） 线线平行： 方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角） 方法二：1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三：2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四：3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 （二） 线面平行： 方法一：4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二：5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? （三） 面面平行：6方法一：线线平行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l ， 方法三：8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l
二．垂直问题：（一）线线垂直 方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一 ；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。） 方法二：9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?? ???⊥αα （二）线面垂直：10方法一：线线垂直?线面垂直 αα⊥??? ? ?????=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥??? ????⊥=?⊥l l m l m , （面） 面面垂直： 方法一：12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥?? ???⊥l l 三、夹角问题：异面直线所成的角： (一) 范围：]90,0(?? (二)求法：方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角：直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法：就是放到三角形中解三角形 四、距离问题：点到面的距离求法 1、直接求， 2、等体积法（换顶点）
高考数学复习专题立体几何学案
空间立体几何——表面积、体积 编写： 审核： 考情解读 (1)考查空间几何体表面积、体积的计算．(2)考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题． 1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系 2．球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面成的几何体叫做球体． 同一个平面截一个球，截面是圆面． 3．空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12 ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)； ③S 台侧＝12 (c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上，下底面的周长，h ′为斜高)； ④S 球表＝4πR 2 (R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13 Sh (S 为底面面积，h 为高)；
③V 台＝13 (S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)； ④V 球＝43 πR 3(R 为球的半径). 热点一 几何体的表面积和体积 例1 (1)如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过 点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝ x (0 立体几何大题练习（文科）： 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD． （1）求证：平面SBD⊥平面SAD； （2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积． 【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=， 设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°， 由余弦定理可得AD==a， 则BD⊥AD， 由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD； （2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为， 由AD=SD=a， 在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a， △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a， 由SH⊥平面BCD，可得 ×a××a2=， 解得a=1， 由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB===2a， 又AB=2a， 在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为=a， 则△SAB的面积为×SA×a=a=． 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题． 2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论． 【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面， 高中文科数学立体几何部分整理 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图； 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高 度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图： 3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法： step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ，（即取90xoy ∠=? ）； step2：画直观图时，把它画成对应的轴'',''o x o y ，取'''45(135)x o y or ∠=??，它们确定的平面表示水平平面； step3：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 4 倍. 解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”. （2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ． 3. 2.1立体几何中的向量方法（线线角） 教学目标： 1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法 2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法 3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质 重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法 教学过程： 设疑自探： 两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，n ∥l 1 ， m ∥l 2，则l 1与l 2所成的角 α= 解疑合探： 1、在正方体1111D C B A ABCD -中，如图E 、F 分别是BB 1，CD 的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）),cos(1CB EF 2.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， AA 1=1，E 、H 分别是A 1B 1和BB 1的中点.求： (1)EH 与AD 1所成的角； (2)AC 1与B 1C 所成的角. 3. 如图所示，ABCD 是一个正四面体，E 、F 分别为BC 和AD 的中点.求：AE 与CF 所成的角 质疑再探：请同学们踊跃发言提问，解除心中的疑问。 课堂练习： 1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小 构成的集合是 。 2.正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。 3.已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的距离为5 ，则异面直线a 与b 所成的角为 。 4.如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1，M 、N 分别是 A 1 B 1，A 1 C 1的中点， 则AM 与CN 所成角为 。 A B D C B 1 D 1 C 1 B 1 E H A C D B F E A'A B C M N 立体几何学案一 空间几何体的结构及其三视图和直观图 主备人：施震宏 辅备人：常广胜 一、考点关注 考纲点击：1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台的结构特征； 2．能画出简单空间图形的三视图，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图和直观图； 4．能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。 考情分析：从近两年的考考试题来看，几何体的三视图是高考的热点，题型多为选择、填空题，难度中低档题，主要考查几何体的三视图，及由三视图构成的几何体，在考查的同时，又考查学生的空间想象能力。 二、经典例题： 题型一 几何体的结构、几何体的定义 例1.（1）设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是____________. （2）下列结论正确的是（ ） A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 题型二 几何体的直观图 例2．如图所示，直观图四边形 ' '''D C B A 是一个底角为45°， 腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 【规律方法】:已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中长度________，平行于y 轴的线段，长度变为 。 题型三 几何体的三视图 例3． (1)（2008,广东理）将正三棱柱截去三个角（如图1所示），A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 高三文科数学第二轮复习资料 ——《立体几何》专题 一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图： 二、练习题： 1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ． V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3 2 3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥ D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 D 1 B 1 线A C 1上的点，若 a PQ= 2 ，则三棱锥P BDQ -的体积为 A3 B3 C3 D．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1 2Q B 2 3 Q C 2 π Q D 2 3π Q 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H； （3）A1O⊥平面BDF； （4）平面BDF⊥平面AA1C． 7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形， 侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求 此三棱柱的侧面积和体积． 8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V P-ABC． 第一章立体几何初步 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 学习目标 1. 认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征； 2. 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 3. 了解棱柱、棱锥和棱台的概念。 活动方案 活动一：了解空间几何体背景：在我们的生活周围有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何思考：所举的建筑物基本上都是由一些简单几何体组合而成的，通过观察，你能根据某种标准对这些空间物体进行分类吗 活动二：了解棱柱的结构特征 观察下面的几何体，它们有哪些共同的特点 图（1）和图（3）中的几何体分别由和沿平移而得。 思考：图（2）和图（4）中的几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得来的棱柱的概念：（1）一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做平移起止位置的两个面叫做。多边形的边平移形成的面叫做多边形的 2 ） （4） 2）棱柱中一些常用名称的含义（如图） 侧棱：相邻侧 面的公共边 B C 思考：通过观察，你发现棱柱具有哪些特点 棱柱的分类： 底面为三角形、四边形、五边形??的棱柱分别称为 、 、 上图中的图形分别为三棱柱，六棱柱，并分别记作：棱柱 ABC ABC ,棱柱 ABCDEF ABCDEF 活动三：了解棱锥的结构特征 观察下面的几何体，思考它们有什么共同的特点与活动一中的图形比较前后发生了什么变化 上面的四棱锥可记为：棱锥 S ABCD 。 （3）通过观察，你发现棱锥具有哪些特点 （4）类比棱柱的分类，试将棱锥进行分类。 活动四：了解棱台的结构特征 试验：如果用一个平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，想一想，截得的两部分几何体是什么样的几何体 棱台的概念： （1）棱台是棱锥被平行于 的一个平面所截后， （2）通过观察，棱台具有哪些特点 多面体的概念：棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的几何体。由若干个平面多边形围成的几 何体称为 。 在现实生活中，存在形形色色的几何体，如食盐、明矾、石膏等晶体都呈 之间的部分。 形状。 1） 棱锥的概念： （ 1）当棱锥的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做 2）棱锥中一些常用名词的含义（如图） 第三讲 立体几何（文） 一、 知识网络 二、基础练习： 1、下列命题中正确的是（ ） Ａ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 Ｂ．棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面 Ｃ．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 Ｄ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 2、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。 3、.已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△C B A '''的面积为( ) A. 4 3a 2 B. 8 3a 2 C. 8 6a 2 D. 16 6a 2 4、 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A 、9π B 、10π C 、11π D 、12π 直线、 平面、 简单几何体三个公理、三个推论 平面 平行直线 异面直线 相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平直线与平面相空间两条直 概念、判定与性质 三垂线定理 垂斜直线与平面所成的角 空间直线 与平面 空间两个平面 棱柱 棱锥 球 两个平面平行 两个平面相 交 距离 两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质 二面角 定义及有关概念 性质 综合应用 多面体 面积公式 体积公式 正多面体 5、如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为( ) A ．43 B ．4 C ．23 D ．2 6、下列命题中错误的是( ) A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ?，那么l γ⊥平面 D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 7、给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 8、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β? B ．若//,//l ααβ，则l β? C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 9、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（ ） （A ） 1010 (B) 1 5 (C) 31010 (D) 3 5 1．构成几何体的基本元素：点、线、面． ⑴点不考虑大小； ⑵线不考虑粗细；一条直线把平面分成两个部分． ⑶面不考虑厚薄；一个平面将空间分成两个部分． 2．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体． 凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，其余的各面都在这个平面的同一侧． 截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部）． 3名称 侧面积S 侧 全面积S 全 体 积V 棱 柱 棱柱 直截面周长l ? 2S S +侧底 S h ?底 直棱柱 ch S h ?底 棱 锥 棱锥 各侧面面积之和 S S +侧底 13S h ?底 正棱锥 1 2 ch ' 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S S S ++侧上底下底 () 13 h S S S S ++?上底下底上底下底 正棱台 ()1 2 c c h ''+ '' 4．旋转体的表面积和体积公式 名称 侧面积S 侧 全面积S 全 体 积V 圆柱 2πrl ()2πr l r + 2πr h (即2πr l ) 圆锥 πrl ()πr l r + 21π3 r h 圆台 ()12πr r l + ()()221212ππr r l r r +++ ()2211221π3 h r rr r ++ 球 24πR 34π3 R 12径，R 表示球的半径． 5．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 画法：斜二测画法： 6．三视图排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度 与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样； 知识点睛 14.1空间几何体 立体几何 三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 考点：空间几何体的体积与表面积 【例1】 ⑴ 若将一个棱长为a 的正方体，切成八个全等的小正方体，则表面积增加了______ ． ⑵ 已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为1000π，那么此圆柱的侧面积S 等于_____． ⑶ 等体积的球和正方体，表面积的大小关系是S 球____S 正方体(填<，或)． ⑷ 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥体积为 83 π，则这个圆锥的表面积为______． 【解析】 ⑴ 26a ⑵ 200π ⑶ < ⑷ 12π 尖子班学案1 【拓1】 ⑴ 如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于_____ ； ⑵ 半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为______． ⑶ 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______； 【解析】 ⑴ 30? ⑵ 3a ⑶ 3:1:2 考点：三视图 【例2】 ⑴ 下列四个几何体中，各几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（ ） ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④半球 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①③ ⑵ 一个几何体的俯视图是半径为2的圆，主视图和左视图都是一个宽为4，长为5的矩形，则该几何体的体积为______. ⑶ 已知某个几何体的三视图如下左图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是_______ ⑷ 如下右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为________． 俯视图 侧视图 正视图 11 2 2 2 2 正视图侧视图 俯视图 4 53 经典精讲 图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 23 （B ）3 （C ）23 （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）高中数学立体几何大题练习(文科)
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